Вклад Леонарда Эйлера в математику - Contributions of Leonhard Euler to mathematics

Швейцарский математик 18 века Леонард Эйлер (1707–1783) - один из самых плодовитых и успешных математиков в история области. Его основополагающая работа оказала глубокое влияние на многие области математики, и ему широко приписывают введение и популяризацию современных обозначений и терминологии.

Математические обозначения

Эйлер ввел большую часть используемых сегодня математических обозначений, таких как обозначение ж(Икс) для описания функции и современных обозначений тригонометрические функции. Он был первым, кто использовал письмо е для основы натуральный логарифм, теперь также известный как Число Эйлера. Использование греческой буквы ${displaystyle pi }$ для обозначения отношение длины окружности к ее диаметру был популяризирован Эйлером (хотя и не от него).^[1] Ему также приписывают изобретение обозначения я обозначать ${displaystyle {sqrt {-1}}}$.^[2]

Комплексный анализ

Геометрическая интерпретация формулы Эйлера

Эйлер внес важный вклад в комплексный анализ. Он ввел научное обозначение. Он обнаружил то, что сейчас известно как Формула Эйлера, что для любого настоящий номер ${displaystyle varphi }$, комплекс экспоненциальная функция удовлетворяет

${displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi .}$

Это было названо "самой замечательной формулой в математике" Ричард Фейнман.^[3] Тождество Эйлера частный случай этого:

${displaystyle e^{ipi }+1=0,.}$

Эта идентичность особенно примечательна, поскольку она включает е, ${displaystyle pi }$, я, 1 и 0, возможно, пять самых важных констант в математике.

Анализ

Развитие исчисление был в авангарде математических исследований 18 века, и Бернулли - друзья семьи Эйлера - были ответственны за большую часть первых успехов в этой области. Понимание бесконечности было основным направлением исследований Эйлера. Хотя некоторые доказательства Эйлера могли быть неприемлемы по современным стандартам строгость, его идеи послужили причиной многих великих достижений. Прежде всего, Эйлер ввел понятие функция, и ввел использование экспоненциальная функция и логарифмы в аналитических доказательствах

Эйлер часто использовал логарифмические функции в качестве инструмента в задачах анализа и обнаружил новые способы их использования. Он обнаружил способы выражения различных логарифмических функций в терминах степенных рядов и успешно определил логарифмы для комплексных и отрицательных чисел, тем самым значительно расширив область применения логарифмов в математике. Большинство исследователей в этой области долгое время придерживались мнения, что ${displaystyle log(x)=log(-x)}$ для любого положительного реального ${displaystyle x}$ поскольку с помощью свойства аддитивности логарифмов ${displaystyle 2log(-x)=log((-x)^{2})=log(x^{2})=2log(x)}$. В письме 1747 г. Жан Ле Ронд д'Аламбер, Эйлер определил натуральный логарифм −1 как ${displaystyle ipi }$ а чисто воображаемый.^[4]

Эйлер хорошо известен в области анализа своим частым использованием и развитием степенной ряд: то есть выражение функций в виде суммы бесконечного числа членов, таких как

${displaystyle e=sum _{n=0}^{infty }{1 over n!}=lim _{n o infty }left({frac {1}{0!}}+{frac {1}{1!}}+{frac {1}{2!}}+cdots +{frac {1}{n!}}ight).}$

Примечательно, что Эйлер открыл разложения в степенной ряд для е и обратная тангенс функция

${displaystyle arctan z=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}.}$

Его использование степенных рядов позволило ему решить знаменитую Базельская проблема в 1735 г .:^[5]

${displaystyle lim _{n o infty }left({frac {1}{1^{2}}}+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+cdots +{frac {1}{n^{2}}}ight)={frac {pi ^{2}}{6}}.}$

Кроме того, Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций, введя гамма-функция и представил новый метод решения уравнения четвертой степени. Он также нашел способ вычисления интегралов со сложными пределами, предвещая развитие комплексный анализ. Эйлер изобрел вариационное исчисление включая его наиболее известный результат, Уравнение Эйлера – Лагранжа..

Эйлер также был пионером в использовании аналитических методов для решения задач теории чисел. При этом он объединил две разрозненные области математики и представил новую область исследований, аналитическая теория чисел. Создавая основу для этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрический ряд, q-серия, гиперболические тригонометрические функции и аналитическая теория непрерывные дроби. Например, он доказал бесконечность простых чисел используя расхождение гармонических рядов, и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как простые числа распространяются. Работа Эйлера в этой области привела к развитию теорема о простых числах.^[6]

Теория чисел

Большой интерес Эйлера к теории чисел можно объяснить влиянием его друга из Санкт-Петербургской академии, Кристиан Гольдбах. Многие его ранние работы по теории чисел были основаны на работах Пьер де Ферма, и развил некоторые идеи Ферма.

Одна из задач Эйлера заключалась в том, чтобы связать природу простого распределения с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных простых чисел расходится. При этом он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами, известными как Формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана.

Эйлер доказал Личности Ньютона, Маленькая теорема Ферма, Теорема Ферма о суммах двух квадратов, и внесли заметный вклад в Теорема Лагранжа о четырех квадратах. Он также изобрел общая функция φ (n), который присваивает положительному целому числу n количество натуральных чисел меньше n и взаимно простых с n. Используя свойства этой функции, он смог обобщить маленькую теорему Ферма на то, что впоследствии стало известно как Теорема Эйлера. Он также внес значительный вклад в понимание идеальные числа, который очаровывал математиков с Евклид. Эйлер продвинулся к теореме о простых числах и предположил закон квадратичная взаимность. Эти две концепции рассматриваются как фундаментальные теоремы теории чисел, и его идеи открыли путь для Карл Фридрих Гаусс.^[7]

Теория графов и топология

Карта Кенигсберга времен Эйлера, показывающая фактическое расположение семи мостов, выделяя реку Прегель и мосты.

Смотрите также: Семь мостов Кенигсберга

В 1736 году Эйлер решил или, вернее, оказался неразрешимой проблему, известную как семь мостов Кенигсберга.^[8] Город Кенигсберг, Королевство Пруссия (ныне Калининград, Россия) расположен на Pregel Река, и включала в себя два больших острова, которые были связаны между собой и с материком семью мостами. Вопрос в том, можно ли пройти маршрутом, который пересекает каждый мост ровно один раз, и вернуться в исходную точку. Решение Эйлером проблемы Кенигсбергского моста считается первой теоремой теория графов. Кроме того, его признание того, что ключевой информацией было количество мостов и список их конечных точек (а не их точное положение), предвещало развитие топология.^[8]

Эта печать бывшего Германская Демократическая Республика в честь Эйлера, показывающего его формулу, связывающую количество граней, ребер и вершин выпуклого многогранника.

Эйлер также внес вклад в понимание планарные графы. Он ввел формулу, определяющую соотношение между количеством ребер, вершин и граней выпуклого многогранника. Для такого многогранника чередующаяся сумма вершин, ребер и граней равна константе: V − E + F = 2. Эта константа χ является Эйлерова характеристика самолета. Изучение и обобщение этого уравнения, особенно Коши^[9] и Люлье,^[10] лежит в основе топология. Эйлерова характеристика, которая может быть обобщена на любые топологическое пространство как переменная сумма Бетти числа, естественно возникает из гомология. В частности, он равен 2 - 2грамм для закрытого ориентированного поверхность с родом грамм а к 2 -k для неориентируемой поверхности с k перемычками. Это свойство привело к определению системы вращения в топологическая теория графов.

Прикладная математика

Большинство величайших успехов Эйлера приходилось на применение аналитических методов к проблемам реального мира, в описании многочисленных приложений Числа Бернулли, Ряд Фурье, Диаграммы Венна, Числа Эйлера, е и π константы, цепные дроби и интегралы. Он интегрировал Лейбниц с дифференциальное исчисление с Ньютоном Метод флюсий, и разработал инструменты, которые упростили применение расчетов к физическим задачам. В частности, он добился больших успехов в улучшении численное приближение интегралов, изобретая то, что теперь известно как Эйлеровы приближения. Наиболее заметными из этих приближений являются Метод Эйлера и Формула Эйлера – Маклорена. Он также способствовал использованию дифференциальные уравнения, в частности, введение Константа Эйлера – Маскерони:

${displaystyle gamma =lim _{nightarrow infty }left(1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{4}}+cdots +{frac {1}{n}}-ln(n)ight).}$

Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в Музыка. В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae, надеясь в конечном итоге интегрировать теория музыки как часть математики. Однако эта часть его работы не получила широкого внимания и однажды была описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков.^[11]

Работает

Отдельно опубликованы работы Эйлера:

• Dissertatio Physica de Sono (Диссертация по физике звука) (Базель, 1727, кварто)
• Mechanica, sive motus scientia analytice; Expasita (СПб., 1736, в 2 тт. Кварт)
• Einleitung in die Arithmetik (СПб., 1738, в 2-х т. Октаво), на немецком и русском языках.
• Tentamen novae theoriae musicae (Санкт-Петербург, 1739, квартал)
• Methodus inveniendi lineas curvas, maximi minimive proprietate gaudentes (Лозанна, 1744 г., в кварто)
  • Additamentum II (английский перевод )
• Theoria motuum planetarum et cometarum (Берлин, 1744 г., квартал)
• Beantwortung и т. Д. или Ответы на разные вопросы о кометах (Берлин, 1744 г., в октаво)
• Neue Grundsatze и т. Д. или «Новые принципы артиллерии», перевод с английского Бенджамина Робинса, с примечаниями и иллюстрациями (Берлин, 1745 г., в октаво)
• Opuscula varii arguments (Берлин, 1746–1751, в 3 тт. Кварто)
• Novae et carrectae tabulae ad loco lunae computanda (Берлин, 1746 г., в кварто)
• Tabulae astronomicae solis et lunae (Берлин, квартал)
• Геданкен и т. Д. или Мысли об элементах тел (Берлин, in Quarto)
• Rettung der gall-lichen Offenbarung и т. Д., Защита Божественного откровения от вольнодумцев (Берлин, 1747 г., in Quarto)
• Введение в анализин бесконечный (Введение в анализ бесконечностей) (Лозанна, 1748 г., в 2 тт. Кварто)
• Введение в анализ бесконечного, перевод Дж. Блэнтон (Нью-Йорк, 1988–1990 в 2-х томах)
• Scientia navalis, seu tractatus de construendis ac dirigendis navibus (СПб, 1749, в 2 тт. Кварто)
• Полная теория конструкции и свойств судов с практическими выводами по управлению судами, упрощенная для мореплавателей. В переводе Хена Уотсона, эсквайра, с книги «Завершение строительства и маневра вейссо» знаменитого Леонарда Эйлера. Корнихилл, 1790 г.)
• Exposé Concernt l’examen de la lettre de M. de Leibnitz (1752 г., его английский перевод )
• Theoria motus lunae (Берлин, 1753 г., в кварто)
• Dissertatio de Principio mininiae actionis, una cum explore objectionum cl. проф. Koenigii (Берлин, 1753 г., октаво)
• Institutiones Calculi Differenceis, cum ejus usu in analysi Intuitorum ac doctrina serierum (Берлин, 1755 г., квартал)
• Constructio lentium objectivarum и т. Д. (Санкт-Петербург, 1762, квартал)
• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Росток, 1765, в кварто)
• Институты, интегральные исчисления (СПБ, 1768–1770, в 3 тт. Кварто)
• Lettres a une Princesse d'Allernagne sur quelques sujets de Physique et de Philosphie (СПб., 1768–1772, в 3-х томах октаво)
• Письма Эйлера к немецкой принцессе по разным предметам физики и философии (Лондон, 1802 г., в 2-х томах).
• Anleitung zur Algebra Элементы алгебры (Санкт-Петербург, 1770, октаво); Dioptrica (СПб., 1767–1771, в 3 т. Кварто)
• Theoria motuum lunge nova methoddo pertr. arctata '(СПб., 1772, в кварто)
• Novae tabulae lunares (Санкт-Петербург, октаво); Завершенная теория строительства и маневров вайссо (Санкт-Петербург, 1773, октаво).
• Eclaircissements svr etablissements en Favor taut des veuves que des marts, без даты
• Opuscula analytica (СПб., 1783–1785, в 2 т. Кварто). Видеть F. Rudio, Леонард Эйлер (Базель, 1884 г.).
• и Кристиан Гольдбах, Леонард Эйлер и Кристиан Гольдбах, Briefwechsel, 1729-1764 гг. А. П. Юскевич и Э. Винтер. [Übersetzungen aus dem Russischen und redaktionelle Bearbeitung der Ausgabe: P. Hoffmann] (Берлин: Akademie-Verlag, 1965).

Смотрите также

• Список вещей, названных в честь Леонхарда Эйлера

Рекомендации

1. Вольфрам, Стивен. «Математическая нотация: прошлое и будущее». Проверено августа 2006 г.. Проверить значения даты в: | accessdate = (помощь)
2. "Эйлер, Леонард (1707–1783)". Проверено апреля 2007 г.. Проверить значения даты в: | accessdate = (помощь)
3. Фейнман, Ричард (июнь 1970 г.). «Глава 22: Алгебра». Лекции Фейнмана по физике: Том I. п. 10.
4. Бойер, Карл Б .; Ута К. Мерцбах (1991). История математики. Джон Уайли и сыновья. стр.439–445. ISBN  0-471-54397-7.
5. Ваннер, Герхард; Харриер, Эрнст (март 2005 г.). Анализ по истории (1-е изд.). Springer. п. 62.
6. Данэм, Уильям (1999). "3,4". Эйлер: Мастер всех нас. Математическая ассоциация Америки.
7. Данэм, Уильям (1999). "1,4". Эйлер: Мастер всех нас. Математическая ассоциация Америки.
8. Александерсон, Джеральд (Июль 2006 г.). «Мосты Эйлера и Кенигсберга: исторический взгляд». Бюллетень Американского математического общества. 43 (4): 567. Дои:10.1090 / S0273-0979-06-01130-X.
9. Коши, A.L. (1813). "Recherche sur les polyèdres - премьерный воспоминание". Journal de l'École Polytechnique. 9 (Cahier 16): 66–86.
10. Lhuillier, S.-A.-J. (1861). "Mémoire sur la polyèdrométrie". Annales de Mathématiques. 3: 169–189.
11. Рональд Кэлинджер (1996). «Леонард Эйлер: Первые годы Петербурга (1727–1741)». Historia Mathematica. 23 (2): 144–145. Дои:10.1006 / hmat.1996.0015.