Доказательство формулы произведения Эйлера для дзета-функции Римана - Proof of the Euler product formula for the Riemann zeta function

Леонард Эйлер доказал Формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана в его диссертации Наблюдения Variae около серии infinitas (Различные наблюдения о бесконечных рядах), изданную Петербургской академией в 1737 году.^[1][2]

Формула произведения Эйлера

Формула произведения Эйлера для Дзета-функция Римана читает

${displaystyle zeta (s)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}=prod _{p{ ext{ prime}}}{frac {1}{1-p^{-s}}}}$

где левая часть равна дзета-функции Римана:

${displaystyle zeta (s)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}=1+{frac {1}{2^{s}}}+{frac {1}{3^{s}}}+{frac {1}{4^{s}}}+{frac {1}{5^{s}}}+ldots }$

а продукт справа распространяется на все простые числа п:

${displaystyle prod _{p{ ext{ prime}}}{frac {1}{1-p^{-s}}}={frac {1}{1-2^{-s}}}cdot {frac {1}{1-3^{-s}}}cdot {frac {1}{1-5^{-s}}}cdot {frac {1}{1-7^{-s}}}cdots {frac {1}{1-p^{-s}}}cdots }$

Доказательство формулы произведения Эйлера

Методика Эратосфен используется для отсеивания простых чисел.

Этот эскиз доказательство использует только простую алгебру. Это был метод, с помощью которого Эйлер первоначально открыл формулу. Есть определенный просеивание свойство, которое мы можем использовать в наших интересах:

${displaystyle zeta (s)=1+{frac {1}{2^{s}}}+{frac {1}{3^{s}}}+{frac {1}{4^{s}}}+{frac {1}{5^{s}}}+ldots }$

${displaystyle {frac {1}{2^{s}}}zeta (s)={frac {1}{2^{s}}}+{frac {1}{4^{s}}}+{frac {1}{6^{s}}}+{frac {1}{8^{s}}}+{frac {1}{10^{s}}}+ldots }$

Вычитая второе уравнение из первого, мы удаляем все элементы, которые имеют коэффициент 2:

${displaystyle left(1-{frac {1}{2^{s}}}ight)zeta (s)=1+{frac {1}{3^{s}}}+{frac {1}{5^{s}}}+{frac {1}{7^{s}}}+{frac {1}{9^{s}}}+{frac {1}{11^{s}}}+{frac {1}{13^{s}}}+ldots }$

Повторение для следующего срока:

${displaystyle {frac {1}{3^{s}}}left(1-{frac {1}{2^{s}}}ight)zeta (s)={frac {1}{3^{s}}}+{frac {1}{9^{s}}}+{frac {1}{15^{s}}}+{frac {1}{21^{s}}}+{frac {1}{27^{s}}}+{frac {1}{33^{s}}}+ldots }$

Снова вычитая, получаем:

${displaystyle left(1-{frac {1}{3^{s}}}ight)left(1-{frac {1}{2^{s}}}ight)zeta (s)=1+{frac {1}{5^{s}}}+{frac {1}{7^{s}}}+{frac {1}{11^{s}}}+{frac {1}{13^{s}}}+{frac {1}{17^{s}}}+ldots }$

где все элементы, имеющие коэффициент 3 или 2 (или оба), удалены.

Видно, что просеивается правая сторона. Бесконечно повторять ${displaystyle {frac {1}{p^{s}}}}$ куда ${displaystyle p}$ простое, получаем:

${displaystyle ldots left(1-{frac {1}{11^{s}}}ight)left(1-{frac {1}{7^{s}}}ight)left(1-{frac {1}{5^{s}}}ight)left(1-{frac {1}{3^{s}}}ight)left(1-{frac {1}{2^{s}}}ight)zeta (s)=1}$

Разделив обе стороны на все, кроме ζ (s) мы получаем:

${displaystyle zeta (s)={frac {1}{left(1-{frac {1}{2^{s}}}ight)left(1-{frac {1}{3^{s}}}ight)left(1-{frac {1}{5^{s}}}ight)left(1-{frac {1}{7^{s}}}ight)left(1-{frac {1}{11^{s}}}ight)ldots }}}$

Более кратко это можно записать как бесконечное произведение по всем простым числам п:

${displaystyle zeta (s)=prod _{p{ ext{ prime}}}{frac {1}{1-p^{-s}}}}$

Чтобы сделать это доказательство строгим, нам нужно только заметить, что когда ${displaystyle Re (s)>1}$, просеянная правая часть стремится к 1, что сразу следует из сходимости Серия Дирихле за ${displaystyle zeta (s)}$.

Дело ${displaystyle s=1}$

Интересный результат можно найти для ζ (1), гармонический ряд:

${displaystyle ldots left(1-{frac {1}{11}}ight)left(1-{frac {1}{7}}ight)left(1-{frac {1}{5}}ight)left(1-{frac {1}{3}}ight)left(1-{frac {1}{2}}ight)zeta (1)=1}$

что также можно записать как,

${displaystyle ldots left({frac {10}{11}}ight)left({frac {6}{7}}ight)left({frac {4}{5}}ight)left({frac {2}{3}}ight)left({frac {1}{2}}ight)zeta (1)=1}$

который,

${displaystyle left({frac {ldots cdot 10cdot 6cdot 4cdot 2cdot 1}{ldots cdot 11cdot 7cdot 5cdot 3cdot 2}}ight)zeta (1)=1}$

в качестве,${displaystyle zeta (1)=1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{4}}+{frac {1}{5}}+ldots }$

таким образом,

${displaystyle 1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{4}}+{frac {1}{5}}+ldots ={frac {2cdot 3cdot 5cdot 7cdot 11cdot ldots }{1cdot 2cdot 4cdot 6cdot 10cdot ldots }}}$

Пока сериал тест соотношения является неубедительным для левой части, его можно показать расходящимся ограничивающими логарифмами. Точно так же для правой части бесконечное копроизведение вещественных чисел больше единицы не гарантирует расхождения, например,

${displaystyle lim _{n o infty }left(1+{frac {1}{n}}ight)^{n}=e}$.

Вместо этого знаменатель может быть записан в виде первобытный числитель, чтобы расхождение было ясно

${displaystyle {frac {p_{n}#}{(p_{n}-1)#}}=e^{-sum _{k=1}^{n}ln left(1-{frac {1}{p_{k}}}ight)}=sum _{m=0}^{infty }{frac {1}{m!}}left(sum _{l=1}^{infty }sum _{k=1}^{n}{frac {1}{lp_{k}^{l}}}ight)^{m}}$

учитывая тривиальную составную логарифмическую расходимость обратного простого ряда.

Еще одно доказательство

Каждый фактор (для данного простого п) в продукте выше можно расширить до геометрическая серия состоящий из обратного п увеличено до кратных s, следующее

${displaystyle {frac {1}{1-p^{-s}}}=1+{frac {1}{p^{s}}}+{frac {1}{p^{2s}}}+{frac {1}{p^{3s}}}+ldots +{frac {1}{p^{ks}}}+ldots }$

Когда ${displaystyle Re (s)>1}$, у нас есть |п^−s| <1 и эта серия сходится абсолютно. Следовательно, мы можем взять конечное число множителей, перемножить их и переставить члены. Принимая все простые числа п до некоторого предела простого числа q, у нас есть

${displaystyle left|zeta (s)-prod _{pleq q}left({frac {1}{1-p^{-s}}}ight)ight|<sum _{n=q+1}^{infty }{frac {1}{n^{sigma }}}}$

где σ - действительная часть s. Посредством основная теорема арифметики, частичный продукт при раскрытии дает сумму, состоящую из этих членов п^−s куда п является произведением простых чисел, меньших или равных q. Неравенство возникает из-за того, что только целые числа больше, чем q может не появиться в этом развернутом частичном продукте. Поскольку разница между частным произведением и ζ (s) обращается в нуль при σ> 1, сходимость в этой области имеет место.

Смотрите также

• Произведение Эйлера
• Дзета-функция Римана

Рекомендации

• Джон Дербишир, Основная одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема математики, Джозеф Генри Пресс, 2003 г., ISBN  978-0-309-08549-6

Примечания

1. О'Коннор, Дж. Дж. И Робертсон, Э.Ф. (февраль 1996 г.). «История математического анализа». Сент-Эндрюсский университет. Получено 2007-08-07.
2. Джон Дербишир (2003), глава 7, «Золотой ключик и улучшенная теорема о простых числах»