Полиномы Эрмита - Hermite polynomials

Эта статья о семействе ортогональных многочленов на прямой. Для полиномиальной интерполяции на отрезке с использованием производных см. Эрмита интерполяция. Интегральное преобразование полиномов Эрмита см. Преобразование Эрмита.

В математика, то Полиномы Эрмита классические ортогональный полиномиальная последовательность.

Многочлены возникают в:

• вероятность, такой как Серия Эджворта;
• в комбинаторика, как пример Последовательность апелляций, подчиняясь темный камень;
• в числовой анализ так как Квадратура Гаусса;
• в физика, где они порождают собственные состояния из квантовый гармонический осциллятор;
• в теория систем в связи с нелинейными операциями на Гауссов шум.
• в теория случайных матриц в ансамблях Вигнера – Дайсона.

Многочлены Эрмита были определены Пьер-Симон Лаплас в 1810 г.,^[1][2] хотя в едва узнаваемой форме и подробно изучен Пафнутый Чебышев в 1859 г.^[3] Работы Чебышева остались незамеченными, и они были названы позже в честь Чарльз Эрмит, который писал о многочленах в 1864 году, описывая их как новые.^[4] Следовательно, они не были новыми, хотя Эрмит был первым, кто определил многомерные полиномы в своих более поздних публикациях 1865 года.

Определение

Как и другие классические ортогональные многочлены, полиномы Эрмита могут быть определены из нескольких различных отправных точек. С самого начала отмечая, что широко используются две различные стандартизации, один удобный метод заключается в следующем:

• В "вероятностные полиномы Эрмита" даны

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$

• в то время "полиномы Эрмита физиков" даны

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$

Эти уравнения имеют вид Формула Родригеса а также может быть записано как,

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$

Эти два определения не совсем идентичны; каждый является изменением масштаба другого:

${\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

Это полиномиальные последовательности Эрмита разной дисперсии; см. материал о вариациях ниже.

Обозначение Он и ЧАС это то, что используется в стандартных ссылках.^[5]Полиномы Он_п иногда обозначают ЧАС_п, особенно в теории вероятностей, потому что

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

это функция плотности вероятности для нормальное распределение с ожидаемое значение 0 и среднеквадратичное отклонение 1.

Первые шесть вероятностных многочленов Эрмита Он_п(Икс)

• Первые одиннадцать вероятностных полиномов Эрмита:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{0}(x)&=1,\\{\mathit {He}}_{1}(x)&=x,\\{\mathit {He}}_{2}(x)&=x^{2}-1,\\{\mathit {He}}_{3}(x)&=x^{3}-3x,\\{\mathit {He}}_{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\{\mathit {He}}_{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\{\mathit {He}}_{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\{\mathit {He}}_{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\{\mathit {He}}_{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\{\mathit {He}}_{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\{\mathit {He}}_{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}}$

Первые шесть (физических) многочленов Эрмита ЧАС_п(Икс)

• Первые одиннадцать полиномов Эрмита физиков:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}}$

Характеристики

В пМногочлен Эрмита -го порядка - это многочлен степени п. Версия вероятностников Он_п имеет старший коэффициент 1, в то время как версия физиков ЧАС_п имеет ведущий коэффициент 2^п.

Ортогональность

ЧАС_п(Икс) и Он_п(Икс) находятся пмногочлены степени для п = 0, 1, 2, 3,.... Эти полиномы ортогональны с уважением к весовая функция (мера )

${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}{\mathit {He}})}$

или

${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$

т.е. мы имеем

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$

Более того,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$

или

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$

куда ${\displaystyle \delta _{nm}}$ это Дельта Кронекера.

Таким образом, вероятностные полиномы ортогональны по отношению к стандартной нормальной функции плотности вероятности.

Полнота

Многочлены Эрмита (вероятностные или физики) образуют ортогональный базис из Гильбертово пространство функций, удовлетворяющих

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$

в котором внутренний продукт дается интегралом

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$

в том числе Гауссовский весовая функция ш(Икс) определено в предыдущем разделе

Ортогональный базис для L²(р, ш(Икс) dx) это полный ортогональная система. Для ортогональной системы полнота эквивалентно тому факту, что функция 0 является единственной функцией ж ∈ L²(р, ш(Икс) dx) ортогонален все функции в системе.

Поскольку линейный пролет многочленов Эрмита - это пространство всех многочленов, нужно показать (в физическом случае), что если ж удовлетворяет

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$

для каждого п ≥ 0, тогда ж = 0.

Один из возможных способов сделать это - понять, что вся функция

${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$

тождественно пропадает. Дело в том, что F(Это) = 0 для каждого настоящего т означает, что преобразование Фурье из ж(Икс)е^−Икс2 равно 0, следовательно ж 0 почти везде. Варианты приведенного выше доказательства полноты применимы к другим весам с экспоненциальным убыванием.

В случае Эрмита также возможно доказать явное тождество, влекущее за собой полноту (см. Отношение полноты ниже).

Эквивалентная формулировка того факта, что полиномы Эрмита являются ортогональным базисом для L²(р, ш(Икс) dx) состоит во введении Hermite функции (см. ниже), и говоря, что функции Эрмита являются ортонормированным базисом для L²(р).

Дифференциальное уравнение Эрмита

Вероятностные полиномы Эрмита являются решениями дифференциального уравнения

${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$

куда λ является константой. Наложив граничное условие, что ты должно быть полиномиально ограничено на бесконечности, уравнение имеет решения, только если λ является целым неотрицательным числом, и решение однозначно дается формулой ${\displaystyle u(x)=C_{1}He_{\lambda }(x)}$, куда ${\displaystyle C_{1}}$ обозначает константу.

Переписав дифференциальное уравнение в виде проблема собственных значений

${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$

полиномы Эрмита ${\displaystyle He_{\lambda }(x)}$ можно понимать как собственные функции дифференциального оператора ${\displaystyle L[u]}$ . Эта проблема собственных значений называется Уравнение Эрмита, хотя этот термин также используется для тесно связанного уравнения

${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$

решение которой однозначно дается в терминах полиномов Эрмита физиков в виде ${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$, куда ${\displaystyle C_{1}}$ обозначает константу после наложения граничного условия, что ты должна быть полиномиально ограничена на бесконечности.

Общие решения вышеупомянутых дифференциальных уравнений второго порядка являются фактически линейными комбинациями как полиномов Эрмита, так и вырожденных гипергеометрических функций первого рода. Например, для уравнения Эрмита физиков

${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$

общее решение принимает вид

${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$

куда ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ константы, ${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$ являются полиномами Эрмита (первого рода) физиков, и ${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$ - функции Эрмита (второго рода) физиков. Последние функции компактно представлены в виде ${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$ куда ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ находятся Конфлюэнтные гипергеометрические функции первого рода.. Обычные полиномы Эрмита также могут быть выражены в терминах конфлюэнтных гипергеометрических функций, см. Ниже.

С более общими граничными условиями полиномы Эрмита можно обобщить, чтобы получить более общие аналитические функции для комплексных λ. Явная формула многочленов Эрмита через контурные интегралы (Курант и Гильберт 1989 ) тоже возможно.

Отношение рецидива

Последовательность вероятностных многочленов Эрмита также удовлетворяет отношение повторения

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x).}$

Индивидуальные коэффициенты связаны следующей формулой рекурсии:

${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-na_{n-1,k}&k=0,\\a_{n,k-1}-na_{n-1,k}&k>0,\end{cases}}}$

и а_0,0 = 1, а_1,0 = 0, а_1,1 = 1.

Для полиномов физиков в предположении

${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$

у нас есть

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$

Индивидуальные коэффициенты связаны следующей формулой рекурсии:

${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$

и а_0,0 = 1, а_1,0 = 0, а_1,1 = 2.

Многочлены Эрмита составляют Последовательность апелляций, т.е. они представляют собой полиномиальную последовательность, удовлетворяющую тождеству

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}'(x)&=n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

Эквивалентно Тейлор-расширение,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}{\mathit {He}}_{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right){\mathit {He}}_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$

Эти мрачный идентичности очевидны и включены в представление дифференциального оператора подробно описано ниже,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$

Как следствие, для мth производных выполняются соотношения:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}{\mathit {He}}_{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}{\mathit {He}}_{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$

Отсюда следует, что полиномы Эрмита также удовлетворяют отношение повторения

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n+1}(x)&=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

Эти последние соотношения вместе с исходными многочленами ЧАС₀(Икс) и ЧАС₁(Икс), можно использовать на практике для быстрого вычисления полиномов.

Неравенство Турана находятся

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {He}}_{n-1}(x){\mathit {He}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {He}}_{i}(x)^{2}>0.}$

Более того, следующие теорема умножения держит:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\{\mathit {He}}_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}{\mathit {He}}_{n-2i}(x).\end{aligned}}}$

Явное выражение

Полиномы Эрмита физиков могут быть явно записаны как

${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$

Эти два уравнения можно объединить в одно, используя функция пола:

${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$

Вероятностные многочлены Эрмита Он имеют аналогичные формулы, которые могут быть получены из них заменой степени 2Икс с соответствующей мощностью √2 Икс и умножая всю сумму на 2^−п/2:

${\displaystyle He_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$

Обратное явное выражение

Обратное к вышеприведенным явным выражениям, то есть выражения для мономов через вероятностные многочлены Эрмита Он находятся

${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}He_{n-2m}(x).}$

Соответствующие выражения для полиномов Эрмита физиков ЧАС следуйте непосредственно, правильно масштабируя это:^[6]

${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$

Производящая функция

Полиномы Эрмита задаются формулами экспоненциальная производящая функция

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$

Это равенство справедливо для всех сложный ценности Икс и т, и может быть получена записью разложения Тейлора в Икс всей функции z → е^−z2 (в случае с физиками). Можно также получить производящую функцию (физиков), используя Интегральная формула Коши записать полиномы Эрмита в виде

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$

Используя это в сумме

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$

можно вычислить оставшийся интеграл, используя исчисление вычетов, и прийти к желаемой производящей функции.

Ожидаемые значения

Если Икс это случайная переменная с нормальное распределение со стандартным отклонением 1 и ожидаемым значением μ, тогда

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[{\mathit {He}}_{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$

Моменты стандартной нормали (с нулевым ожидаемым значением) могут быть считаны непосредственно из соотношения для четных индексов:

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{2n}(0)=(2n-1)!!,}$

куда (2п − 1)!! это двойной факториал. Обратите внимание, что приведенное выше выражение является частным случаем представления вероятностных многочленов Эрмита в виде моментов:

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$

Асимптотическое разложение

Асимптотически при п → ∞, расширение^[7]

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$

Справедливо.В некоторых случаях, касающихся более широкого диапазона оценки, необходимо включить коэффициент изменения амплитуды:

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$

который, используя Приближение Стирлинга, можно еще больше упростить, в пределе, до

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$

Это расширение необходимо для разрешения волновая функция из квантовый гармонический осциллятор такое, что оно согласуется с классическим приближением в пределе принцип соответствия.

Лучшее приближение, учитывающее изменение частоты, дается формулой

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$

Более тонкое приближение,^[8] который учитывает неравномерное расстояние между нулями у краев, использует замену

${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$

с которым имеется равномерное приближение

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$

Аналогичные приближения справедливы для монотонной и переходной областей. В частности, если

${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$

тогда

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$

в то время как для

${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$

с т комплексный и ограниченный, приближение

${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$

куда Ай это Функция Эйри первого вида.

Особые ценности

Полиномы Эрмита физиков, вычисленные при нулевом аргументе ЧАС_п(0) называются Числа Эрмита.

${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$

которые удовлетворяют рекурсивному соотношению ЧАС_п(0) = −2(п − 1)ЧАС_{п − 2}(0).

В терминах вероятностных полиномов это означает

${\displaystyle He_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$

Отношения к другим функциям

Полиномы Лагерра

Полиномы Эрмита можно выразить как частный случай Полиномы Лагерра:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-i}}{\frac {x^{2i}}{i!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-i}}{\frac {x^{2i+1}}{i!}}.\end{aligned}}}$

Связь с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями

Полиномы Эрмита физиков можно выразить как частный случай функции параболического цилиндра:

${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}$

в правая полуплоскость, куда U(а, б, z) является Конфлюэнтная гипергеометрическая функция Трикоми. Так же,

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}}$

куда ₁F₁(а, б; z) = M(а, б; z) является Конфлюэнтная гипергеометрическая функция Куммера.

Дифференциально-операторное представление

Вероятностные полиномы Эрмита удовлетворяют тождеству

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},}$

куда D представляет собой дифференцирование по Икс, а экспоненциальный интерпретируется расширением его как степенной ряд. Когда этот ряд работает с многочленами, нет деликатных вопросов о сходимости этого ряда, поскольку все члены, кроме конечного числа, равны нулю.

Поскольку коэффициенты степенного ряда экспоненты хорошо известны, а производные монома высших порядков Икс^п можно записать явно, это дифференциально-операторное представление приводит к конкретной формуле для коэффициентов ЧАС_п которые можно использовать для быстрого вычисления этих многочленов.

Поскольку формальное выражение для Преобразование Вейерштрасса W является е^D2, мы видим, что преобразование Вейерштрасса (√2)^пОн_п(Икс/√2) является Икс^п. Таким образом, преобразование Вейерштрасса превращает серию многочленов Эрмита в соответствующий Серия Маклорена.

Существование некоторого формального степенного ряда грамм(D) с ненулевым постоянным коэффициентом, такой что Он_п(Икс) = грамм(D)Икс^п, является еще одним эквивалентом утверждения, что эти многочлены образуют Последовательность апелляций. Поскольку это последовательность Аппеля, они a fortiori а Последовательность Шеффера.

Дальнейшая информация: Преобразование Вейерштрасса § Обратное

Контурно-интегральное представление

Из представленного выше представления производящей функции мы видим, что многочлены Эрмита имеют представление в терминах контурный интеграл, так как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}$

контуром, охватывающим начало координат.

Обобщения

Полиномы Эрмита, определенные выше, ортогональны по отношению к стандартному нормальному распределению вероятностей, функция плотности которого равна

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$

который имеет ожидаемое значение 0 и дисперсию 1.

О масштабировании аналогично можно говорить о обобщенные полиномы Эрмита^[9]

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)}$

отклонения α, куда α - любое положительное число. Тогда они ортогональны по отношению к нормальному распределению вероятностей, функция плотности которого

${\displaystyle (2\pi \alpha )^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.}$

Они даны

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).}$

Сейчас если

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},}$

то полиномиальная последовательность, п-й член

${\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,{\mathit {He}}_{k}^{[\beta ]}(x)}$

называется умбральный состав двух полиномиальных последовательностей. Можно показать, что удовлетворяются тождества

${\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)={\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)}$

и

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[\beta ]}(y).}$

Последняя идентичность выражается в том, что это параметризованное семейство полиномиальных последовательностей называется кросс-последовательностью. (См. Выше раздел о последовательностях апелляций и дифференциально-операторное представление, что приводит к готовому его выводу. Этот биномиальный тип личность, для α = β = 1/2, уже встречался в предыдущем разделе о # Рекурсивные отношения.)

«Отрицательная дисперсия»

Поскольку полиномиальные последовательности образуют группа под управлением умбральный состав, можно обозначить через

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)}$

последовательность, которая обратна той, которая обозначена аналогично, но без знака минус, и, таким образом, говорит о полиномах Эрмита с отрицательной дисперсией. За α> 0, коэффициенты при ${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)}$ являются абсолютными значениями соответствующих коэффициентов при ${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)}$.

Они возникают как моменты нормального распределения вероятностей: п-й момент нормального распределения с математическим ожиданием μ и дисперсия σ² является

${\displaystyle E[X^{n}]={\mathit {He}}_{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),}$

куда Икс - случайная величина с указанным нормальным распределением. Частный случай идентичности кросс-последовательностей говорит, что

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[-\alpha ]}(y)={\mathit {He}}_{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}$

Приложения

Функции Эрмита

Можно определить Функции Эрмита (часто называемые функциями Эрмита-Гаусса) из полиномов физиков:

${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$

Таким образом,

${\displaystyle {\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x).}$

Поскольку эти функции содержат квадратный корень из весовая функция и были соответствующим образом масштабированы, они ортонормированный:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},}$

и они образуют ортонормированный базис L²(р). Этот факт эквивалентен соответствующему утверждению для полиномов Эрмита (см. Выше).

Функции Эрмита тесно связаны с Функция Уиттекера (Уиттакер и Ватсон 1996 ) D_п(z):

${\displaystyle D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}}$

и тем самым другим функции параболического цилиндра.

Функции Эрмита удовлетворяют дифференциальному уравнению

${\displaystyle \psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.}$

Это уравнение эквивалентно Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора в квантовой механике, поэтому эти функции являются собственные функции.

Функции Эрмита: 0 (черный), 1 (красный), 2 (синий), 3 (желтый), 4 (зеленый) и 5 ​​(пурпурный)

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}(x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{\sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}}$

Функции Эрмита: 0 (черный), 2 (синий), 4 (зеленый) и 50 (пурпурный)

Отношение рекурсии

Следуя рекурсивным соотношениям полиномов Эрмита, функции Эрмита подчиняются

${\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$

и

${\displaystyle x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x).}$

Распространение первого отношения на произвольное мth производные для любого положительного целого числа м приводит к

${\displaystyle \psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x){\mathit {He}}_{k}(x).}$

Эта формула может быть использована в связи с рекуррентными соотношениями для Он_п и ψ_п для эффективного вычисления любой производной функций Эрмита.

Неравенство Крамера

Серьезно Икс, функции Эрмита удовлетворяют следующей оценке в силу Харальд Крамер^[10][11] и Джек Индриц:^[12]

${\displaystyle {\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}$

Функции Эрмита как собственные функции преобразования Фурье

Функции Эрмита ψ_п(Икс) представляют собой набор собственных функций непрерывное преобразование Фурье F. Чтобы убедиться в этом, возьмите физическую версию производящей функции и умножьте на е^{−1/2Икс2}. Это дает

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Преобразование Фурье левой части дается выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\right\}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){\frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$

Преобразование Фурье правой части дается формулой

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Приравнивая одинаковые силы т в преобразованных версиях левой и правой частей окончательно дает

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).}$

Функции Эрмита ψ_п(Икс) являются ортонормированным базисом L²(р), который диагонализирует оператор преобразования Фурье.^[13]

Распределения Вигнера функций Эрмита

В Функция распределения Вигнера из пфункция Эрмита-го порядка связана с пй порядок Полином Лагерра. Полиномы Лагерра равны

${\displaystyle L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},}$

приводящие к осциллятору функций Лагерра

${\displaystyle l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).}$

Для всех натуральных чисел п, легко увидеть^[14] это

${\displaystyle W_{\psi _{n}}(t,f)=(-1)^{n}l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2}){\big )},}$

где распределение Вигнера функции Икс ∈ L²(р, C) определяется как

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

Это фундаментальный результат для квантовый гармонический осциллятор обнаружен Хип Groenewold в 1946 г. защитил кандидатскую диссертацию.^[15] Это стандартная парадигма квантовая механика в фазовом пространстве.

Есть дальнейшие отношения между двумя семействами многочленов.

Комбинаторная интерпретация коэффициентов

В полиноме Эрмита Он_п(Икс) дисперсии 1 абсолютное значение коэффициента Икс^k это количество (неупорядоченных) разделов п- член установлен в k синглтоны и п − k/2 (неупорядоченные) пары. Сумма абсолютных значений коэффициентов дает общее количество разбиений на одиночки и пары, так называемые телефонные номера

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (последовательность A000085 в OEIS ).

Эта комбинаторная интерпретация может быть отнесена к полной экспоненциальной Полиномы Белла так как

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}$

куда Икс_я = 0 для всех я > 2.

Эти числа также могут быть выражены как специальное значение полиномов Эрмита:^[16]

${\displaystyle T(n)={\frac {{\mathit {He}}_{n}(i)}{i^{n}}}.}$

Отношение полноты

В Формула Кристоффеля – Дарбу для полиномов Эрмита читается

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}$

Более того, следующие полнота идентичности для указанных функций Эрмита выполняется в смысле распределения:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),}$

куда δ это Дельта-функция Дирака, ψ_п функции Эрмита и δ(Икс − у) представляет Мера Лебега на линии у = Икс в р², нормированный так, чтобы его проекция на горизонтальную ось была обычной мерой Лебега.

Эта распределительная идентичность следует Винер (1958) принимая ты → 1 в Формула Мелера, действительно, когда −1 < ты < 1:

${\displaystyle E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),}$

которое часто называют эквивалентным разделимым ядром,^[17][18]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.}$

Функция (Икс, у) → E(Икс, у; ты) - двумерная гауссова плотность вероятности на р², то есть когда ты близко к 1, очень сконцентрировано вокруг линии у = Икс, и очень разошлись по этой линии. Это следует из того

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},g\rangle =\iint E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle }$

когда ж и грамм непрерывны и имеют компактные опоры.

Это дает ж может быть выражена в функциях Эрмита как сумма ряда векторов в L²(р), а именно

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.}$

Чтобы доказать указанное выше равенство для E(Икс,у;ты), то преобразование Фурье из Гауссовы функции используется повторно:

${\displaystyle \rho {\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\rho ^{2}x^{2}}{4}}}=\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{for }}\rho >0.}$

Тогда полином Эрмита представляется в виде

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds.}$

С этим представлением для ЧАС_п(Икс) и ЧАС_п(у), очевидно, что

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{aligned}}}$

и это дает желаемое разрешение тождественного результата, снова используя преобразование Фурье гауссовых ядер при подстановке

${\displaystyle s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\quad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.}$

Смотрите также

• Преобразование Эрмита
• Полиномы Лежандра
• Ядро Мелера
• Функция параболического цилиндра
• Полиномы Романовского
• Неравенство Турана

Примечания

1. Лаплас 1810 (онлайн ).
2. Лаплас, П.-С. (1812 г.), Аналитическая теория вероятностей [Аналитическая теория вероятностей], 2, стр. 194–203 Собран в Uvres совокупные VII.
3. Чебышев, П. Л. (1859). "Sur le développement des fonctions à une seule variable" [О разработке функций одной переменной]. Бык. Акад. Sci. Санкт-Петербург. 1: 193–200. Собран в Uvres я, 501–508.
4. Эрмит, К. (1864). "Sur un nouveau développement en série de fonctions" [О новом развитии в функциональной серии]. C. R. Acad. Sci. Париж. 58: 93–100. Собран в Uvres II, 293–303.
5. Том Х. Коорнвиндер, Родерик С. С. Вонг и Рулоф Коэкоек и др. (2010 ) и Абрамовиц и Стегун.
6. «18. Ортогональные многочлены, классические ортогональные многочлены, суммы». Электронная библиотека математических функций. Национальный институт стандартов и технологий. Получено 30 января 2015.
7. Абрамовиц и Стегун, 1983, п. 508–510, 13.6.38 и 13.5.16.
8. Сегё 1955, п. 201
9. Роман, Стивен (1984), Темное исчисление, Чистая и прикладная математика, 111 (1-е изд.), Academic Press, стр. 87–93, ISBN  978-0-12-594380-2
10. Erdélyi et al. 1955 г., п. 207.
11. Сегё 1955.
12. Индриц, Джек (1961), "Неравенство для многочленов Эрмита", Труды Американского математического общества, 12 (6): 981–983, Дои:10.1090 / S0002-9939-1961-0132852-2, Г-Н  0132852
13. В этом случае мы использовали унитарный вариант преобразования Фурье, поэтому собственные значения находятся (−я)^п. Последующее разрешение тождества затем служит для определения степеней, включая дробные, преобразования Фурье, т.е. Дробное преобразование Фурье обобщение, по сути Ядро Мелера.
14. Фолланд, Г.Б. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве, Анналы математических исследований, 122, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-08528-9
15. Groenewold, H. J. (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica. 12 (7): 405–460. Bibcode:1946Phy .... 12..405G. Дои:10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4.
16. Бандерье, Кирилл; Буске-Мелу, Мирей; Дениз, Ален; Флажоле, Филипп; Гарди, Даниэль; Gouyou-Beauchamps, Доминик (2002), "Производящие функции для создания деревьев", Дискретная математика, 246 (1–3): 29–55, arXiv:математика / 0411250, Дои:10.1016 / S0012-365X (01) 00250-3, Г-Н  1884885
17. Мелер, Ф. Г. (1866), "Ueber die Entwicklung einer Function von correbig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung" [О развитии функции произвольного числа переменных в соответствии с функциями Лапласа более высокого порядка], Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке) (66): 161–176, ISSN  0075-4102, ERAM  066.1720cj. См. Стр. 174, ур. (18) и стр. 173, ур. (13).
18. Erdélyi et al. 1955 г., п. 194, 10,13 (22).

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. Г-Н  0167642. LCCN  65-12253.
• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1989) [1953], Методы математической физики, Том 1, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-50447-4
• Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции (PDF), II, МакГроу-Хилл, ISBN  978-0-07-019546-2
• Федорюк, М. (2001) [1994], «Функция Эрмита», Энциклопедия математики, EMS Press
• Коорнвиндер, Том Х.; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Сварттоу, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248
• Лаплас, П. С. (1810 г.), "Память о встроенных секретах и ​​приложениях, связанных с вероятностями, и специальными элементами в поисках окружающей среды, которая может быть выбрана после результатов наблюдений", Mémoires de l'Académie des Sciences: 279–347 Oeuvres complete 12, pp.357-412, английский перевод.
• Shohat, J.A .; Хилле, Эйнар; Уолш, Джозеф Л. (1940), Библиография по ортогональным многочленам, Бюллетень Национального исследовательского совета, номер 103, Вашингтон, округ Колумбия: Национальная академия наук. - 2000 ссылок Библиографии по полиномам Эрмита.
• Суетин, П. К. (2001) [1994], «Многочлены Эрмита», Энциклопедия математики, EMS Press
• Сегё, Габор (1955) [1939], Ортогональные многочлены, Публикации коллоквиума, 23 (4-е изд.) Американского математического общества, ISBN  978-0-8218-1023-1
• Темме, Нико (1996), Специальные функции: введение в классические функции математической физики, Нью-Йорк: Wiley, ISBN  978-0-471-11313-3
• Винер, Норберт (1958) [1933], Интеграл Фурье и некоторые его приложения (пересмотренное издание), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  0-486-60272-9
• Уиттакер, Э. Т.; Уотсон, Г.Н. (1996) [1927], Курс современного анализа (4-е изд.), Лондон: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-58807-2

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Многочлен Эрмита». MathWorld.
• Научная библиотека GNU - включает C версия полиномов Эрмита, функций, их производных и нулей (см. также Научная библиотека GNU )