Функция распределения Вигнера - Wigner distribution function

WDF (красный и желтый) и банк FIR (зеленый) анализ частотно-временного распределения.

В Функция распределения Вигнера (WDF) используется в обработка сигналов как преобразование в частотно-временной анализ.

WDF была впервые предложена в физике для учета квантовых поправок к классической статистической механике в 1932 г. Юджин Вигнер, и это важно в квантовая механика в фазовом пространстве (см. для сравнения: Квази-вероятностное распределение Вигнера, также называемый Функция Вигнера или Распределение Вигнера – Вилля).

Учитывая общую алгебраическую структуру между положением-импульсом и частотой-временем сопряженные пары, он также полезен при обработке сигналов, как преобразование в частотно-временном анализе, являющемся предметом данной статьи. По сравнению с кратковременное преобразование Фурье, такой как Преобразование Габора, функция распределения Вигнера обеспечивает максимально возможное временное разрешение по сравнению с частотным, что математически возможно в пределах неопределенности в квантовой теории волн.

Спектрограммы WDF визуально заметно отличаются от спектрограмм FFT. Спектрограммы WDF слишком медленны для потоковой передачи звука по сравнению со спектрограммами FFT: для их вычисления требуется примерно в 50 раз больше времени. WDF - лучший выбор, чем FFT, при изучении звука в одной детали, где требуется граф TF самого высокого качества, например для нейронной сети; WDF слишком затратен в вычислительном отношении для потоковой передачи звука, например распознавание речи. Для генерации спектрограммы WDF с точностью до выборки (1024 полосы) в реальном времени потребуется около 16 ядер современного настольного ПК.

Математическое определение

Существует несколько различных определений функции распределения Вигнера. Приведенное здесь определение относится к частотно-временному анализу. Учитывая временной ряд ${displaystyle x[t]}$, его нестационарный автокорреляция функция задается

${displaystyle C_{x}(t_{1},t_{2})=leftlangle left(x[t_{1}]-mu [t_{1}]ight)left(x[t_{2}]-mu [t_{2}]ight)^{*}ightangle ,}$

куда ${displaystyle langle cdots angle }$ обозначает среднее по всем возможным реализациям процесса, а ${displaystyle mu (t)}$ это среднее значение, которое может быть или не зависеть от времени. Функция Вигнера ${displaystyle W_{x}(t,f)}$ затем дается, сначала выражая автокорреляционную функцию через среднее время ${displaystyle t=(t_{1}+t_{2})/2}$ и отставание во времени ${displaystyle au =t_{1}-t_{2}}$, а затем преобразование Фурье запаздывания.

${displaystyle W_{x}(t,f)=int _{-infty }^{infty }C_{x}left(t+{frac { au }{2}},t-{frac { au }{2}}ight),e^{-2pi i au f},d au .}$

Таким образом, для одного временного ряда (с нулевым средним) функция Вигнера просто дается выражением

${displaystyle W_{x}(t,f)=int _{-infty }^{infty }xleft(t+{frac { au }{2}}ight),x^{*}left(t-{frac { au }{2}}ight),e^{-2pi i au f},d au .}$

Мотивация функции Вигнера заключается в том, что она сводится к спектральная плотность функционировать всегда ${displaystyle t}$ для стационарных процессов, но он полностью эквивалентен нестационарной автокорреляционной функции. Следовательно, функция Вигнера сообщает нам (примерно), как спектральная плотность изменяется во времени.

Пример частотно-временного анализа

Вот несколько примеров, иллюстрирующих, как WDF используется в частотно-временном анализе.

Постоянный входной сигнал

Когда входной сигнал постоянен, его частотно-временное распределение представляет собой горизонтальную линию вдоль оси времени. Например, если Икс(т) = 1, то

${displaystyle W_{x}(t,f)=int _{-infty }^{infty }e^{-i2pi au ,f},d au =delta (f).}$

Синусоидальный входной сигнал

Когда входной сигнал является синусоидальной функцией, его частотно-временное распределение представляет собой горизонтальную линию, параллельную оси времени, смещенную от нее на частоту синусоидального сигнала. Например, если Икс(т) = е ^i2πkt, тогда

${displaystyle {egin{aligned}W_{x}(t,f)&=int _{-infty }^{infty }e^{i2pi kleft(t+{frac { au }{2}}ight)}e^{-i2pi kleft(t-{frac { au }{2}}ight)}e^{-i2pi au ,f},d au &=int _{-infty }^{infty }e^{-i2pi au left(f-kight)},d au &=delta (f-k).end{aligned}}}$

Входной сигнал Chirp

Когда входной сигнал является линейным функция щебетать мгновенная частота является линейной функцией. Это означает, что частотно-временное распределение должно быть прямой линией. Например, если

${displaystyle x(t)=e^{i2pi kt^{2}}}$ ,

то его мгновенная частота равна

${displaystyle {frac {1}{2pi }}{frac {d(2pi kt^{2})}{dt}}=2kt~,}$

и его WDF

${displaystyle {egin{aligned}W_{x}(t,f)&=int _{-infty }^{infty }e^{i2pi kleft(t+{frac { au }{2}}ight)^{2}}e^{-i2pi kleft(t-{frac { au }{2}}ight)^{2}}e^{-i2pi au ,f},d au &=int _{-infty }^{infty }e^{i4pi kt au }e^{-i2pi au f},d au &=int _{-infty }^{infty }e^{-i2pi au (f-2kt)},d au &=delta (f-2kt)~.end{aligned}}}$

Входной сигнал дельта

Когда входной сигнал представляет собой дельта-функцию, поскольку он отличен от нуля только при t = 0 и содержит бесконечные частотные компоненты, его частотно-временное распределение должно быть вертикальной линией через начало координат. Это означает, что частотно-временное распределение дельта-функции также должно быть дельта-функцией. Автор: WDF

${displaystyle {egin{aligned}W_{x}(t,f)&=int _{-infty }^{infty }delta left(t+{frac { au }{2}}ight)delta left(t-{frac { au }{2}}ight)e^{-i2pi au ,f},d au &=4int _{-infty }^{infty }delta (2t+ au )delta (2t- au )e^{-i2pi au f},d au &=4delta (4t)e^{i4pi tf}&=delta (t)e^{i4pi tf}&=delta (t).end{aligned}}}$

Функция распределения Вигнера лучше всего подходит для частотно-временного анализа, когда фаза входного сигнала 2-го порядка или ниже. Для этих сигналов WDF может точно сгенерировать частотно-временное распределение входного сигнала.

Функция товарного вагона

${displaystyle x(t)={egin{cases}1&|t|<1/2�&{ ext{otherwise}}end{cases}}qquad }$ ,

то прямоугольная функция   ⇒

${displaystyle W_{x}(t,f)={egin{cases}{frac {1}{pi f}}sin(2pi f{1-2|t|})&|t|<1/2�&{mbox{otherwise}}end{cases}}}$

Перекрестная собственность

Функция распределения Вигнера не является линейным преобразованием. Перекрестный термин («биения времени») возникает, когда во входном сигнале присутствует более одного компонента, аналогично по времени частота ударов.^[1] В исконной физике Квази-вероятностное распределение Вигнера, этот термин имеет важные и полезные физические следствия, необходимые для точных математических ожиданий. Напротив, кратковременное преобразование Фурье не имеет этой функции. Отрицательные особенности WDF отражают Предел Габора классического сигнала и физически не связан с какой-либо возможной основой квантовой структуры.

Ниже приведены некоторые примеры, демонстрирующие перекрестную характеристику функции распределения Вигнера.

• ${displaystyle x(t)={egin{cases}cos(2pi t)&tleq -2cos(4pi t)&-2<tleq 2cos(3pi t)&t>2end{cases}}}$
• ${displaystyle x(t)=e^{it^{3}}}$

Для того, чтобы уменьшить сложность промежуточных результатов, в литературе было предложено несколько подходов,^[2][3][4] некоторые из них ведут к новым преобразованиям, поскольку модифицированная функция распределения Вигнера, то Преобразование Габора – Вигнера, то Функция распределения Чоя-Вильямса и Распределение классов Коэна.

Свойства функции распределения Вигнера

Функция распределения Вигнера имеет несколько очевидных свойств, перечисленных в следующей таблице.

Свойство проекции

${displaystyle {egin{aligned}|x(t)|^{2}&=int _{-infty }^{infty }W_{x}(t,f),df|X(f)|^{2}&=int _{-infty }^{infty }W_{x}(t,f),dtend{aligned}}}$

Энергетическая собственность

${displaystyle int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }W_{x}(t,f),df,dt=int _{-infty }^{infty }|x(t)|^{2},dt=int _{-infty }^{infty }|X(f)|^{2},df}$

Восстановление собственности

${displaystyle {egin{aligned}int _{-infty }^{infty }W_{x}left({frac {t}{2}},fight)e^{i2pi ft},df&=x(t)x^{*}(0)int _{-infty }^{infty }W_{x}left(t,{frac {f}{2}}ight)e^{i2pi ft},dt&=X(f)X^{*}(0)end{aligned}}}$

Средняя частота состояния и среднее время состояния

${displaystyle {egin{aligned}X(f)&=|X(f)|e^{i2pi psi (f)},quad x(t)=|x(t)|e^{i2pi phi (t)},{ ext{if }}phi '(t)&=|x(t)|^{-2}int _{-infty }^{infty }fW_{x}(t,f),df{ ext{ and }}-psi '(f)&=|X(f)|^{-2}int _{-infty }^{infty }tW_{x}(t,f),dtend{aligned}}}$

Свойства момента

${displaystyle {egin{aligned}int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }t^{n}W_{x}(t,f),dt,df&=int _{-infty }^{infty }t^{n}|x(t)|^{2},dtint _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }f^{n}W_{x}(t,f),dt,df&=int _{-infty }^{infty }f^{n}|X(f)|^{2},dfend{aligned}}}$

Недвижимость

${displaystyle W_{x}^{*}(t,f)=W_{x}(t,f)}$

Свойства региона

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{If }}x(t)&=0{ ext{ for }}t>t_{0}{ ext{ then }}W_{x}(t,f)=0{ ext{ for }}t>t_{0}{ ext{If }}x(t)&=0{ ext{ for }}t<t_{0}{ ext{ then }}W_{x}(t,f)=0{ ext{ for }}t<t_{0}end{aligned}}}$

Теорема умножения

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{If }}y(t)&=x(t)h(t){ ext{then }}W_{y}(t,f)&=int _{-infty }^{infty }W_{x}(t,ho )W_{h}(t,f-ho ),dho end{aligned}}}$

Теорема свертки

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{If }}y(t)&=int _{-infty }^{infty }x(t- au )h( au ),d au { ext{then }}W_{y}(t,f)&=int _{-infty }^{infty }W_{x}(ho ,f)W_{h}(t-ho ,f),dho end{aligned}}}$

Теорема о корреляции

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{If }}y(t)&=int _{-infty }^{infty }x(t+ au )h^{*}( au ),d au { ext{ then }}W_{y}(t,omega )&=int _{-infty }^{infty }W_{x}(ho ,omega )W_{h}(-t+ho ,omega ),dho end{aligned}}}$

Ковариация со сдвигом во времени

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{If }}y(t)&=x(t-t_{0}){ ext{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t-t_{0},f)end{aligned}}}$

Ковариация модуляции

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{If }}y(t)&=e^{i2pi f_{0}t}x(t){ ext{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t,f-f_{0})end{aligned}}}$

Ковариация шкалы

${displaystyle {egin{aligned}{ ext{If }}y(t)&={sqrt {a}}x(at){ ext{ for some }}a>0{ ext{ then }}{ ext{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(at,{frac {f}{a}})end{aligned}}}$

Оконная функция распределения Вигнера

Когда сигнал не ограничен по времени, его функцию распределения Вигнера реализовать сложно. Таким образом, мы добавляем новую функцию (маску) к ее части интегрирования, так что нам нужно реализовать только часть исходной функции, а не полностью интегрировать от отрицательной бесконечности к положительной бесконечности. Исходная функция: ${displaystyle W_{x}(t,f)=int _{-infty }^{infty }xleft(t+{frac { au }{2}}ight)cdot x^{*}left(t-{frac { au }{2}}ight)e^{-j2pi au f}cdot d au }$ Функция с маской: ${displaystyle W_{x}(t,f)=int _{-infty }^{infty }w( au )xleft(t+{frac { au }{2}}ight)cdot x^{*}left(t-{frac { au }{2}}ight)e^{-j2pi au f}cdot d au }$ ${displaystyle w( au )}$ реально и ограничено по времени

Выполнение

По определению:

${displaystyle {egin{aligned}W_{x}(t,f)=int _{-infty }^{infty }w( au )xleft(t+{frac { au }{2}}ight)cdot x^{*}left(t-{frac { au }{2}}ight)e^{-j2pi au f}cdot d au W_{x}(t,f)=2int _{-infty }^{infty }w(2 au ')xleft(t+ au 'ight)cdot x^{*}left(t- au 'ight)e^{-j4pi au 'f}cdot d au 'W_{x}(nDelta _{t},mDelta _{f})=2sum _{p=-infty }^{infty }w(2pDelta _{t})x((n+p)Delta _{t})x^{ast }((n-p)Delta _{t})e^{-j4pi mpDelta _{t}Delta _{f}}Delta _{t}end{aligned}}}$

Предположим, что ${displaystyle w(t)=0}$ за ${displaystyle |t|>Bightarrow w(2pDelta _{t})=0}$ за ${displaystyle p<-Q}$ и ${displaystyle p>Q}$

${displaystyle {egin{aligned}W_{x}(nDelta _{t},mDelta _{f})=2sum _{p=-Q}^{Q}w(2pDelta _{t})x((n+p)Delta _{t})x^{ast }((n-p)Delta _{t})e^{-j4pi mpDelta _{t}Delta _{f}}Delta _{t}end{aligned}}}$

Мы принимаем ${displaystyle x(t)=delta (t-t_{1})+delta (t-t_{2})}$ как пример

${displaystyle {egin{aligned}W_{x}(t,f)=int _{-infty }^{infty }w( au )xleft(t+{frac { au }{2}}ight)cdot x^{*}left(t-{frac { au }{2}}ight)e^{-j2pi au f}cdot d au ,,end{aligned}}}$

куда ${displaystyle w( au )}$ это реальная функция

А затем мы сравниваем разницу между двумя условиями.

3 Условия

Затем мы рассматриваем условие с функцией маски:

Мы видим, что имеют значение только от –B до B, таким образом проводя с может удалить перекрестный член функции. Но если x (t) не является ни дельта-функцией, ни узкочастотной функцией, это функция с широкой частотой или пульсацией. Граница сигнала может все еще существовать между –B и B, что по-прежнему вызывает проблему перекрестного члена.

Например:

Смотрите также

• Частотно-временное представление
• Кратковременное преобразование Фурье
• Спектрограмма
• Преобразование Габора
• Автокорреляция
• Преобразование Габора – Вигнера
• Модифицированная функция распределения Вигнера
• Теорема оптической эквивалентности
• Полиномиальное распределение Вигнера – Вилля
• Функция распределения классов Коэна
• Квази-вероятностное распределение Вигнера
• Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе
• Билинейное частотно-временное распределение

Рекомендации

1. F. Hlawatsch и P. Flandrin, "Интерференционная структура распределения Вигнера и связанные представления частотно-временных сигналов", в W. Mecklenbräuker и F. Hlawatsch, Распределение Вигнера - теория и приложения в обработке сигналов
2. Б. Боаша (Ред.), Анализ и обработка частотно-временных сигналов, Эльзевир, 2003
3. П. Фландрин, Частотно-временной / временнóй анализ, Эльзевир, 1998
4. Р. Б. Пачори и А. Нишад, "Сокращение перекрестных членов в распределении Вигнера – Вилля с использованием вейвлет-преобразования с настраиваемым Q", Обработка сигналов 120 (2016) 288–304

дальнейшее чтение

• Вигнер, Э. (1932). «О квантовой поправке на термодинамическое равновесие» (PDF). Физический обзор. 40 (5): 749–759. Bibcode:1932PhRv ... 40..749Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.40.749. HDL:10338.dmlcz / 141466.
• J. Ville, 1948. "Теория и приложения де ля понятия аналитического сигнала", Кабели и трансмиссия, 2, 61–74 .
• Т. А. С. М. Классен и В. Ф. Г. Мекленбройкер, 1980. «Распределение Вигнера - инструмент для частотно-временного анализа сигналов; Часть I, Philips J. Res., Vol. 35. С. 217–250.
• Л. Коэн (1989): Труды IEEE 77 стр. 941–981, Частотно-временные распределения --- обзор
• Л. Коэн, Частотно-временной анализ, Прентис-Холл, Нью-Йорк, 1995. ISBN  978-0135945322
• С. Цянь и Д. Чен, Совместный частотно-временной анализ: методы и приложения, Гл. 5, Прентис Холл, Нью-Джерси, 1996.
• Б. Боашаш, "Заметка об использовании распределения Вигнера для частотно-временного анализа сигналов", Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов, Vol. 36, No. 9, pp. 1518–1521, сентябрь 1988 г. Дои:10.1109/29.90380. Б. Боашаш, редактор,Частотно-временной анализ и обработка сигналов - исчерпывающий справочник, Elsevier Science, Оксфорд, 2003 г., ISBN  0-08-044335-4.
• Ф. Хлаватч, Г. Ф. Будро-Бартельс: «Линейное и квадратичное частотно-временное представление сигнала», журнал IEEE Signal Processing, стр. 21–67, апрель 1992 г.
• Р. Л. Аллен и Д. В. Миллс, Анализ сигналов: время, частота, масштаб и структура, Wiley-Interscience, Нью-Джерси, 2004.
• Р. Б. Пачори и А. Нишад, Сокращение между членами в распределении Вигнера-Вилля с использованием вейвлет-преобразования с настраиваемой добротностью, Обработка сигналов, т. 120. С. 288–304, 2016.
• Цзянь-Цзюнь Дин, Заметки по классу частотно-временного анализа и вейвлет-преобразования, факультет электротехники, Национальный университет Тайваня (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2015 г.
• Какофенгитис, Д., и Штойернагель, О. (2017). «Квантовый фазовый ток Вигнера в слабо ангармонических слабо возбужденных двухуровневых системах» Европейский физический журнал плюс 14.07.2017
• Р. Р. Шарма и Р. Б. Пачори, Улучшенный подход на основе разложения на собственные значения для сокращения перекрестных членов в распределении Вигнера-Вилля, Схемы, системы и обработка сигналов, 2018.