Преобразование Габора - Gabor transform

В Преобразование Габора, названный в честь Деннис Габор, является частным случаем кратковременное преобразование Фурье. Он используется для определения синусоидальный частота и фаза содержание локальных участков сигнала по мере его изменения во времени. Преобразуемая функция сначала умножается на Функция Гаусса, который можно рассматривать как оконная функция, а затем полученная функция преобразуется с помощью преобразования Фурье для получения частотно-временной анализ.^[1] Оконная функция означает, что сигнал около анализируемого времени будет иметь больший вес. Преобразование Габора сигнала x (t) определяется этой формулой:

${displaystyle G_{x}( au ,omega )=int _{-infty }^{infty }x(t)e^{-pi (t- au )^{2}}e^{-jomega t},dt}$

Величина функции Гаусса.

Функция Гаусса имеет бесконечный диапазон и непрактична для реализации. Однако можно выбрать уровень значимости (например, 0,00001) для распределения функции Гаусса.

${displaystyle {egin{cases}e^{-{pi }a^{2}}geq 0.00001;&left|aight|leq 1.9143e^{-{pi }a^{2}}<0.00001;&left|aight|>1.9143end{cases}}}$

За пределами этих границ интеграции (${displaystyle left|aight|>1.9143}$) функция Гаусса достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь. Таким образом, преобразование Габора можно удовлетворительно аппроксимировать как

${displaystyle G_{x}( au ,omega )=int _{-1.9143+ au }^{1.9143+ au }x(t)e^{-pi (t- au )^{2}}e^{-jomega t},dt}$

Это упрощение делает трансформацию Gabor практичной и реализуемой.

Ширина оконной функции также может быть изменена для оптимизации компромисса частотно-временного разрешения для конкретного приложения путем замены ${displaystyle {-{pi }(t- au )^{2}}}$ с ${displaystyle {-{pi }alpha (t- au )^{2}}}$ для какой-то выбранной альфы.

Обратное преобразование Габора

Преобразование Габора обратимо. Исходный сигнал можно восстановить по следующему уравнению

${displaystyle x(t)=int _{-infty }^{infty }G_{x}( au ,omega )e^{jomega t+pi (t- au )^{2}},domega /(2pi )}$

Свойства преобразования Габора

Преобразование Габора имеет много свойств, подобных свойствам преобразования Фурье. Эти свойства перечислены в следующих таблицах.

	Сигнал	Преобразование Габора	Замечания
	${displaystyle x(t),}$	${displaystyle G_{x}( au ,omega )=int _{-infty }^{infty }x(t)e^{-pi (t- au )^{2}}e^{-jomega t},dt}$
1	${displaystyle acdot x(t)+bcdot y(t),}$	${displaystyle acdot G_{x}( au ,omega )+bcdot G_{y}( au ,omega ),}$	Свойство линейности
2	${displaystyle x(t-t_{0}),}$	${displaystyle G_{x}( au -t_{0},omega )e^{-jomega t_{0}},}$	Перемещение собственности
3	${displaystyle x(t)e^{jomega _{0}t},}$	${displaystyle G_{x}( au ,omega -omega _{0}),}$	Свойство модуляции

		Замечания
1	${displaystyle int _{-infty }^{infty }left|G_{x}( au ,omega )ight|^{2},domega =int _{-infty }^{infty }left|x(t)ight|^{2}e^{-2pi (t- au )^{2}}dtapprox int _{u-1.9143}^{u+1.9143}left|x(t)ight|^{2}e^{-2pi (t-u)^{2}}dt}$	Свойство интеграции мощности
2	${displaystyle int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }G_{x}( au ,omega )G_{y}^{*}( au ,omega ),domega ,d au =int _{-infty }^{infty }x(t)y^{*}(t),d au }$	Сумма энергии
3	${displaystyle {egin{cases}displaystyle int _{-infty }^{infty }left|G_{x}( au ,omega )ight|^{2}domega <e^{-2pi (t-t_{0})^{2}}int _{-infty }^{infty }left|G_{x}( au _{0},omega )ight|^{2},domega ;&{ ext{if }}x(t)=0{ ext{ for }}t>t_{0}[12pt]displaystyle int _{-infty }^{infty }left|G_{x}( au ,omega )ight|^{2},d au <e^{-(omega -omega _{0})^{2}}int _{-infty }^{infty }left|G_{x}( au ,omega _{0})ight|^{2},d au ;&{ ext{if }}X(omega )=FT[x(t)]=0{ ext{ for }}omega >omega _{0}end{cases}}}$	Свойство спада мощности
4	${displaystyle int _{-infty }^{infty }G_{x}( au ,omega )e^{jomega t},domega =2pi e^{-pi au ^{2}}x(0)}$	Восстановление собственности

Применение и пример

Распределение времени / частоты.

Основное применение преобразования Габора используется в частотно-временной анализ. В качестве примера возьмем следующее уравнение. Входной сигнал имеет частотную составляющую 1 Гц, когда т ≤ 0 и имеет частотную составляющую 2 Гц, когда т > 0

${displaystyle x(t)={egin{cases}cos(2pi t)&{ ext{for }}tleq 0,cos(4pi t)&{ ext{for }}t>0.end{cases}}}$

Но если общая доступная полоса пропускания составляет 5 Гц, другие полосы частот, кроме Икс(т) тратятся впустую. Посредством частотно-временного анализа с применением преобразования Габора можно узнать доступную полосу пропускания, и эти полосы частот можно использовать для других приложений, при этом ширина полосы будет сохранена. На картинке справа показан входной сигнал. Икс(т) и результат преобразования Габора. Как мы и ожидали, частотное распределение можно разделить на две части. Один т ≤ 0, а второй - т > 0. Белая часть - это полоса частот, занятая Икс(т), а черная часть не используется. Обратите внимание, что для каждого момента времени существует как отрицательный (верхняя белая часть) и положительная (нижняя белая часть) частотная составляющая.

Дискретное преобразование Габора

Дискретный вариант представления Габора

${displaystyle y(t)=sum _{m=-infty }^{infty }sum _{n=-infty }^{infty }C_{nm}cdot g_{nm}(t)}$

с ${displaystyle g_{nm}(t)=s(t-m au _{0})cdot e^{jOmega nt}}$

может быть легко выведен путем дискретизации базисной функции Габора в этих уравнениях. При этом непрерывный параметр t заменяется дискретным временем k. Кроме того, необходимо учитывать теперь уже конечный предел суммирования в представлении Габора. Таким образом, дискретизированный сигнал y (k) разбивается на M временных кадров длиной N. Согласно ${displaystyle Omega leq { frac {2pi }{ au _{0}}}}$, коэффициент Ω для критической выборки равен ${displaystyle Omega ={ frac {2pi }{N}}}$

Подобно DFT (дискретное преобразование Фурье) получается частотная область, разделенная на N дискретных разделов. Обратное преобразование этих N спектральных разделов затем приводит к N значениям y (k) для временного окна, которое состоит из N значений выборки. Для общих M временных окон с N значениями выборок каждый сигнал y (k) содержит K = N ${displaystyle cdot }$ M выборочных значений: (дискретное представление Габора)

${displaystyle y(k)=sum _{m=0}^{M-1}sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}cdot g_{nm}(k)}$

с ${displaystyle g_{nm}(k)=s(k-mN)cdot e^{jOmega nk}}$

Согласно приведенному выше уравнению, N${displaystyle cdot }$Коэффициенты M ${displaystyle C_{nm}}$ соответствуют количеству выборочных значений K сигнала.

Для передискретизации ${displaystyle Omega }$ установлен на ${displaystyle Omega leq { frac {2pi }{N}}={ frac {2pi }{N^{prime }}}}$ с N '> N, что приводит к N'> N коэффициентов суммирования во второй сумме дискретного представления Габора. В этом случае количество полученных коэффициентов Габора составило бы M${displaystyle cdot }$N '> K. Следовательно, доступно больше коэффициентов, чем выборочных значений, и, следовательно, будет достигнуто избыточное представление.

Масштабированное преобразование Габора

Как и в случае преобразования Фурье за ​​короткое время, разрешение во временной и частотной областях можно регулировать, выбирая различную ширину оконной функции. В случаях преобразования Габора путем добавления дисперсии ${displaystyle sigma }$, как следующее уравнение:

Масштабированное (нормализованное) окно Гаусса обозначается как:

${displaystyle W_{gaussian}(t)=e^{-sigma pi t^{2}}}$

Таким образом, масштабированное преобразование Габора можно записать как:

${displaystyle G_{x}(t,f)={sqrt[{4}]{sigma }} extstyle int _{-infty }^{infty }displaystyle e^{-sigma pi ( au -t)^{2}}e^{-j2pi f au }x( au )d au qquad }$

С большим ${displaystyle sigma }$, оконная функция будет узкой, что приведет к более высокому разрешению во временной области, но более низкому разрешению в частотной области. Точно так же небольшой ${displaystyle sigma }$ приведет к широкому окну с более высоким разрешением в частотной области, но более низким разрешением во временной области.

Смотрите также

• Фильтр Габора
• Вейвлет Габора
• Атом Габора
• Частотно-временное представление
• S преобразование
• Кратковременное преобразование Фурье
• Функция распределения Вигнера

Рекомендации

1. Э. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Цифровая обработка сигналов, т. 19, нет. 1, стр. 153-183, январь 2009 г.

• Д. Габор, Теория коммуникации, Часть 1, J. Inst. избранных. Англ. Часть III, Радио и связь, том 93, с. 429 1946 (http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf )

• Цзянь-Цзюн Дин, Заметка о классе частотно-временного анализа и вейвлет-преобразования, факультет электротехники, Национальный университет Тайваня, Тайбэй, Тайвань, 2007 г.