Биномиальный тип - Binomial type

В математика, а полиномиальная последовательность, т.е. последовательность многочлены проиндексированы неотрицательными целыми числами ${\textstyle \left\{0,1,2,3,...\right\}}$ в котором индекс каждого многочлена равен его степень, как говорят, биномиальный тип если он удовлетворяет последовательности тождеств

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y).}$

Существует много таких последовательностей. Набор всех таких последовательностей образует Группа Ли под действием умбральной композиции, объясненной ниже. Каждая последовательность биномиального типа может быть выражена через Полиномы Белла. Каждая последовательность биномиального типа является Последовательность Шеффера (но большинство последовательностей Шеффера не биномиального типа). Полиномиальные последовательности прочно обосновали расплывчатые представления XIX века о темный камень.

Примеры

• Вследствие этого определения биномиальная теорема можно сказать, сказав, что последовательность { Икс^п : п = 0, 1, 2, ...} имеет биномиальный тип.
• Последовательность "нижние факториалы "определяется

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).}$

(В теории специальных функций эти же обозначения обозначают верхние факториалы, но это нынешнее употребление универсально среди комбинаторщики.) Продукт считается 1, если п = 0, поскольку в этом случае пустой продукт. Эта полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип.

• Аналогичным образом "верхние факториалы "

${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)}$

представляют собой полиномиальную последовательность биномиального типа.

• В Полиномы Абеля

${\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}\,}$

представляют собой полиномиальную последовательность биномиального типа.

• В Полиномы Тушара

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}}$

куда S(п, k) - количество разделов набора размером п в k непересекающиеся непустые подмножества, является полиномиальной последовательностью биномиального типа. Эрик Темпл Белл назвал их «экспоненциальными многочленами», и этот термин также иногда встречается в литературе. Коэффициенты S(п, k ) находятся "Числа Стирлинга второго рода ». Эта последовательность любопытно связана с распределение Пуассона: Если Икс это случайная переменная с распределением Пуассона с математическим ожиданием λ, то E (Икс^п) = п_п(λ). В частности, при λ = 1 мы видим, что п-й момент распределения Пуассона с математическим ожиданием 1 - это количество разбиений набора размера п, называется пth Номер звонка. Этот факт о п-й момент этого конкретного распределения Пуассона равен "Формула Добинского ".

Характеризация дельта-операторами

Можно показать, что полиномиальная последовательность { п_п(Икс) : п = 0, 1, 2, ...} имеет биномиальный тип тогда и только тогда, когда выполняются все три из следующих условий:

• В линейное преобразование на пространстве многочленов от Икс который характеризуется

${\displaystyle p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)}$

является сдвиг-эквивариантный, и

• п₀(Икс) = 1 для всех Икс, и
• п_п(0) = 0 для п > 0.

(Утверждение, что этот оператор эквивариантно сдвигу, то же самое, что сказать, что полиномиальная последовательность является Последовательность Шеффера; набор последовательностей биномиального типа должным образом включен в набор последовательностей Шеффера.)

Дельта-операторы

Это линейное преобразование явно дельта-оператор, т.е. линейное преобразование, эквивариантное сдвигу на пространстве многочленов от Икс который уменьшает степени многочленов на 1. Наиболее очевидными примерами дельта-операторов являются операторы разницы и дифференциация. Можно показать, что любой дельта-оператор может быть записан как степенной ряд формы

${\displaystyle Q=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}D^{n}}$

куда D является дифференцированием (обратите внимание, что нижняя грань суммирования равна 1). Каждый дельта-оператор Q имеет уникальную последовательность «основных полиномов», то есть последовательность полиномов, удовлетворяющую

1. ${\displaystyle p_{0}(x)=1,\,}$
2. ${\displaystyle p_{n}(0)=0\quad {\rm {for\ }}n\geq 1,{\rm {\ and}}}$
3. ${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x).\,}$

Это было показано в 1973 г. Рота, Каханер и Одлызко, что полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип тогда и только тогда, когда она является последовательностью основных полиномов некоторого дельта-оператора. Таким образом, этот абзац представляет собой рецепт для создания любого количества полиномиальных последовательностей биномиального типа.

Характеризация полиномами Белла

Для любой последовательности а₁, а₂, а₃, ... скаляров, пусть

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}}$

куда B_п,k(а₁, ..., а_п−k+1) это Полином Белла. Тогда эта полиномиальная последовательность имеет биномиальный тип. Обратите внимание, что для каждого п ≥ 1,

${\displaystyle p_{n}'(0)=a_{n}.\,}$

Вот главный результат этого раздела:

Теорема: Все полиномиальные последовательности биномиального типа имеют этот вид.

Результат у Муллина и Роты, повторенный у Рота, Каханера и Одлыжко (см. Рекомендации ниже) утверждает, что каждая полиномиальная последовательность {п_п(Икс) }_п биномиального типа определяется последовательностью {п_п′(0) }_п, но в этих источниках многочлены Белла не упоминаются.

Эта последовательность скаляров также связана с дельта-оператором. Позволять

${\displaystyle P(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}.}$

потом

${\displaystyle P^{-1}\left({d \over dx}\right)\,}$

является дельта-оператором этой последовательности.

Характеристика тождеством свертки

Для последовательностей а_п, б_п, п = 0, 1, 2, ..., определим своего рода свертка к

${\displaystyle (a{\mathbin {\diamondsuit }}b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}a_{j}b_{n-j}.}$

Позволять ${\displaystyle a_{n}^{k\diamondsuit }\,}$ быть п-й член последовательности

${\displaystyle \underbrace {a{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}a} _{k{\text{ factors}}}.\,}$

Тогда для любой последовательности а_я, я = 0, 1, 2, ..., с а₀ = 0, последовательность, определяемая п₀(Икс) = 1 и

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\diamondsuit }x^{k} \over k!}\,}$

за п ≥ 1, имеет биномиальный тип, и каждая последовательность биномиального типа имеет этот вид.

Характеризация производящими функциями

Полиномиальные последовательности биномиального типа - это в точности те, у которых производящие функции формальные (не обязательно сходящиеся) степенной ряд формы

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{xf(t)}}$

куда ж(т) - формальный степенной ряд, постоянный срок равен нулю, а член первой степени не равен нулю. Это можно показать, используя версию Power-series. Формула Фаа ди Бруно это

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{p_{n}\,'(0) \over n!}t^{n}.}$

Дельта-оператор последовательности ж⁻¹(D), так что

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

Способ думать об этих производящих функциях

Коэффициенты в произведении двух формальных степенных рядов

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}}$

и

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}t^{n}}$

находятся

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k}b_{n-k}}$

(смотрите также Продукт Коши ). Если мы подумаем о Икс как параметр, индексирующий семейство таких степенных рядов, тогда биномиальная идентичность фактически говорит, что степенной ряд, индексируемый Икс + у является продуктом тех, которые проиндексированы Икс и по у. Таким образом Икс является аргументом функции, которая отображает суммы в продукты: экспоненциальная функция

${\displaystyle g(t)^{x}=e^{xf(t)}}$

куда ж(т) имеет вид, указанный выше.

Умбральная композиция полиномиальных последовательностей

Множество всех полиномиальных последовательностей биномиального типа является группа в котором групповая операция представляет собой «умственную композицию» полиномиальных последовательностей. Эта операция определяется следующим образом. Предполагать { п_п(Икс) : п = 0, 1, 2, 3, ...} и { q_п(Икс) : п = 0, 1, 2, 3, ...} - полиномиальные последовательности, а

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,x^{k}.}$

Тогда мрачная композиция п о q - последовательность полиномов, п-й член

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,q_{k}(x)}$

(нижний индекс п появляется в п_п, так как это п член этой последовательности, но не в q, поскольку это относится к последовательности в целом, а не к одному из ее членов).

С дельта-оператором, определяемым степенным рядом в D Как и выше, естественная биекция между дельта-операторами и полиномиальными последовательностями биномиального типа, также определенная выше, является групповым изоморфизмом, в котором групповая операция над степенным рядом является формальной композицией формальных степенных рядов.

Кумулянты и моменты

Последовательность κ_п коэффициентов членов первой степени в полиномиальной последовательности биномиального типа можно назвать кумулянты полиномиальной последовательности. Можно показать, что вся полиномиальная последовательность биномиального типа определяется своими кумулянтами, как это обсуждается в статье под названием кумулянт. Таким образом

${\displaystyle p_{n}'(0)=\kappa _{n}=\,}$ то пй кумулянт

и

${\displaystyle p_{n}(1)=\mu _{n}'=\,}$ то пый момент.

Это «формальные» кумулянты и «формальные» моменты, в отличие от кумулянтов распределение вероятностей и моменты вероятностного распределения.

Позволять

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}}{n!}}t^{n}}$

- (формальная) кумулянт-производящая функция. потом

${\displaystyle f^{-1}(D)\,}$

- дельта-оператор, связанный с полиномиальной последовательностью, т. е. имеем

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).\,}$

Приложения

Концепция биномиального типа находит применение в комбинаторика, вероятность, статистика, и множество других полей.

Смотрите также

• Список факториальных и биномиальных тем
• Биномиальный-QMF (Вейвлет-фильтры Добеши)

Рекомендации

• Г.-К. Рота, Д. Каханер и А. Одлызко, «Исчисление конечных операторов», Журнал математического анализа и его приложений, т. 42, нет. 3 июня 1973 г. Перепечатано в книге с тем же названием, Academic Press, New York, 1975.
• Р. Муллин, Г.-К. Рота, "Об основах комбинаторной теории III: теория биномиального перечисления", в Теория графов и ее приложенияпод редакцией Бернарда Харриса, Academic Press, Нью-Йорк, 1970.

Как следует из названия, второе из вышеперечисленных явно касается приложений для комбинаторный перечисление.

• ди Буккьянико, Алессандро. Вероятностные и аналитические аспекты мрачного исчисления, Амстердам, CWI, 1997.
• Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность биномиального типа». MathWorld.