Темное исчисление - Umbral calculus

В математика до 1970-х годов термин темный камень сослался на удивительное сходство между, казалось бы, несвязанными полиномиальные уравнения и некоторые скрытые методы, используемые для их «доказательства». Эти техники были введены Джоном Блиссардом (1861 ) и иногда их называют Символический метод Блиссара. Их часто относят к Эдуард Лукас (или же Джеймс Джозеф Сильвестр ), которые широко использовали эту технику.^[1]

Краткая история

В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл попытался установить мрачное исчисление на строгую основу.

В 1970-е годы Стивен Роман, Джан-Карло Рота, и другие разработали темное исчисление с помощью линейные функционалы на пространствах многочленов. В настоящее время, темный камень относится к изучению Последовательности Шеффера, в том числе полиномиальные последовательности биномиальный тип и Последовательности апелляций, но может включать в себя методы систематического соответствия исчисление конечных разностей.

Умбральное исчисление XIX века

Метод представляет собой условную процедуру, используемую для получения идентификаторов, включающих индексированные последовательности чисел с помощью делая вид, что индексы являются показателями. Сконструированный буквально, он абсурден, но все же он успешен: тождества, полученные с помощью теневого исчисления, также могут быть правильно выведены более сложными методами, которые можно воспринимать буквально без логических затруднений.

Пример включает Полиномы Бернулли. Рассмотрим, например, обычный биномиальное разложение (который содержит биномиальный коэффициент ):

${\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}}$

и удивительно похожее соотношение на Полиномы Бернулли:

${\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}.}$

Сравните также обычную производную

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$

к очень похожему на вид соотношению на многочленах Бернулли:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).}$

Эти сходства позволяют построить мрачный доказательства, которые на первый взгляд не могут быть правильными, но, похоже, все равно работают. Так, например, делая вид, что нижний индекс п − k является показателем:

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n},}$

а затем дифференцируя, получаем желаемый результат:

${\displaystyle B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).}$

В приведенном выше примере переменная б это «умбра» (латинский за тень).

Смотрите также Формула Фаульхабера.

Умбрал Тейлор серия

Подобные соотношения наблюдались и в теории конечные разности. Темная версия Серия Тейлор дается аналогичным выражением с участием k-го форвардные различия ${\displaystyle \Delta ^{k}[f]}$ из многочлен функция ж,

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!}}(x)_{k}}$

куда

${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$

это Символ Поххаммера здесь используется для падающего последовательного продукта. Аналогичная зависимость сохраняется для обратных различий и возрастающего факториала.

Эта серия также известна как Серия Ньютон или же Разложение прямой разности НьютонаАналогия с разложением Тейлора используется в исчисление конечных разностей.

Белл и Риордан

В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл безуспешно пытался сделать такой аргумент логически строгим. В комбинатор Джон Риордан в его книге Комбинаторные идентичности опубликованные в 1960-х годах, широко использовали подобные методы.

Современное умбральное исчисление

Другой комбинатор, Джан-Карло Рота, отметил, что тайна исчезает, если учесть линейный функционал L на многочленах от z определяется

${\displaystyle L(z^{n})=B_{n}(0)=B_{n}.}$

Затем, используя определение многочленов Бернулли, определение и линейность L, можно написать

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x)^{n}\right)\end{aligned}}}$

Это позволяет заменить вхождения ${\displaystyle B_{n}(x)}$ к ${\displaystyle L((z+x)^{n})}$, то есть переместить п от нижнего индекса к верхнему (ключевая операция теневого исчисления). Например, теперь мы можем доказать, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x+y)^{n}\right)\\&=B_{n}(x+y).\end{aligned}}}$

Позже Рота заявил, что большая путаница возникла из-за того, что не удалось различить три отношения эквивалентности которые часто встречаются в этой теме, все они были обозначены знаком "=".

В статье, опубликованной в 1964 году, Рота использовал мрачные методы, чтобы установить рекурсия формула удовлетворяет Номера звонков, которые перечисляют перегородки конечных множеств.

В статье Романа и Рота, цитируемой ниже, исчисление тени охарактеризовано как исследование умбральная алгебра, определяемый как алгебра линейных функционалов на векторное пространство многочленов от переменной Икс, с продуктом L₁L₂ линейных функционалов, определяемых

${\displaystyle \left\langle L_{1}L_{2}|x^{n}\right\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\left\langle L_{1}|x^{k}\right\rangle \left\langle L_{2}|x^{n-k}\right\rangle .}$

Когда полиномиальные последовательности заменить последовательности чисел как изображения у^п при линейном отображении L, то темный метод рассматривается как существенный компонент общей теории специальных многочленов Роты, и эта теория является темный камень некоторыми более современными определениями этого термина.^[2] Небольшой образец этой теории можно найти в статье о полиномиальные последовательности биномиального типа. Еще одна статья под названием Последовательность Шеффера.

Позднее Рота широко применил умбральное исчисление в своей работе с Шеном для изучения различных комбинаторных свойств кумулянты.^[3]

Смотрите также

• Умбральная композиция полиномиальных последовательностей
• Исчисление конечные разности
• Полиномы Пиддака
• Символический метод в теории инвариантов

Примечания

1. Э. Т. Белл, "История символического метода Блиссарда с очерком из жизни его изобретателя", Американский математический ежемесячник 45: 7 (1938), стр. 414–421.
2. Rota, G.C .; Kahaner, D .; Одлызко, А. (1973). «Об основах комбинаторной теории. VIII. Конечное операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений. 42 (3): 684. Дои:10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8.
3. Г.-К. Рота и Дж. Шен, «О комбинаторике кумулянтов», Журнал комбинаторной теории, серия A, 91: 283–304, 2000.

Рекомендации

• Белл, Э. Т. (1938), «История символического метода Блиссарда с очерком из жизни его изобретателя», Американский математический ежемесячник, Математическая ассоциация Америки, 45 (7): 414–421, Дои:10.1080/00029890.1938.11990829, ISSN  0002-9890, JSTOR  2304144
• Блиссар, Джон (1861), «Теория уравнений общего положения», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 4: 279–305
• Роман, Стивен М .; Рота, Джан-Карло (1978), "Темное исчисление", Успехи в математике, 27 (2): 95–188, Дои:10.1016/0001-8708(78)90087-7, ISSN  0001-8708, МИСТЕР  0485417
• Г.-К. Рота, Д. Каханер и А. Одлызко, «Исчисление конечных операторов», Журнал математического анализа и его приложений, вып. 42, нет. 3 июня 1973 г. Перепечатано в книге с тем же названием, Academic Press, New York, 1975.
• Роман, Стивен (1984), Темное исчисление, Чистая и прикладная математика, 111, Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN  978-0-12-594380-2, МИСТЕР  0741185. Перепечатано Dover, 2005.
• Роман, С. (2001) [1994], «Темное исчисление», Энциклопедия математики, EMS Press

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Мрачный исчисление». MathWorld.
• А. Ди Буккианико, Д. Леб (2000). «Избранный обзор мрачного исчисления» (PDF). Электронный журнал комбинаторики. Динамические опросы. DS3. Архивировано из оригинал (PDF) 24 февраля 2012 г.
• Роман, С. (1982), Теория мрачного исчисления, I