Символический метод - Symbolic method

В математика, то символический метод в теория инвариантов является алгоритм разработан Артур Кэли (1846 ), Зигфрид Генрих Аронхольд (1858 ), Альфред Клебш (1861 ), и Пол Гордан (1887 ) в 19 веке для вычислений инварианты из алгебраические формы. Он основан на трактовке формы так, как если бы она была степенью формы первой степени, что соответствует вложению симметричной степени векторного пространства в симметричные элементы тензорное произведение копий этого.

Символическое обозначение

Символьный метод использует компактную, но довольно запутанную и загадочную запись для инвариантов, в зависимости от введения новых символов. а, б, c, ... (отсюда и название символического метода) с явно противоречивыми свойствами.

Пример: дискриминант двоичной квадратичной формы

Эти символы можно пояснить на следующем примере из (Гордан 1887, т. 2, стр. 1-3). Предположим, что

{ displaystyle displaystyle f (x) = A_ {0} x_ {1} ^ {2} + 2A_ {1} x_ {1} x_ {2} + A_ {2} x_ {2} ^ {2}}

- бинарная квадратичная форма с инвариантом, задаваемым дискриминантом

{ displaystyle displaystyle Delta = A_ {0} A_ {2} -A_ {1} ^ {2}.}

Символическое представление дискриминанта

{ Displaystyle Displaystyle 2 Delta = (ab) ^ {2}}

куда а и б символы. Значение выражения (ab)² как следует. Прежде всего, (ab) является сокращенной формой определителя матрицы, строки которой а₁, а₂ и б₁, б₂, так

{ displaystyle displaystyle (ab) = a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}.}

В квадрате мы получаем

{ displaystyle displaystyle (ab) ^ {2} = a_ {1} ^ {2} b_ {2} ^ {2} -2a_ {1} a_ {2} b_ {1} b_ {2} + a_ {2} } ^ {2} b_ {1} ^ {2}.}

Затем мы делаем вид, что

{ displaystyle displaystyle f (x) = (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2}) ^ {2} = (b_ {1} x_ {1} + b_ {2} x_ { 2}) ^ {2}}

так что

{ displaystyle displaystyle A_ {i} = a_ {1} ^ {2-i} a_ {2} ^ {i} = b_ {1} ^ {2-i} b_ {2} ^ {i}}

и мы игнорируем тот факт, что это не имеет смысла, если ж не является степенью линейной формы. Подстановка этих значений дает

{ displaystyle displaystyle (ab) ^ {2} = A_ {2} A_ {0} -2A_ {1} A_ {1} + A_ {0} A_ {2} = 2 Delta.}

Высшие степени

В более общем плане, если

{ displaystyle displaystyle f (x) = A_ {0} x_ {1} ^ {n} + { binom {n} {1}} A_ {1} x_ {1} ^ {n-1} x_ {2 } + cdots + A_ {n} x_ {2} ^ {n}}

является двоичной формой более высокой степени, то вводятся новые переменные а₁, а₂, б₁, б₂, c₁, c₂, со свойствами

{ Displaystyle f (x) = (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2}) ^ {n} = (b_ {1} x_ {1} + b_ {2} x_ {2} ) ^ {n} = (c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2}) ^ {n} = cdots.}

Это означает, что следующие два векторных пространства естественно изоморфны:

Векторное пространство однородных многочленов от А₀,...А_п степени м
Векторное пространство многочленов от 2м переменные а₁, а₂, б₁, б₂, c₁, c₂, ... имеющие степень п в каждом из м пары переменных (а₁, а₂), (б₁, б₂), (c₁, c₂), ... и симметричны относительно перестановок м символы а, б, ....,

Изоморфизм задается отображением а^п−j
₁а^j
₂, б^п−j
₁б^j
₂, .... к А_j. Это отображение не сохраняет произведения многочленов.

Больше переменных

Расширение формы ж в более чем двух переменных Икс₁, Икс₂,Икс₃, ... аналогично: вводятся символы а₁, а₂,а₃ и так далее со свойствами

{ displaystyle f (x) = (a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + a_ {3} x_ {3} + cdots) ^ {n} = (b_ {1} x_ {1} + b_ {2} x_ {2} + b_ {3} x_ {3} + cdots) ^ {n} = (c_ {1} x_ {1} + c_ {2} x_ {2} + c_ {3} x_ {3} + cdots) ^ {n} = cdots.}

Симметричные произведения

Довольно загадочный формализм символического метода соответствует вложению симметричного произведения S^п(V) векторного пространства V в тензорное произведение п копии V, как элементы, сохраненные действием симметрической группы. Фактически это делается дважды, поскольку инварианты степени п количественной степени м - инвариантные элементы S^пS^м(V), который вкладывается в тензорное произведение млн копии V, как элементы, инвариантные относительно сплетения двух симметрических групп. Скобки символьного метода на самом деле являются инвариантными линейными формами на этом тензорном произведении, которые дают инварианты S^пS^м(V) ограничением.

Смотрите также

Темное исчисление