Формула Кристоффеля – Дарбу - Christoffel–Darboux formula

В математике Теорема Кристоффеля – Дарбу является тождеством для последовательности ортогональные многочлены, представлен Элвин Бруно Кристоффель  (1858 ) и Жан Гастон Дарбу  (1878 ). В нем говорится, что

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}(x)f_{j}(y)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}{\frac {f_{n}(y)f_{n+1}(x)-f_{n+1}(y)f_{n}(x)}{x-y}}}$

куда ж_j(Икс) это jый срок набора ортогональные многочлены квадрата нормы час_j и ведущий коэффициент k_j.

Существует также «сливная форма» этой идентичности:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}^{2}(x)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}\left[f_{n+1}'(x)f_{n}(x)-f_{n}'(x)f_{n+1}(x)\right].}$

Смотрите также

• Неравенство Турана
• Цепь Штурма

Рекомендации

• Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции, Энциклопедия математики и ее приложений, 71, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-62321-6, МИСТЕР  1688958
• Кристоффель, Э. Б. (1858 г.), "Über die Gaußische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben"., Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком), 55: 61–82, Дои:10.1515 / crll.1858.55.61, ISSN  0075-4102
• Дарбу, Гастон (1878 г.), «Память о приближении функций трэс-грандов и т.д. о классах étendue de développements en série», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 4: 5–56, 377–416, JFM  10.0279.01
• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1972), Справочник по математическим функциям, Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, п. 785, уравнение. 22.12.1
• Olver, Франк В. Дж .; Lozier, Daniel W .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (2010), "Справочник по математическим функциям NIST", Цифровая библиотека математических функций NIST, Издательство Кембриджского университета, п. 438, уравнения. 18.2.12 и 18.2.13, ISBN  978-0-521-19225-5 (Твердый переплет, ISBN  978-0-521-14063-8 Мягкая обложка)