Число Эрмита - Hermite number

В математика, Числа Эрмита ценности Полиномы Эрмита при нулевом аргументе. Обычно они определяются для полиномов Эрмита физиков.

Формальное определение

Цифры ЧАС_п = ЧАС_п(0), где ЧАС_п(Икс) это Многочлен Эрмита порядка п, можно назвать числами Эрмита.^[1]

Первые числа Эрмита:

${displaystyle H_{0}=1,}$

${displaystyle H_{1}=0,}$

${displaystyle H_{2}=-2,}$

${displaystyle H_{3}=0,}$

${displaystyle H_{4}=+12,}$

${displaystyle H_{5}=0,}$

${displaystyle H_{6}=-120,}$

${displaystyle H_{7}=0,}$

${displaystyle H_{8}=+1680,}$

${displaystyle H_{9}=0,}$

${displaystyle H_{10}=-30240,}$

Рекурсионные отношения

Получены из рекурсивные отношения эрмитовых полиномов для Икс = 0:

${displaystyle H_{n}=-2(n-1)H_{n-2}.,!}$

С ЧАС₀ = 1 и ЧАС₁ = 0 можно построить замкнутую формулу для ЧАС_п:

${displaystyle H_{n}={egin{cases}0,&{mbox{if }}n{mbox{ is odd}}(-1)^{n/2}2^{n/2}(n-1)!!,&{mbox{if }}n{mbox{ is even}}end{cases}}}$

куда (п - 1)!! = 1 × 3 × ... × (п - 1).

использование

От производящая функция эрмитовых полиномов следует, что

${displaystyle exp(-t^{2}+2tx)=sum _{n=0}^{infty }H_{n}(x){frac {t^{n}}{n!}},!}$

Ссылка ^[1] дает формальный степенной ряд:

${displaystyle H_{n}(x)=(H+2x)^{n},!}$

где формально п-я степень ЧАС, ЧАС^п, это п-е число Эрмита, ЧАС_п. (Видеть Темное исчисление.)

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. "Число Эрмита". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HermiteNumber.html