Эрмита интерполяция - Hermite interpolation

В числовой анализ, Эрмита интерполяция, названный в честь Чарльз Эрмит, это метод интерполяция точек данных как полиномиальная функция. Сгенерированный интерполирующий полином Эрмита тесно связан с Полином Ньютона, в том, что оба получены из расчета разделенные различия. Однако интерполирующий полином Эрмита также может быть вычислен без использования разделенных разностей, см. Китайская теорема об остатках § Интерполяция Эрмита.

В отличие от интерполяции Ньютона, интерполяция Эрмита сопоставляет неизвестную функцию как по наблюдаемому значению, так и по наблюдаемому значению ее первого м производные. Это означает, что п(м + 1) значения

{ displaystyle { begin {matrix} (x_ {0}, y_ {0}), & (x_ {1}, y_ {1}), & ldots, & (x_ {n-1}, y_ {n) -1}), (x_ {0}, y_ {0} '), & (x_ {1}, y_ {1}'), & ldots, & (x_ {n-1}, y_ {n -1} '), vdots & vdots && vdots (x_ {0}, y_ {0} ^ {(m)}), & (x_ {1}, y_ {1} ^ {( m)}), & ldots, & (x_ {n-1}, y_ {n-1} ^ {(m)}) end {matrix}}}

должно быть известно, а не только первое п значения, необходимые для интерполяции Ньютона. Полученный многочлен может иметь степень не выше п(м + 1) - 1, тогда как многочлен Ньютона имеет максимальную степень п - 1. (В общем случае нет необходимости м быть фиксированным значением; то есть у некоторых точек может быть больше известных производных, чем у других. В этом случае полученный многочлен может иметь степень N - 1, с N количество точек данных.)

использование

Простой случай

При использовании разделенных разностей для вычисления полинома Эрмита функции ж, первый шаг - скопировать каждую точку м раз. (Здесь мы рассмотрим простейший случай ${ displaystyle m = 1}$ по всем пунктам.) Следовательно, учитывая ${ displaystyle n + 1}$ точки данных ${ Displaystyle x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}}$ , и значения ${ Displaystyle f (x_ {0}), f (x_ {1}), ldots, f (x_ {n})}$ и ${ displaystyle f '(x_ {0}), f' (x_ {1}), ldots, f '(x_ {n})}$ для функции ${ displaystyle f}$ который мы хотим интерполировать, мы создаем новый набор данных

{ Displaystyle z_ {0}, z_ {1}, ldots, z_ {2n + 1}}

такой, что

{ displaystyle z_ {2i} = z_ {2i + 1} = x_ {i}.}

Теперь мы создаем таблица разделенных различий для очков ${ Displaystyle z_ {0}, z_ {1}, ldots, z_ {2n + 1}}$ . Однако для некоторых разделенных различий

{ displaystyle z_ {i} = z_ {i + 1} подразумевает f [z_ {i}, z_ {i + 1}] = { frac {f (z_ {i + 1}) - f (z_ {i })} {z_ {i + 1} -z_ {i}}} = { frac {0} {0}}}

которое не определено. В этом случае разделенная разница заменяется на ${ displaystyle f '(z_ {i})}$ . Все остальные рассчитываются нормально.

Общий случай

В общем случае предположим, что данная точка ${ displaystyle x_ {i}}$ имеет k производные. Тогда набор данных ${ displaystyle z_ {0}, z_ {1}, ldots, z_ {N}}$ содержит k идентичные копии ${ displaystyle x_ {i}}$ . При создании таблицы разделенные различия из ${ Displaystyle J = 2, 3, ldots, k}$ идентичные значения будут рассчитываться как

{ displaystyle { frac {f ^ {(j)} (x_ {i})} {j!}}.}

Например,

{ displaystyle f [x_ {i}, x_ {i}, x_ {i}] = { frac {f '' (x_ {i})} {2}}}

{ displaystyle f [x_ {i}, x_ {i}, x_ {i}, x_ {i}] = { frac {f ^ {(3)} (x_ {i})} {6}}}

и Т. Д.

Пример

Рассмотрим функцию ${ Displaystyle е (х) = х ^ {8} +1}$ . Вычисление функции и ее первых двух производных при ${ Displaystyle х в {- 1,0,1 }}$ , получаем следующие данные:

Икс	ƒ(Икс)	ƒ'(Икс)	ƒ''(Икс)
−1	2	−8	56
0	1	0	0
1	2	8	56

Поскольку у нас есть две производные, с которыми нужно работать, мы строим множество ${ Displaystyle {z_ {я} } = {- 1, -1, -1,0,0,0,1,1,1 }}$ . Наша таблица разделенных разностей выглядит следующим образом:

{ displaystyle { begin {array} {llcclrrrrr} z_ {0} = - 1 & f [z_ {0}] = 2 &&&&&&&& && { frac {f '(z_ {0})} {1}} = - 8 &&&&&&&& z_ {1} = - 1 & f [z_ {1}] = 2 && { frac {f '' (z_ {1})} {2}} = 28 &&&&&& && { frac {f '(z_ {1 })} {1}} = - 8 && f [z_ {3}, z_ {2}, z_ {1}, z_ {0}] = - 21 &&&&& z_ {2} = - 1 & f [z_ {2}] = 2 && f [z_ {3}, z_ {2}, z_ {1}] = 7 && 15 &&&& && f [z_ {3}, z_ {2}] = - 1 && f [z_ {4}, z_ {3}, z_ {2 }, z_ {1}] = - 6 && - 10 &&& z_ {3} = 0 & f [z_ {3}] = 1 && f [z_ {4}, z_ {3}, z_ {2}] = 1 && 5 && 4 && && { frac {f '(z_ {3})} {1}} = 0 && f [z_ {5}, z_ {4}, z_ {3}, z_ {2}] = - 1 && - 2 && - 1 & z_ { 4} = 0 & f [z_ {4}] = 1 && { frac {f '' (z_ {4})} {2}} = 0 && 1 && 2 && 1 && { frac {f '(z_ {4})} {1 }} = 0 && f [z_ {6}, z_ {5}, z_ {4}, z_ {3}] = 1 && 2 && 1 & z_ {5} = 0 & f [z_ {5}] = 1 && f [z_ {6}, z_ {5}, z_ {4}] = 1 && 5 && 4 && && f [z_ {6}, z_ {5}] = 1 && f [z_ {7}, z_ {6}, z_ {5}, z_ {4}] = 6 && 10 &&& z_ {6} = 1 & f [z_ {6}] = 2 && f [z_ {7}, z_ {6}, z_ {5}] = 7 && 15 &&&& && { frac {f '(z_ {6})} {1}} = 8 && f [z_ {8}, z_ {7}, z_ {6}, z_ {5}] = 21 &&&&& z_ {7} = 1 & f [z_ {7}] = 2 && { frac {f '' (z_ {7})} {2}} = 28 &&&&&& && { frac {f '(z_ {7})} {1}} = 8 &&&&&&& z_ {8} = 1 & f [z_ {8} ] = 2 &&&&&&&& end {array}}}

а сгенерированный полином равен

{ displaystyle { begin {align} P (x) & = 2-8 (x + 1) +28 (x + 1) ^ {2} -21 (x + 1) ^ {3} + 15x (x + 1) ^ {3} -10x ^ {2} (x + 1) ^ {3} & quad {} + 4x ^ {3} (x + 1) ^ {3} -1x ^ {3} ( x + 1) ^ {3} (x-1) + x ^ {3} (x + 1) ^ {3} (x-1) ^ {2} & = 2-8 + 28-21-8x + 56x-63x + 15x + 28x ^ {2} -63x ^ {2} + 45x ^ {2} -10x ^ {2} -21x ^ {3} & quad {} + 45x ^ {3} - 30x ^ {3} + 4x ^ {3} + x ^ {3} + x ^ {3} + 15x ^ {4} -30x ^ {4} + 12x ^ {4} + 2x ^ {4} + x ^ {4} & quad {} -10x ^ {5} + 12x ^ {5} -2x ^ {5} + 4x ^ {5} -2x ^ {5} -2x ^ {5} -x ^ { 6} + x ^ {6} -x ^ {7} + x ^ {7} + x ^ {8} & = x ^ {8} +1. End {выравнивается}}}

взяв коэффициенты из диагонали таблицы разделенных разностей и умножив kй коэффициент на ${ Displaystyle prod _ {я = 0} ^ {к-1} (х-z_ {я})}$ , как и при генерации полинома Ньютона.

Квинтик Эрмита Интерполяция

Квинтическая интерполяция Эрмита на основе функции ( ${ displaystyle f}$ ), его первая ( ${ displaystyle f '}$ ) и вторые производные ( ${ displaystyle f ''}$ ) в двух разных точках ( ${ displaystyle x_ {0}}$ и ${ displaystyle x_ {1}}$ ) может использоваться, например, для интерполяции положения объекта на основе его положения, скорости и ускорения. Общий вид имеет следующий вид:

${ displaystyle { begin {align} p (x) & = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + { frac {1} {2}} f '' (x_ {0}) (x-x_ {0}) ^ {2} + { frac {f (x_ {1}) - f (x_ {0}) - f '(x_ {0}) (x_ {1} -x_ {0}) - { frac {1} {2}} f '' (x_ {0}) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {2}} {(x_ {1} -x_ {0}) ^ {3}}} (x-x_ {0}) ^ {3} & + { frac {3f (x_ {0}) - 3f (x_ {1}) + left (2f '(x_ {0}) + f' (x_ {1}) right) (x_ {1} -x_ {0}) + { frac {1} {2}} f '' ( x_ {0}) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {2}} {(x_ {1} -x_ {0}) ^ {4}}} (x-x_ {0}) ^ {3 } (x-x_ {1}) & + { frac {6f (x_ {1}) - 6f (x_ {0}) - 3 left (f '(x_ {0}) + f' (x_ {1}) right) (x_ {1} -x_ {0}) + { frac {1} {2}} left (f '' (x_ {1}) - f '' (x_ {0} ) right) (x_ {1} -x_ {0}) ^ {2}} {(x_ {1} -x_ {0}) ^ {5}}} (x-x_ {0}) ^ {3} (х-х_ {1}) ^ {2} конец {выровнено}}}$

Ошибка

Назовем вычисленный полином ЧАС и оригинальная функция ж. Оценка точки ${ displaystyle x in [x_ {0}, x_ {n}]}$ , функция ошибки

{ displaystyle f (x) -H (x) = { frac {f ^ {(K)} (c)} {K!}} prod _ {i} (x-x_ {i}) ^ {k_ {я}}}

куда c неизвестно в пределах диапазона ${ displaystyle [x_ {0}, x_ {N}]}$ , K - общее количество точек данных, и ${ displaystyle k_ {i}}$ - количество производных, известных на каждом ${ displaystyle x_ {i}}$ плюс один.

Смотрите также

Кубический шлиц Эрмита
Серия Ньютон, также известный как конечные разности
Схема Невилла
Полиномиальная интерполяция
Форма Лагранжа интерполяционного полинома
Форма Бернштейна интерполяционного полинома
Китайская теорема об остатках - Приложения

внешняя ссылка

Интерполирующий многочлен Эрмитов в Mathworld