Полином Бернштейна - Bernstein polynomial

Для полинома Бернштейна от D-модуль теория, см. Полином Бернштейна – Сато.

Полиномы Бернштейна, аппроксимирующие кривую

в математический поле числовой анализ, а Полином Бернштейна, названный в честь Сергей Натанович Бернштейн, это многочлен в Форма Бернштейна, это линейная комбинация из Базисные полиномы Бернштейна.

А численно стабильный способ вычисления многочленов в форме Бернштейна алгоритм де Кастельжау.

Многочлены в форме Бернштейна были впервые использованы Бернштейном в конструктивном доказательстве Аппроксимационная теорема Вейерштрасса. С появлением компьютерной графики полиномы Бернштейна, ограниченные интервалом [0, 1], стали важными в виде Кривые Безье.

Базисные полиномы Бернштейна для смешения кривых 4-й степени

Определение

В п +1 Базисные полиномы Бернштейна степени п определены как

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n,}$

куда ${\displaystyle {\tbinom {n}{\nu }}}$ это биномиальный коэффициент. Так, например, ${\displaystyle b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.}$

Первые несколько базисных полиномов Бернштейна для смешивания 1, 2, 3 или 4 значений вместе:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}}$

Базисные полиномы Бернштейна степени п сформировать основа для векторное пространство Π_п многочленов степени не вышеп с действительными коэффициентами. Линейная комбинация базисных многочленов Бернштейна

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}$

называется Полином Бернштейна или же многочлен в форме Бернштейна степенип.^[1] Коэффициенты ${\displaystyle \beta _{\nu }}$ называются Коэффициенты Бернштейна или же Коэффициенты Безье.

Первые несколько базисных полиномов Бернштейна сверху в мономиальной форме:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-1x,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2},&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-x^{3},&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3},&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}\end{aligned}}}$

Характеристики

Базисные полиномы Бернштейна обладают следующими свойствами:

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$, если ${\displaystyle \nu <0}$ или же ${\displaystyle \nu >n.}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0}$ за ${\displaystyle x\in [0,\ 1].}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}$ и ${\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}$ куда ${\displaystyle \delta }$ это Дельта Кронекера функция: ${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ имеет корень с множественностью ${\displaystyle \nu }$ в точке ${\displaystyle x=0}$ (примечание: если ${\displaystyle \nu =0}$, в 0 нет корня).

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ имеет корень с множественностью ${\displaystyle \left(n-\nu \right)}$ в точке ${\displaystyle x=1}$ (примечание: если ${\displaystyle \nu =n}$, в 1) нет корня.

• В производная можно записать как комбинацию двух полиномов более низкой степени:

  ${\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).}$

• Преобразование полинома Бернштейна в мономы есть

  ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{n-\nu -k}x^{\nu +k}=\sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },}$

и по обратное биномиальное преобразование обратное преобразование^[2]

${\displaystyle x^{k}=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n-k}{i}}{\frac {1}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)={\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).}$

• Неопределенный интеграл дан кем-то

  ${\displaystyle \int b_{\nu ,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x).}$

• Определенный интеграл постоянен для данного п:

  ${\displaystyle \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}}\quad \ \,{\text{for all }}\nu =0,1,\dots ,n.}$

• Если ${\displaystyle n\neq 0}$, тогда ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$ имеет уникальный локальный максимум на интервале ${\displaystyle [0,\ 1]}$ в ${\displaystyle x={\frac {\nu }{n}}}$. Этот максимум принимает значение

  ${\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.}$

• Базисные полиномы Бернштейна степени ${\displaystyle n}$ сформировать разделение единства:

  ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.}$

• Взяв первый ${\displaystyle x}$-производная от ${\displaystyle (x+y)^{n}}$, лечение ${\displaystyle y}$ как константа, затем подставляя значение ${\displaystyle y=1-x}$, можно показать, что

  ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx.}$

• Аналогично второй ${\displaystyle x}$-производная от ${\displaystyle (x+y)^{n}}$, с ${\displaystyle y}$ снова затем заменил ${\displaystyle y=1-x}$, показывает, что

  ${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}.}$

• Многочлен Бернштейна всегда можно записать как линейную комбинацию многочленов более высокой степени:

  ${\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).}$

• Расширение Многочлены Чебышева первого рода. в базис Бернштейна^[3]

  ${\displaystyle T_{n}(u)=(2n-1)!!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}}b_{k,n}(u).}$

Аппроксимация непрерывных функций

Позволять ƒ быть непрерывная функция на интервале [0, 1]. Рассмотрим полином Бернштейна

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

Можно показать, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f}$

равномерно на интервале [0, 1].^[4][1][5][6]

Таким образом, полиномы Бернштейна предоставляют один из способов доказательства Аппроксимационная теорема Вейерштрасса что каждая действительная непрерывная функция на действительном интервале [а, б] можно равномерно аппроксимировать полиномиальными функциями над${\displaystyle \mathbb {R} }$.^[7]

Более общее утверждение для функции с непрерывным k^th производная

${\displaystyle {\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,}$

где дополнительно

${\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)}$

является собственное значение из B_п; соответствующая собственная функция является полиномом степениk.

Вероятностное доказательство

Это доказательство следует оригинальному доказательству Бернштейна 1912 года.^[8] См. Также Feller (1966) или Koralov & Sinai (2007).^[9][10]

Предполагать K это случайная переменная распределяется как количество успехов в п независимый Бернулли испытания с вероятностью Икс успеха на каждом испытании; другими словами, K имеет биномиальное распределение с параметрами п иИкс. Тогда у нас есть ожидаемое значение ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {E}} \left[{\frac {K}{n}}\right]=x\ }$ и

${\displaystyle p(K)={n \choose K}x^{K}\left(1-x\right)^{n-K}=b_{K,n}(x)}$

Посредством слабый закон больших чисел из теория вероятности,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0}$

для каждого δ > 0. Причем это соотношение выполняется равномерно по Икс, что видно из его доказательства через Неравенство Чебышева, учитывая, что дисперсия¹⁄_п K, равно¹⁄_п Икс(1−Икс), ограничена сверху¹⁄_(4п) независимо от Икс.

Потому что ƒ, будучи непрерывными на замкнутом ограниченном интервале, должны быть равномерно непрерывный на этом интервале выводится утверждение вида

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0}$

равномерно в Икс. Учитывая, что ƒ ограничено (на заданном интервале), для математического ожидания

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathcal {E}} \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0}$

равномерно в Икс. Для этого нужно разбить сумму ожидания на две части. С одной стороны разница не превышает ε; эта часть не может внести больше, чем ε. С другой стороны разница превышает ε, но не превышает 2M, куда M - оценка сверху для |ƒ(х) |; эта часть не может содержать более 2M умноженная на небольшую вероятность того, что разница превышает ε.

Наконец, можно заметить, что абсолютное значение разницы между ожиданиями никогда не превышает ожидание абсолютного значения разницы, и

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {E}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)}$

Элементарное доказательство

Вероятностное доказательство также можно перефразировать элементарно, используя лежащие в его основе вероятностные идеи, но продолжая прямую проверку:^{[11][12][13][14][15]}

Следующие личности могут быть проверены:

(1) ${\displaystyle \sum _{k}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1}$

("вероятность")

(2) ${\displaystyle \sum _{k}{k \over n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=x}$

("иметь в виду")

(3) ${\displaystyle \sum _{k}\left(x-{k \over n}\right)^{2}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}={x(1-x) \over n}.}$

(«отклонение»)

На самом деле, по биномиальной теореме

${\displaystyle (1+t)^{n}=\sum _{k}{n \choose k}t^{k},}$

и это уравнение можно применить дважды к ${\displaystyle t{\frac {d}{dt}}}$. Тождества (1), (2) и (3) легко следуют с помощью замены ${\displaystyle t=x/(1-x)}$.

В рамках этих трех тождеств используйте указанную выше обозначение базисного полинома

${\displaystyle b_{k,n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k},}$

и разреши

${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).}$

Таким образом, по тождеству (1)

${\displaystyle f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),}$

так что

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{k}|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

С ж равномерно непрерывно, учитывая ${\displaystyle \varepsilon >0}$, Существует ${\displaystyle \delta >0}$ такой, что ${\displaystyle |f(a)-f(b)|<\varepsilon }$ в любое время${\displaystyle |a-b|<\delta }$. Более того, по преемственности ${\displaystyle M=\sup |f|<\infty }$. Но потом

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{|x-{k \over n}|<\delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x)+\sum _{|x-{k \over n}|\geq \delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

Первая сумма меньше ε. С другой стороны, по тождеству (3) выше и поскольку ${\displaystyle |x-k/n|\geq \delta }$, вторая сумма ограничена 2M раз

${\displaystyle \sum _{|x-k/n|\geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<\delta ^{-2}n^{-1}.}$

(«Неравенство Чебышева»)

Отсюда следует, что многочлены ж_п как правило ж равномерно.

Обобщения на более высокое измерение

Многочлены Бернштейна можно обобщить на k размеры. Полученные многочлены имеют вид п_я1(Икс₁) п_я2(Икс₂) ... п_яk(Икс_k).^[16] В простейшем случае только произведения единичного интервала [0,1] считаются; но, используя аффинные преобразования линии, полиномы Бернштейна также могут быть определены для продуктов [а₁, б₁] × [а₂, б₂] × ... × [а_k, б_k]. Для непрерывной функции ж на k-кратное произведение единичного интервала, доказательство того, что ж(Икс₁, Икс₂, ... , Икс_k) можно равномерно аппроксимировать

${\displaystyle \sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}})x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}}$

является прямым расширением доказательства Бернштейна в одном измерении.^[17]

Смотрите также

• Полиномиальная интерполяция
• Форма Ньютона
• Форма Лагранжа
• Биномиальный QMF

Примечания

1. Лоренц 1953
2. Матар, Р. Дж. (2018). «Ортогональная базисная функция над единичной окружностью с минимаксным свойством». Приложение Б. arXiv:1802.09518.
3. Рабаба, Абедаллах (2003). "Преобразование полиномиального базиса Чебышева-Бернштейна". Комп. Meth. Appl. Математика. 3 (4): 608–622. Дои:10.2478 / cmam-2003-0038.
4. Натансон (1964) стр. 6
5. Феллер 1966 г.
6. Билз 2004
7. Натансон (1964) стр. 3
8. Бернштейн 1912
9. Коралов, Л .; Синай, Ю. (2007). ""Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса"". Теория вероятностей и случайных процессов (2-е изд.). Springer. п. 29.
10. Феллер 1966 г.
11. Лоренц 1953, стр. 5-6
12. Билз 2004
13. Гольдберг 1964
14. Ахиезер 1956 г.
15. Буркилл 1959
16. Лоренц 1953
17. Хильдебрандт, Т.; Шенберг, И. Дж. (1933), «О линейных функциональных операциях и проблеме моментов для конечного интервала в одном или нескольких измерениях», Анналы математики, 34: 327

Рекомендации

• Бернштейн, С. (1912), "Демонстрация теории теории Вейерштрасса, основанной на исчислении вероятностей (Доказательство теоремы Вейерштрасса, основанное на исчислении вероятностей)" (PDF), Comm. Харьковская математика. Soc., 13: 1–2, Английский перевод
• Лоренц, Г.Г. (1953), Полиномы Бернштейна, University of Toronto Press
• Ахиезер, Н.И. (1956), Теория приближения (на русском языке), перевод Чарльза Дж. Хаймана, Фредерика Ангара, стр. 30–31., Русское издание впервые опубликовано в 1940 г.
• Буркилл, Дж. (1959), Лекции о приближении многочленами (PDF), Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, стр. 7–8
• Гольдберг, Ричард Р. (1964), Методы реального анализа, John Wiley & Sons, стр. 263–265.
• Чаглар, Хакан; Акансу, Али Н. (июль 1993 г.). «Обобщенный параметрический метод проектирования PR-QMF, основанный на приближении полиномов Бернштейна». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 41 (7): 2314–2321. Дои:10.1109/78.224242. Zbl  0825.93863.
• Коровкин, П. (2001) [1994], «Многочлены Бернштейна», Энциклопедия математики, EMS Press
• Натансон, И. (1964). Теория конструктивных функций. Том I: равномерное приближение. Перевод Алексея Николаевича Оболенского. Нью-Йорк: Фредерик Ангар. МИСТЕР  0196340. Zbl  0133.31101.
• Феллер, Уильям (1966), Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Том II., John Wiley & Sons, стр. 149–150, 218–222.
• Билз, Ричард (2004), Анализ. Введение, Издательство Кембриджского университета, стр. 95–98, ISBN  0521600472

внешняя ссылка

• Кац, Марк (1938). "Une remarque sur les polynomes de M. S. Bernstein". Studia Mathematica. 7: 49–51. Дои:10.4064 / см-7-1-49-51.
• Келиски, Ричард Пол; Ривлин, Теодор Джозеф (1967). «Итеративы многочленов Бернштейна». Тихоокеанский математический журнал. 21 (3): 511. Дои:10.2140 / pjm.1967.21.511.
• Старк, Э. Л. (1981). «Полином Бернштейна, 1912-1955». В Butzer, P.L. (ред.). ISNM60. С. 443–461. Дои:10.1007/978-3-0348-9-369-5_40. ISBN  978-3-0348-9369-5.
• Петроне, Соня (1999). «Случайные многочлены Бернштейна». Сканд. J. Stat. 26 (3): 373–393. Дои:10.1111/1467-9469.00155.
• Орук, Халил; Филлипс, Георг М. (1999). «Обобщение полиномов Бернштейна». Труды Эдинбургского математического общества. 42: 403–413. Дои:10.1017 / S0013091500020332.
• Джой, Кеннет I. (2000). «Полиномы Бернштейна» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-02-20. Получено 2009-02-28. из Калифорнийский университет в Дэвисе. Обратите внимание на ошибку в пределах суммирования в первой формуле на странице 9.
• Idrees Bhatti, M .; Бракен, П. (2007). «Решения дифференциальных уравнений в полиномиальном базисе Бернштейна». J. Comput. Appl. Математика. 205: 272–280. Дои:10.1016 / j.cam.2006.05.002.
• Кассельман, Билл (2008). "От Безье до Бернштейна". Столбец функций из Американское математическое общество
• Ацикгоз, Мехмет; Араси, Серкан (2010). «О производящей функции для многочленов Бернштейна». AIP Conf. Proc. 1281: 1141. Дои:10.1063/1.3497855.
• Doha, E.H .; Bhrawy, A.H .; Сакер, М.А. (2011). «Интегралы многочленов Бернштейна: приложение для решения дифференциальных уравнений высокого четного порядка». Appl. Математика. Латыш. 24: 559–565. Дои:10.1016 / j.aml.2010.11.013.
• Фаруки, Рида Т. (2012). «Основание многочлена Бернштейна: столетняя ретроспектива». Комп. Помогать. Геом. Des. 29: 379–419. Дои:10.1016 / j.cagd.2012.03.001.
• Чен, Сяоянь; Тан, Цзэцин; Лю, Чжи; Се, Цзинь (2017). «Приближение функций новым семейством обобщенных операторов Бернштейна». J. Math. Анна. Приложение. 450: 244–261. Дои:10.1016 / j.jmaa.2016.12.075.
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Бернштейна». MathWorld.
• В этой статье использованы материалы из свойства полинома Бернштейна на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.