Полином Бернштейна – Сато - Bernstein–Sato polynomial

В математика, то Полином Бернштейна – Сато многочлен, связанный с дифференциальные операторы, введенные независимо Джозеф Бернштейн (1971 ) и Микио Сато и Такуро Шинтани (1972, 1974 ), Сато (1990). Он также известен как b-функция, то b-полином, а Полином Бернштейна, хотя это не связано с Многочлены Бернштейна используется в теория приближения. Он имеет приложения для теория сингулярности, теория монодромии, и квантовая теория поля.

Северино Коутиньо (1995 ) дает элементарное введение, а Арман Борель (1987 ) и Масаки Кашивара (2003 ) дать более продвинутые аккаунты.

Определение и свойства

Если ${ displaystyle f (x)}$ является многочленом от нескольких переменных, то существует ненулевой многочлен ${ displaystyle b (s)}$ и дифференциальный оператор ${ Displaystyle P (s)}$ с полиномиальными коэффициентами такими, что

{ Displaystyle P (s) f (x) ^ {s + 1} = b (s) f (x) ^ {s}.}

Полином Бернштейна – Сато - это монический многочлен наименьшей степени среди таких многочленов ${ displaystyle b (s)}$ . Его существование можно показать, используя понятие голономной D-модули.

Кашивара (1976) доказано, что все корни полинома Бернштейна – Сато отрицательны. рациональное число.

Многочлен Бернштейна – Сато можно также определить для произведений степеней нескольких многочленов (Саббах 1987 г. ). В данном случае это произведение линейных факторов с рациональными коэффициентами.^{[нужна цитата ]}

Неро Будур, Мирча Мустаца, и Морихико Сайто (2006 ) обобщил полином Бернштейна – Сато на произвольные многообразия.

Обратите внимание, что полином Бернштейна – Сато можно вычислить алгоритмически. Однако такие вычисления в целом сложны. Есть реализации связанных алгоритмов в системах компьютерной алгебры RISA / Asir, Маколей2, и ЕДИНСТВЕННОЕ ЧИСЛО.

Даниэль Андрес, Виктор Левандовский и Хорхе Мартин-Моралес (2009 ) представил алгоритмы вычисления полинома Бернштейна – Сато аффинного многообразия вместе с реализацией в системе компьютерной алгебры ЕДИНСТВЕННОЕ ЧИСЛО.

Кристин Беркеш и Антон Лейкин (2010 ) описал некоторые алгоритмы вычисления полиномов Бернштейна – Сато на компьютере.

Примеры

Если ${ displaystyle f (x) = x_ {1} ^ {2} + cdots + x_ {n} ^ {2} ,}$ тогда

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} partial _ {i} ^ {2} f (x) ^ {s + 1} = 4 (s + 1) left (s + { frac { n} {2}} right) f (x) ^ {s}}

так что многочлен Бернштейна – Сато равен

{ displaystyle b (s) = (s + 1) left (s + { frac {n} {2}} right).}

Если ${ displaystyle f (x) = x_ {1} ^ {n_ {1}} x_ {2} ^ {n_ {2}} cdots x_ {r} ^ {n_ {r}}}$ тогда

{ Displaystyle prod _ {j = 1} ^ {r} partial _ {x_ {j}} ^ {n_ {j}} quad f (x) ^ {s + 1} = prod _ {j = 1} ^ {r} prod _ {i = 1} ^ {n_ {j}} (n_ {j} s + i) quad f (x) ^ {s}}

так

{ displaystyle b (s) = prod _ {j = 1} ^ {r} prod _ {i = 1} ^ {n_ {j}} left (s + { frac {i} {n_ {j}) }}правильно).}

Многочлен Бернштейна – Сато от Икс² + y³ является

{ displaystyle (s + 1) left (s + { frac {5} {6}} right) left (s + { frac {7} {6}} right).}

Если т_ij находятся п² переменных, то полином Бернштейна – Сато от det (т_ij) дан кем-то

{ Displaystyle s (s + 1) cdots (s + n-1)}

что следует из

{ Displaystyle Omega ( det (t_ {ij}) ^ {s}) = s (s + 1) cdots (s + n-1) det (t_ {ij}) ^ {s-1}}

где Ω есть Омега-процесс Кэли, что, в свою очередь, следует из Личность Капелли.

Приложения

Если ${ displaystyle f (x)}$ неотрицательный многочлен, то ${ displaystyle f (x) ^ {s}}$ , изначально определенная для s с неотрицательной действительной частью, может быть аналитически продолжение к мероморфный распространение -значная функция s многократно используя функциональное уравнение

{ Displaystyle f (x) ^ {s} = {1 over b (s)} P (s) f (x) ^ {s + 1}.}

У него могут быть полюса, когда б(s + п) равен нулю для неотрицательного целого числа п.

Если ж(Икс) является многочленом, отличным от тождественного нуля, то он имеет обратный г это распределение;^[а] другими словами, f g = 1 как распределения. Если ж(Икс) неотрицательно, обратное можно построить с помощью полинома Бернштейна – Сато, взяв постоянный член Расширение Лорана из ж(Икс)^s в s = -1. Для произвольных ж(Икс) просто возьми ${ displaystyle { bar {f}} (х)}$ раз обратное ${ displaystyle { bar {f}} (x) f (x).}$

В Теорема Мальгранжа – Эренпрейса заявляет, что каждый дифференциальный оператор с участием постоянные коэффициенты имеет Функция Грина. Принимая Преобразования Фурье это следует из того факта, что каждый многочлен имеет обратный по распределению, что доказано в предыдущем абзаце.

Павел Этингоф (1999 ) показал, как использовать полином Бернштейна для определения размерная регуляризация строго, в массивном евклидовом случае.

Функциональное уравнение Бернштейна-Сато используется при вычислениях некоторых из более сложных видов сингулярных интегралов, встречающихся в квантовая теория поля Федор Ткачев (1997 ). Такие вычисления необходимы для прецизионных измерений в физике элементарных частиц, как это практикуется, например, в ЦЕРН (см. статьи со ссылкой на (Ткачев 1997 )). Однако наиболее интересные случаи требуют простого обобщения функционального уравнения Бернштейна-Сато на произведение двух многочленов ${ Displaystyle (е_ {1} (х)) ^ {s_ {1}} (е_ {2} (х)) ^ {s_ {2}}}$ , с участием Икс с 2-6 скалярными компонентами, и пара многочленов порядка 2 и 3. К сожалению, определение соответствующих дифференциальных операторов методом перебора ${ Displaystyle P (s_ {1}, s_ {2})}$ и ${ displaystyle b (s_ {1}, s_ {2})}$ поскольку такие случаи пока оказались чрезмерно громоздкими. Разработка способов обойти комбинаторный взрыв алгоритма грубой силы будет иметь большое значение в таких приложениях.

Заметки

^ Предупреждение: инверсия в целом не уникальна, потому что если ж имеет нули, то существуют распределения, произведение которых с ж равен нулю, и добавление одного из них к обратному значению ж это еще одна противоположность ж.

использованная литература

Андрес, Даниэль; Левандовский Виктор; Мартин-Моралес, Хорхе (2009), "Главное пересечение и многочлен Бернштейна-Сато аффинного многообразия", Proc. ISSAC 2009, Ассоциация вычислительной техники: 231, arXiv:1002.3644, Дои:10.1145/1576702.1576735

Беркеш, Кристина; Лейкин, Антон (2010). «Алгоритмы для многочленов Бернштейна-Сато и идеалы множителей». Proc. ISSAC 2010. arXiv:1002.1475. Bibcode:2010arXiv1002.1475B.

Бернштейн, Джозеф (1971). «Модули над кольцом дифференциальных операторов. Исследование фундаментальных решений уравнений с постоянными коэффициентами». Функциональный анализ и его приложения. 5 (2): 89–101. Дои:10.1007 / BF01076413. Г-Н 0290097.

Будур, Нерон; Мустаца, Мирча; Сайто, Морихико (2006). «Многочлены Бернштейна-Сато произвольных многообразий». Compositio Mathematica. 142 (3): 779–797. arXiv:математика / 0408408. Bibcode:2004математика ...... 8408B. Дои:10.1112 / S0010437X06002193. Г-Н 2231202.

Борель, Арман (1987). Алгебраические D-модули. Перспективы в математике. 2. Бостон, Массачусетс: Академическая пресса. ISBN 0-12-117740-8.

Коутиньо, Северино С. (1995). Праймер алгебраических D-модулей. Тексты студентов Лондонского математического общества. 33. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-55908-1.

Этингоф Павел (1999). «Замечание о размерной регуляризации». Квантовые поля и струны: курс для математиков. 1. Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. С. 597–607. ISBN 978-0-8218-2012-4. Г-Н 1701608. (Принстон, Нью-Джерси, 1996/1997)

Кашивара, Масаки (1976). «B-функции и голономные системы. Рациональность корней B-функций». Inventiones Mathematicae. 38 (1): 33–53. Bibcode:1976InMat..38 ... 33K. Дои:10.1007 / BF01390168. Г-Н 0430304.

Кашивара, Масаки (2003). D-модули и микролокальный исчисление. Переводы математических монографий. 217. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2766-6. Г-Н 1943036.

Саббах, Клод (1987). "Proximité évanescente. I. La structure polaire d'un D-module". Compositio Mathematica. 62 (3): 283–328. Г-Н 0901394.

Сато, Микио; Синтани, Такуро (1972). «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 69 (5): 1081–1082. Bibcode:1972ПНАС ... 69.1081С. Дои:10.1073 / pnas.69.5.1081. JSTOR 61638. Г-Н 0296079. ЧВК 426633. PMID 16591979.

Сато, Микио; Синтани, Такуро (1974). «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами». Анналы математики. Вторая серия. 100 (1): 131–170. Дои:10.2307/1970844. JSTOR 1970844. Г-Н 0344230.

Сато, Микио (1990) [1970]. «Теория предоднородных векторных пространств (алгебраическая часть)». Нагойский математический журнал. 120: 1–34. Дои:10.1017 / s0027763000003214. Г-Н 1086566. английский перевод лекции Сато из записки Шинтани

Ткачев, Федор В. (1997). «Алгебраические алгоритмы для многопетлевых вычислений. Первые 15 лет. Что дальше?». Nucl. Instrum. Методы А. 389: 309–313. arXiv:hep-ph / 9609429. Bibcode:1997НИМПА.389..309Т. Дои:10.1016 / S0168-9002 (97) 00110-1.

[1] Предупреждение: инверсия в целом не уникальна, потому что если ж имеет нули, то существуют распределения, произведение которых с ж равен нулю, и добавление одного из них к обратному значению ж это еще одна противоположность ж.

[а]