Функция Уиттекера - Whittaker function

В математике Функция Уиттекера это особое решение Уравнение Уиттекера, модифицированная форма конфлюэнтное гипергеометрическое уравнение представлен Whittaker  (1904 ), чтобы сделать формулы, содержащие решения, более симметричными. В более общем смысле, Жаке  (1966, 1967 ) представил Уиттакер функции из редуктивные группы над местные поля, где функции, изученные Уиттекером, по сути, представляют собой случай, когда локальное поле - это действительные числа, а группа - это SL₂(р).

Уравнение Уиттекера:

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.}$

Он имеет регулярную особую точку в 0 и нерегулярную особую точку в ∞. Два решения даются Функции Уиттекера M_{κ, μ}(z), W_{κ, μ}(z), определенный в терминах Куммера конфлюэнтные гипергеометрические функции M и U к

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right).}$

Функции Уиттекера ${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)}$ и ${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)}$ такие же, как и с противоположными значениями μ, другими словами, рассматривается как функция μ при фиксированном κ и z они есть четные функции. Когда κ и z действительны, функции дают действительные значения для действительных и мнимых значений μ. Эти функции μ играть роль в так называемых Куммер пространства.^[1]

Функции Уиттекера появляются как коэффициенты некоторых представлений группы SL₂(р), называется Модели Уиттакера.

Рекомендации

1. Луи де Бранж (1968). Гильбертовы пространства целых функций. Прентис-Холл. КАК В  B0006BUXNM. Разделы 55-57.

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 13». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. С. 504, 537. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253. Смотрите также Глава 14.
• Бейтман, Гарри (1953), Высшие трансцендентные функции (PDF), 1, Макгроу-Хилл.
• Брычков Ю.А .; Прудников, А.П. (2001) [1994], «Функция Уиттекера», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Даалхуис, Адри Б. Олде (2010), «Функция Уиттекера», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
  • Жаке, Эрве (1966), "Геометрическая интерпретация и обобщение функций Уиттакера в теории полупростых групп", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 262: A943 – A945, ISSN  0151-0509, МИСТЕР  0200390
• Жаке, Эрве (1967), "Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley", Bulletin de la Société Mathématique de France, 95: 243–309, Дои:10.24033 / bsmf.1654, ISSN  0037-9484, МИСТЕР  0271275
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Уиттекера», Энциклопедия математики, EMS Press.
• Слейтер, Люси Джоан (1960), Конфлюэнтные гипергеометрические функции, Издательство Кембриджского университета, МИСТЕР  0107026.
• Уиттакер, Эдмунд Т. (1904), "Выражение некоторых известных функций как обобщенных гипергеометрических функций", Бюллетень A.M.S., Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, 10 (3): 125–134, Дои:10.1090 / S0002-9904-1903-01077-5

дальнейшее чтение

• Хатамзаде-Вармазьяр, Саид; Масури, Захра (01.11.2012). «Быстрый численный метод анализа одномерного и двумерного электромагнитного рассеяния с использованием набора кардинальных функций». Инженерный анализ с граничными элементами. 36 (11): 1631–1639. Дои:10.1016 / j.enganabound.2012.04.014. ISSN  0955-7997.
• Герасимов, А. А .; Лебедев, Дмитрий Р .; Облезин, Сергей В. (2012). «Новые интегральные представления функций Уиттекера для классических групп Ли». Российские математические обзоры. 67 (1): 1–92. arXiv:0705.2886. Bibcode:2012RuMaS..67 .... 1G. Дои:10.1070 / RM2012v067n01ABEH004776. ISSN  0036-0279.
• Бодуан, Фабрис; О’Коннелл, Нил (2011). «Экспоненциальные функционалы от броуновского движения и функции Уиттекера первого класса». Annales de l'I.H.P. Probabilités et statistiques. 47 (4): 1096–1120. Bibcode:2011AIHPB..47.1096B. Дои:10.1214 / 10-AIHP401. S2CID  113388.
• Макки, Марк (апрель 2009 г.). "Функция Уиттекера бесконечного порядка". Канадский математический журнал. 61 (2): 373–381. Дои:10.4153 / CJM-2009-019-x. ISSN  0008-414X.
• Mathai, A. M .; Педерзоли, Джорджио (1 марта 1997 г.). «Некоторые свойства матричных преобразований Лапласа и матричных функций Уиттекера». Линейная алгебра и ее приложения. 253 (1): 209–226. Дои:10.1016/0024-3795(95)00705-9. ISSN  0024-3795.
• Уиттакер, Дж. М. (май 1927 г.). «О кардинальной функции теории интерполяции». Труды Эдинбургского математического общества. 1 (1): 41–46. Дои:10.1017 / S0013091500007318. ISSN  1464-3839.
• Чередник, Иван (2009). "Пределы Уиттекера разностных сферических функций". Уведомления о международных математических исследованиях. 2009 (20): 3793–3842. arXiv:0807.2155. Дои:10.1093 / imrn / rnp065. ISSN  1687-0247. S2CID  6253357.
• Слейтер, Л. Дж. (Октябрь 1954 г.). «Разложения обобщенных функций Уиттекера». Математические труды Кембриджского философского общества. 50 (4): 628–631. Bibcode:1954PCPS ... 50..628S. Дои:10.1017 / S0305004100029765. ISSN  1469-8064.
• Этингоф, Павел (1999-01-12). «Функции Уиттекера на квантовых группах и q-деформированные операторы Тоды». arXiv:математика / 9901053.
• Макнамара, Питер Дж. (15 января 2011 г.). «Метаплектические функции Уиттекера и кристаллические основы». Математический журнал герцога. 156 (1): 1–31. arXiv:0907.2675. Дои:10.1215/00127094-2010-064. ISSN  0012-7094. S2CID  979197.
• Mathai, A. M .; Педерзоли, Джорджио (1998-01-15). "Функция Уиттекера матричного аргумента". Линейная алгебра и ее приложения. 269 (1): 91–103. Дои:10.1016 / S0024-3795 (97) 00059-1. ISSN  0024-3795.
• Frenkel, E .; Гайцгори, Д .; Каждан, Д .; Вилонен, К. (1998). «Геометрическая реализация функций Уиттекера и гипотеза Ленглендса». Журнал Американского математического общества. 11 (2): 451–484. Дои:10.1090 / S0894-0347-98-00260-4. ISSN  0894-0347. S2CID  13221400.