Модель Уиттакера - Whittaker model

В теория представлений, раздел математики, Модель Уиттакера это реализация представление из редуктивная алгебраическая группа такие как GL₂ через конечный или местный или глобальное поле на пространстве функций на группе. Он назван в честь Э. Т. Уиттакер хотя он никогда не работал в этой области, потому что (Жаке1966, 1967 ) указал, что для группы SL₂(р) некоторые из функций, участвующих в представлении: Функции Уиттекера.

Неприводимые представления модели без модели Уиттекера иногда называют «вырожденными», а модели с моделью Уиттекера - «общими». Представление θ₁₀ из симплектическая группа Sp₄ является простейшим примером вырожденного представления.

Модели Уиттакера для GL₂

Если г это алгебраическая группа GL₂ и F является локальным полем, и τ фиксированный нетривиальный характер аддитивной группы F и π является неприводимым представлением полной линейной группы г(F), то модель Уиттекера для π это представление π на пространстве функций ƒ на г(F) удовлетворение

${\displaystyle f\left({\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}g\right)=\tau (b)f(g).}$

Жаке и Ленглендс (1970) использовали модели Уиттекера для присвоения L-функций допустимые представления из GL₂.

Модели Уиттакера для GL_п

Позволять ${\displaystyle G}$ быть общая линейная группа ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$, ${\displaystyle \psi }$ гладкий комплекснозначный нетривиальный аддитивный характер ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle U}$ подгруппа ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$ состоящий из унипотентных верхнетреугольных матриц. Невырожденный характер на ${\displaystyle U}$ имеет форму

${\displaystyle \chi (u)=\psi (\alpha _{1}x_{12}+\alpha _{2}x_{23}+\cdots +\alpha _{n-1}x_{n-1n}),}$

для ${\displaystyle u=(x_{ij})}$ ∈ ${\displaystyle U}$ и ненулевой ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$ ∈ ${\displaystyle F}$. Если ${\displaystyle (\pi ,V)}$ является гладким представлением ${\displaystyle G(F)}$, а Функционал Уиттекера ${\displaystyle \lambda }$ является линейным непрерывным функционалом на ${\displaystyle V}$ такой, что ${\displaystyle \lambda (\pi (u)v)=\chi (u)\lambda (v)}$ для всех ${\displaystyle u}$ ∈ ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle v}$ ∈ ${\displaystyle V}$. Кратность один заявляет, что для ${\displaystyle \pi }$ унитарно неприводимое пространство функционалов Уиттекера имеет размерность не более единицы.

Модели Уиттекера для редуктивных групп

Если г является расщепленной редуктивной группой и U унипотентный радикал борелевской подгруппы B, то модель Уиттекера для представления - это вложение его в индуцированную (Гельфанд – Граев ) представление Ind^г
_U(χ), где χ является невырожденным характером U, например, сумма символов, соответствующих простым корням.

Смотрите также

• Представление Гельфанда – Граева, примерно сумма моделей Уиттекера над конечным полем.
• Кириллов модель

использованная литература

• Жаке, Эрве (1966), "Геометрическая интерпретация и обобщение функций Уиттакера в теории полупростых групп", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 262: A943 – A945, ISSN  0151-0509, Г-Н  0200390
• Жаке, Эрве (1967), "Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley", Bulletin de la Société Mathématique de France, 95: 243–309, ISSN  0037-9484, Г-Н  0271275
• Jacquet, H .; Лэнглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2), Конспект лекций по математике, Vol. 114, 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0058988, ISBN  978-3-540-04903-6, Г-Н  0401654
• Ж. А. Шалика, Теорема кратности один для ${\displaystyle GL_{n}}$, Анналы математики, 2-е. Сер., Т. 100, № 2 (1974), 171–193.

дальнейшее чтение

• Жаке, Эрве; Шалика, Джозеф (1983). «Модели Уиттекера индуцированных представлений». Тихоокеанский математический журнал. 109 (1): 107–120. ISSN  0030-8730.