Преобразование Хартли - Hartley transform

В математика, то Преобразование Хартли (HT) является интегральное преобразование тесно связан с преобразование Фурье (FT), но который преобразует функции с действительными значениями в функции с действительными значениями. Он был предложен в качестве альтернативы преобразованию Фурье. Ральф В. Л. Хартли в 1942 г.,^[1] и является одним из многих известных Преобразования, связанные с Фурье. По сравнению с преобразованием Фурье преобразование Хартли имеет преимущества преобразования настоящий функции в реальные функции (в отличие от сложные числа ) и быть своей собственной инверсией.

Дискретная версия преобразования, дискретное преобразование Хартли (DHT), была представлена Рональд Н. Брейсвелл в 1983 г.^[2]

Двумерное преобразование Хартли может быть вычислено с помощью аналогового оптического процесса, аналогичного оптическое преобразование Фурье (OFT) с предлагаемым преимуществом, заключающимся в том, что необходимо определять только его амплитуду и знак, а не сложную фазу.^[3] Однако оптические преобразования Хартли, похоже, не получили широкого распространения.

Определение

Преобразование Хартли функция ${\displaystyle f(t)}$ определяется:

${\displaystyle H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\operatorname {cas} (\omega t)\,\mathrm {d} t,}$

куда ${\displaystyle \omega }$ может в приложениях быть угловая частота и

${\displaystyle \operatorname {cas} (t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)={\sqrt {2}}\cos(t-\pi /4)}$

косинус-синус (кас) или Хартли ядро. С технической точки зрения, это преобразование переводит сигнал (функцию) из временной области в спектральную область Хартли (частотную область).

Обратное преобразование

Преобразование Хартли имеет удобное свойство быть обратным самому себе ( инволюция ):

${\displaystyle f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}.}$

Конвенции

Вышеупомянутое согласуется с исходным определением Хартли, но (как и в случае с преобразованием Фурье) различные второстепенные детали являются условными и могут быть изменены без изменения основных свойств:

• Вместо использования одного и того же преобразования для прямого и обратного преобразования можно удалить ${\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}}$ от прямого преобразования и использования ${\displaystyle {1}/{2\pi }}$ для обратного - или, действительно, любая пара нормализаций, произведение которых равно ${\displaystyle {1}/{2\pi }}$. (Такие асимметричные нормализации иногда встречаются как в чисто математическом, так и в инженерном контексте.)
• Также можно использовать ${\displaystyle 2\pi \nu t}$ вместо ${\displaystyle \omega t}$ (т.е. частота вместо угловой частоты), и в этом случае ${\displaystyle {1}/{\sqrt {2\pi }}}$ коэффициент полностью опущен.
• Можно использовать ${\displaystyle \cos -\sin }$ вместо ${\displaystyle \cos +\sin }$ как ядро.

Связь с преобразованием Фурье

Это преобразование отличается от классического преобразования Фурье. ${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )}$ в выборе ядра. В преобразовании Фурье мы имеем экспоненциальное ядро:${\displaystyle \exp \left({-\mathrm {i} \omega t}\right)=\cos(\omega t)-\mathrm {i} \sin(\omega t),}$куда ${\displaystyle \mathrm {i} }$ это мнимая единица.

Однако эти два преобразования тесно связаны, и преобразование Фурье (при условии, что оно использует одно и то же ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ соглашение о нормализации) может быть вычислено из преобразования Хартли с помощью:

${\displaystyle F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-\mathrm {i} {\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}.}$

То есть действительная и мнимая части преобразования Фурье просто задаются четный и нечетный части преобразования Хартли соответственно.

Наоборот, для действительных функций ж(т) преобразование Хартли дается из действительной и мнимой частей преобразования Фурье:

${\displaystyle \{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1+\mathrm {i} )\}}$

куда ${\displaystyle \Re }$ и ${\displaystyle \Im }$ обозначают действительную и мнимую части комплексного преобразования Фурье.

Характеристики

Преобразование Хартли - настоящее линейный оператор, и является симметричный (и Эрмитский ). Из симметричных и самообратных свойств следует, что преобразование является унитарный оператор (в самом деле, ортогональный ).

Также есть аналог теорема свертки для преобразования Хартли. Если две функции ${\displaystyle x(t)}$ и ${\displaystyle y(t)}$ есть преобразования Хартли ${\displaystyle X(\omega )}$ и ${\displaystyle Y(\omega )}$соответственно, то их свертка ${\displaystyle z(t)=x*y}$ имеет преобразование Хартли^{[нужна цитата ]}:

${\displaystyle Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega )\left[Y(\omega )+Y(-\omega )\right]+X(-\omega )\left[Y(\omega )-Y(-\omega )\right]\right)/2.}$

Подобно преобразованию Фурье, преобразование Хартли четной / нечетной функции является четным / нечетным соответственно.

cas

Свойства Ядро Хартли, для которого Хартли ввел название cas для функции (из косинус и синус) в 1942 г.,^[1][4] следовать прямо из тригонометрия, и ее определение как сдвинутая по фазе тригонометрическая функция ${\displaystyle \operatorname {cas} (t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)=\sin(t)+\cos(t)}$. Например, он имеет идентификатор сложения углов:

${\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).}$

Кроме того:

${\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)}$

и его производная определяется как:

${\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {d}{da}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).}$

Смотрите также

• цис (математика)
• Дробное преобразование Фурье

Рекомендации

1. Хартли, Ральф В. Л. (Март 1942 г.). «Более симметричный анализ Фурье применительно к задачам передачи». Труды IRE. 30 (3): 144–150. Дои:10.1109 / JRPROC.1942.234333. S2CID  51644127.
2. Брейсуэлл, Рональд Н. (1983). «Дискретное преобразование Хартли». Журнал Оптического общества Америки. 73 (12): 1832–1835. Дои:10.1364 / JOSA.73.001832.
3. Вилласенор, Джон Д. (1994). «Оптические преобразования Хартли». Труды IEEE. 82 (3): 391–399. Дои:10.1109/5.272144.
4. Брейсуэлл, Рональд Н. (Июнь 1999 г.) [1985, 1978, 1965]. Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07303938-1. (NB. Второе издание также переведено на японский и польский языки.)

• Брейсуэлл, Рональд Н. (1986). Написано в Стэнфорде, Калифорния, США. Преобразование Хартли. Оксфордская серия инженерных наук. 19 (1-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Oxford University Press, Inc. ISBN  0-19-503969-6. (NB. Также переведены на немецкий и русский языки.)
• Брейсуэлл, Рональд Н. (1994). «Аспекты преобразования Хартли». Труды IEEE. 82 (3): 381–387. Дои:10.1109/5.272142.
• Миллейн, Рик П. (1994). «Аналитические свойства преобразования Хартли». Труды IEEE. 82 (3): 413–428. Дои:10.1109/5.272146.

дальнейшее чтение

• Olnejniczak, Kraig J .; Хейдт, Джеральд Т., ред. (Март 1994). «Сканирование специального раздела по преобразованию Хартли». Специальный выпуск о преобразовании Хартли. Труды IEEE. 82. стр. 372–380. Получено 2017-10-31. (NB. Содержит обширную библиографию.)