Гомоморфизм Черна – Вейля - Chern–Weil homomorphism

В математика, то Гомоморфизм Черна – Вейля это базовая конструкция в Теория Черна – Вейля что вычисляет топологический инварианты векторные пакеты и основные связки на гладкое многообразие M с точки зрения связи и кривизна представляющие классы в когомологии де Рама кольца M. То есть теория образует мост между областями алгебраическая топология и дифференциальная геометрия. Он был разработан в конце 1940-х гг. Шиинг-Шен Черн и Андре Вайль, вслед за доказательствами обобщенная теорема Гаусса – Бонне. Эта теория была важным шагом в теории характеристические классы.

Позволять грамм быть реальным или сложным Группа Ли с Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, и разреши ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ обозначим алгебру ${\displaystyle \mathbb {C} }$-значен многочлены на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (точно такой же аргумент работает, если мы использовали ${\displaystyle \mathbb {R} }$ вместо ${\displaystyle \mathbb {C} }$.) Позволять ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$ быть подалгебра неподвижных точек в ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ под сопряженное действие из грамм; то есть подалгебра, состоящая из всех многочленов ж такой, что ${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$, для всех грамм в грамм и Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$,

Учитывая основной G-пучок п на M, существует ассоциированный гомоморфизм ${\displaystyle \mathbb {C} }$-алгебры,

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$,

называется Гомоморфизм Черна – Вейля, где справа когомологии когомологии де Рама. Этот гомоморфизм получается взятием инвариантных многочленов от кривизны любой связности на данном расслоении. Если грамм компактно или полупросто, то кольцо когомологий классификация пространства за грамм-бандлы, ${\displaystyle BG}$, изоморфна алгебре ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$ инвариантных многочленов:

${\displaystyle H^{*}(BG;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}.}$

(Кольцо когомологий BG все еще может быть дано в смысле де Рама:

${\displaystyle H^{k}(BG;\mathbb {C} )=\varinjlim \operatorname {ker} (d\colon \Omega ^{k}(B_{j}G)\to \Omega ^{k+1}(B_{j}G))/\operatorname {im} d.}$

когда ${\displaystyle BG=\varinjlim B_{j}G}$ и ${\displaystyle B_{j}G}$ являются многообразиями.)

Определение гомоморфизма

Выбери любой форма подключения ω в п, и пусть Ω - ассоциированная форма кривизны; т.е. ${\displaystyle \Omega =D\omega }$, то внешняя ковариантная производная из ω. Если ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$ является однородной полиномиальной функцией степениk; т.е. ${\displaystyle f(ax)=a^{k}f(x)}$ для любого комплексного числа а и Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, затем просмотр ж как симметричный полилинейный функционал на ${\displaystyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$ (см. кольцо полиномиальных функций ), позволять

${\displaystyle f(\Omega )}$

быть (скалярным) 2k-форма на п данный

${\displaystyle f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)}))}$

куда v_я являются касательными векторами к п, ${\displaystyle \epsilon _{\sigma }}$ знак перестановки ${\displaystyle \sigma }$ в симметрической группе на 2k числа ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}$ (видеть Формы со значениями в алгебре Ли # Операции а также Пфаффиан ).

Если к тому же ж инвариантен; т.е. ${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$, то можно показать, что ${\displaystyle f(\Omega )}$ это закрытая форма, он спускается к уникальной форме на M и что когомологии де Рама класс формы не зависит от ${\displaystyle \omega }$. Во-первых, это ${\displaystyle f(\Omega )}$ замкнутая форма следует из следующих двух лемм:^[1]

Лемма 1: форма ${\displaystyle f(\Omega )}$ на п спускается к (уникальной) форме ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$ на M; т.е. есть форма на M что отступает к ${\displaystyle f(\Omega )}$.

Лемма 2: если форма ${\displaystyle \varphi }$ на п спускается к форме на M, тогда ${\displaystyle d\varphi =D\varphi }$.

В самом деле, Вторая личность Бьянки говорит ${\displaystyle D\Omega =0}$ и с тех пор D это ступенчатый вывод, ${\displaystyle Df(\Omega )=0.}$ Наконец, лемма 1 говорит ${\displaystyle f(\Omega )}$ удовлетворяет условию леммы 2.

Чтобы увидеть лемму 2, пусть ${\displaystyle \pi \colon P\to M}$ быть проекцией и час быть проекцией ${\displaystyle T_{u}P}$ на горизонтальное подпространство. Тогда лемма 2 является следствием того, что ${\displaystyle d\pi (hv)=d\pi (v)}$ (ядро ${\displaystyle d\pi }$ является в точности вертикальным подпространством.) Что касается леммы 1, первое замечание

${\displaystyle f(\Omega )(dR_{g}(v_{1}),\dots ,dR_{g}(v_{2k}))=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),\,R_{g}(u)=ug;}$

что потому что ${\displaystyle R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega }$ и ж инвариантен. Таким образом, можно определить ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$ по формуле:

${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )({\overline {v_{1}}},\dots ,{\overline {v_{2k}}})=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k})}$,

куда ${\displaystyle v_{i}}$ есть лифты ${\displaystyle {\overline {v_{i}}}}$: ${\displaystyle d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}}$.

Далее мы покажем, что класс когомологий де Рама ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$ на M не зависит от выбора подключения.^[2] Позволять ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}$ быть произвольными формами связи на п и разреши ${\displaystyle p\colon P\times \mathbb {R} \to P}$ быть проекцией. Положить

${\displaystyle \omega '=t\,p^{*}\omega _{1}+(1-t)\,p^{*}\omega _{0}}$

куда т является гладкой функцией на ${\displaystyle P\times \mathbb {R} }$ данный ${\displaystyle (x,s)\mapsto s}$. Позволять ${\displaystyle \Omega ',\Omega _{0},\Omega _{1}}$ быть формами кривизны ${\displaystyle \omega ',\omega _{0},\omega _{1}}$. Позволять ${\displaystyle i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)}$ быть включениями. потом ${\displaystyle i_{0}}$ гомотопен ${\displaystyle i_{1}}$. Таким образом, ${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$ и ${\displaystyle i_{1}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$ принадлежат к тому же классу когомологий де Рама гомотопическая инвариантность когомологий де Рама. Наконец, по естественности и однозначности спуска

${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')={\overline {f}}(\Omega _{0})}$

и то же самое для ${\displaystyle \Omega _{1}}$. Следовательно, ${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})}$ принадлежат к одному классу когомологий.

Таким образом, конструкция дает линейное отображение: (ср. Лемму 1)

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}^{G}\rightarrow H^{2k}(M;\mathbb {C} ),\,f\mapsto \left[{\overline {f}}(\Omega )\right].}$

Фактически, можно проверить, что полученная таким образом карта:

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\rightarrow H^{*}(M;\mathbb {C} )}$

является гомоморфизм алгебр.

Пример: классы Черна и характер Черна

Позволять ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$ его алгебра Ли. Для каждого Икс в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, мы можем считать его характеристический многочлен в т:

${\displaystyle \det \left(I-t{x \over 2\pi i}\right)=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)t^{k},}$^[3]

куда я является квадратным корнем из -1. потом ${\displaystyle f_{k}}$ являются инвариантными полиномами на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, поскольку левая часть уравнения равна. В k-й Черн класс гладкого комплексно-векторного расслоения E ранга п на коллекторе M:

${\displaystyle c_{k}(E)\in H^{2k}(M,\mathbb {Z} )}$

дан как образ ${\displaystyle f_{k}}$ при гомоморфизме Черна – Вейля, определяемом формулой E (а точнее комплект кадров из E). Если т = 1, тогда ${\displaystyle \det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)}$ - инвариантный многочлен. В общий класс Черна из E - образ этого многочлена; то есть,

${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E).}$

Непосредственно из определения можно показать, что ${\displaystyle c_{j}}$ и c указанные выше удовлетворяют аксиомам классов Черна. Например, для формулы суммы Уитни мы рассматриваем

${\displaystyle c_{t}(E)=[\det \left(I-t{\Omega /2\pi i}\right)]}$,

где мы написали ${\displaystyle \Omega }$ для кривизна 2-форма на M векторного расслоения E (так что это потомок формы кривизны на расслоении кадров E). Гомоморфизм Черна – Вейля остается тем же самым, если использовать это ${\displaystyle \Omega }$. Теперь предположим E прямая сумма векторных расслоений ${\displaystyle E_{i}}$'песок ${\displaystyle \Omega _{i}}$ форма кривизны ${\displaystyle E_{i}}$ так что в матричном члене ${\displaystyle \Omega }$ - блочно-диагональная матрица с Ω_янаходится по диагонали. Тогда, поскольку ${\displaystyle \det(I-t\Omega /2\pi i)=\det(I-t\Omega _{1}/2\pi i)\wedge \dots \wedge \det(I-t\Omega _{m}/2\pi i)}$, у нас есть:

${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E_{1})\cdots c_{t}(E_{m})}$

где справа умножение - умножение кольца когомологий: чашка продукта. Для свойства нормализации вычисляется первый класс Черна сложная проективная линия; видеть Класс Черна # Пример: комплексное касательное расслоение сферы Римана.

С ${\displaystyle \Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}}$,^[4] у нас также есть:

${\displaystyle c_{1}(E\otimes E')=c_{1}(E)\operatorname {rank} (E')+\operatorname {rank} (E)c_{1}(E').}$

Наконец, Черн персонаж из E дан кем-то

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=[\operatorname {tr} (e^{-\Omega /2\pi i})]\in H^{*}(M,\mathbb {Q} )}$

куда ${\displaystyle \Omega }$ форма кривизны некоторой связности на E (поскольку ${\displaystyle \Omega }$ нильпотентен, это многочлен от ${\displaystyle \Omega }$.) Тогда ch является кольцевой гомоморфизм:

${\displaystyle \operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F),\,\operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname {ch} (E)\operatorname {ch} (F).}$

Теперь предположим, что в каком-то кольце р содержащее кольцо когомологий ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {C} )}$, происходит факторизация полинома от т:

${\displaystyle c_{t}(E)=\prod _{j=0}^{n}(1+\lambda _{j}t)}$

куда ${\displaystyle \lambda _{j}}$ находятся в р (их иногда называют корнями Черна.) Тогда ${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}}$.

Пример: классы Понтрягина

Если E является гладким вещественным векторным расслоением на многообразии M, то k-й Понтрягин класс из E дается как:

${\displaystyle p_{k}(E)=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M;\mathbb {Z} )}$

где мы написали ${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }$ для комплексирование из E. Эквивалентно, это образ при гомоморфизме Черна – Вейля инвариантного полинома ${\displaystyle g_{2k}}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$ предоставлено:

${\displaystyle \operatorname {det} \left(I-t{x \over 2\pi }\right)=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)t^{k}.}$

Гомоморфизм голоморфных векторных расслоений

Позволять E быть голоморфное (комплексное) векторное расслоение на комплексном многообразии M. Форма кривизны ${\displaystyle \Omega }$ из Eотносительно некоторой эрмитовой метрики является не просто 2-формой, а фактически (1, 1) -формой (см. голоморфное векторное расслоение # эрмитовы метрики на голоморфном векторном расслоении ). Следовательно, гомоморфизм Черна – Вейля принимает вид: с ${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$,

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}\to H^{k,k}(M;\mathbb {C} ),f\mapsto [f(\Omega )].}$

Примечания

1. Кобаяси-Номидзу 1969, Гл. XII. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFKobayashi-Nomizu1969 (помощь)
2. Аргумент в пользу независимости от выбора связи здесь взят из: Ахил Мэтью, Заметки об исчезновении Кодайры. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-12-17. Получено 2014-12-11.. Кобаяси-Номидзу, основная ссылка, дает более конкретный аргумент.
3. От редакции: это определение согласуется со ссылкой, за исключением того, что т, который т ⁻¹ там. Наш выбор кажется более стандартным и согласуется с нашим "Черн класс " статья.
4. Доказательство: по определению ${\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}(s\otimes s')=\nabla ^{E}s\otimes s'+s\otimes \nabla ^{E'}s'}$. Теперь вычислите квадрат ${\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}}$ используя правило Лейбница.

Рекомендации

• Ботт, Рауль (1973), "О гомоморфизме Черна – Вейля и непрерывных когомологиях групп Ли", Успехи в математике, 11 (3): 289–303, Дои:10.1016/0001-8708(73)90012-1.
• Черн, Шиинг-Шэнь (1951), Темы по дифференциальной геометрии, Институт перспективных исследований, конспекты лекций на мимеографе.
• Черн, Шиинг-Шэнь (1995), Комплексные многообразия без теории потенциала, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90422-0, ISBN  3-540-90422-0. (Приложение к этой книге «Геометрия характеристических классов» представляет собой очень аккуратное и глубокое введение в развитие идей характеристических классов.)
• Черн, Шиинг-Шэнь; Саймонс, Джеймс (1974), «Характерные формы и геометрические инварианты», Анналы математики, Вторая серия, 99 (1): 48–69, Дои:10.2307/1971013, JSTOR  1971013.
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1963), Основы дифференциальной геометрии. 2 (новая редакция), Wiley-Interscience (опубликовано в 2004 г.), МИСТЕР  0152974.
• Нарасимхан, М.С.; Раманан, С. (1961), «Наличие универсальных связей» (PDF), Американский журнал математики, 83 (3): 563–572, Дои:10.2307/2372896, HDL:10338.dmlcz / 700905, JSTOR  2372896, МИСТЕР  0133772.
• Морита, Шигеюки (2000), "Геометрия дифференциальных форм", Переводы математических монографий, 201, МИСТЕР  1851352.

дальнейшее чтение

• Фрид, Дэниел С.; Хопкинс, Майкл Дж. (2013). "Формы Черна-Вейля и абстрактная теория гомотопий". Бюллетень Американского математического общества. (Н.С.). 50 (3): 431–468. arXiv:1301.5959. Дои:10.1090 / S0273-0979-2013-01415-0. МИСТЕР  3049871.