Простая постоянная - Prime constant

Не путать с Двойная простая постоянная Харди – Литтлвуда или же Двойная простая постоянная Бруна.

В простая константа это настоящий номер ${\displaystyle \rho }$ чей ${\displaystyle n}$-я двоичная цифра равна 1, если ${\displaystyle n}$ является основной и 0, если п является составной или 1.

Другими словами, ${\displaystyle \rho }$ просто число, чье двоичное расширение соответствует индикаторная функция из набора простые числа. То есть,

${\displaystyle \rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}}$

куда ${\displaystyle p}$ указывает на штрих и ${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$ - характеристическая функция простых чисел.

Начало десятичного разложения ρ является: ${\displaystyle \rho =0.414682509851111660248109622\ldots }$ (последовательность A051006 в OEIS )

Начало двоичного раскрытия: ${\displaystyle \rho =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}}$ (последовательность A010051 в OEIS )

Иррациональность

Номер ${\displaystyle \rho }$ легко показать, чтобы быть иррациональный. Чтобы понять почему, предположим, что это было рационально.

Обозначим ${\displaystyle k}$-я цифра двоичного разложения ${\displaystyle \rho }$ к ${\displaystyle r_{k}}$. Тогда, поскольку ${\displaystyle \rho }$ считается рациональным, должно существовать ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle k}$ положительные целые числа такие, что${\displaystyle r_{n}=r_{n+ik}}$ для всех ${\displaystyle n>N}$ и все ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$.

Поскольку существует бесконечное количество простых чисел, мы можем выбрать простое число ${\displaystyle p>N}$. По определению мы видим, что ${\displaystyle r_{p}=1}$. Как уже отмечалось, у нас есть ${\displaystyle r_{p}=r_{p+ik}}$ для всех ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$. Теперь рассмотрим случай ${\displaystyle i=p}$. У нас есть ${\displaystyle r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0}$, поскольку ${\displaystyle p(k+1)}$ составной, потому что ${\displaystyle k+1\geq 2}$. С ${\displaystyle r_{p}\neq r_{p(k+1)}}$ Мы видим, что ${\displaystyle \rho }$ иррационально.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Prime Constant". MathWorld.