Теорема Брунса - Bruns theorem - Wikipedia

Сходимость к постоянной Бруна.

В теория чисел, Теорема Бруна заявляет, что сумма взаимные из простые числа-близнецы (пара простые числа которые отличаются на 2) сходится до конечного значения, известного как Постоянная Бруна, обычно обозначаемый B₂ (последовательность A065421 в OEIS ). Теорема Бруна была доказана Вигго Брун в 1919 году, и это имеет историческое значение в введении ситовые методы.

Асимптотические оценки простых чисел-близнецов

Сходимость суммы обратных простых чисел-близнецов следует из оценок плотность последовательности простых чисел-близнецов. ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ обозначить количество простые числа п ≤ Икс для которого п + 2 также простое (т.е. ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ это количество простых чисел-близнецов, меньшее из которых не более Икс). Тогда для Икс ≥ 3 имеем

${\displaystyle \pi _{2}(x)=O\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right).}$

То есть простые числа-близнецы встречаются реже простых чисел почти в логарифмическом множителе. Из этой границы следует, что сумма обратных чисел простых чисел-близнецов сходится, или, другими словами, простые числа-близнецы образуют небольшой набор. В явном виде сумма

${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$

либо имеет конечное количество членов, либо имеет бесконечно много членов, но сходится: его значение известно как константа Бруна.

Если бы сумма расходилась, то этот факт означал бы, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов. Поскольку вместо этого сумма обратных чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно сделать вывод, что существует конечное или бесконечно много простых чисел-близнецов. Константа Бруна могла быть иррациональный номер только если простых чисел-близнецов бесконечно много.

Численные оценки

Ряд сходится крайне медленно. Томас Найсли отмечает, что после суммирования первого миллиарда (10⁹), относительная погрешность все еще составляет более 5%.^[1]

Вычисляя простые числа-близнецы до 10¹⁴ (и открывая Ошибка Pentium FDIV попутно). По точной эвристической оценке константа Бруна равна 1,902160578.^[1] Найсли расширил свои вычисления до 1,6×10¹⁵ по состоянию на 18 января 2010 г., но это не самое крупное вычисление такого типа.

В 2002, Паскаль Себах и Патрик Демичел использованы все двойные простые числа до 10¹⁶ дать оценку^[2] который B₂ ≈ 1,902160583104. Следовательно,

Год	B2	# близнецов используемые простые числа	к
1976	1.902160540	1×1011	Brent
1996	1.902160578	1×1014	Мило
2002	1.902160583104	1×1016	Себах и Демишель

Последнее основано на экстраполяции суммы 1,830484424658 ... для простых чисел-близнецов меньше 10¹⁶. Доминик Клив условно показал (в неопубликованной диссертации), что B₂ <2,1754 (в предположении расширенная гипотеза Римана ). Безоговорочно показано, что B₂ < 2.347.^[3]

Также есть Константа Бруна для простых четверок. А простая четверка представляет собой пару двух простых пар близнецов, разделенных расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Первые простые четверки - это (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для простых четверок, обозначаемая B₄, является суммой обратных чисел всех простых четверок:

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

со значением:

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, диапазон ошибок имеет уровень достоверности 99% согласно Nicely.^[1]

Эту константу не следует путать с Постоянная Бруна для кузен простые, как простые пары вида (п, п + 4), который также записывается как B₄. Вольф получил оценку сумм типа Бруна B_п из 4 /п.

Дальнейшие результаты

Позволять ${\displaystyle C_{2}=0.6601\ldots }$ (последовательность A005597 в OEIS ) быть двойная простая константа. Тогда предполагается, что

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

Особенно,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

для каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и все достаточно большие Икс.

Доказано множество частных случаев перечисленного. Совсем недавно Цзе Ву доказал, что для достаточно больших Икс,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<4.5{\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

где 4,5 соответствует ${\displaystyle \varepsilon \approx 3.18}$ в приведенном выше.

В популярной культуре

Цифры константы Бруна использовались при ставке 1 902 160 540 долларов в Nortel патентный аукцион. Ставка была размещена Google и была одной из трех ставок Google, основанных на математических константах.^[4]

Смотрите также

• Расхождение суммы обратных простых чисел
• Константа Мейселя – Мертенса

Примечания

1. Хорошо, Томас Р. (18 января 2010 г.). "Перечисление 1,6 * 10 ^ 15 простых чисел-близнецов и константы Бруна". Некоторые результаты вычислительных исследований простых чисел (вычислительная теория чисел). Архивировано из оригинал 8 декабря 2013 г.. Получено 16 февраля 2010.
2. Себах, Паскаль; Гурдон, Ксавье. «Введение в простые числа-близнецы и постоянное вычисление Бруна». CiteSeerX  10.1.1.464.1118.
3. Кливе, Доминик. «Явные оценки простых чисел-близнецов и константы Бруна». Получено 13 мая 2015.
4. Дамуни, Надя (1 июля 2011 г.). "Dealtalk: Google сделал ставку" пи "за патенты Nortel и проиграл". Рейтер. Получено 6 июля 2011.

Рекомендации

• Брун, Вигго (1915). "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare". Архив для Mathematik og Naturvidenskab. B34 (8).
• Брун, Вигго (1919). "Серия 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ..., o les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie ". Bulletin des Sciences Mathématiques (На французском). 43: 100–104, 124–128.
• Кожокару, Алина Кармен; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение. Тексты студентов Лондонского математического общества. 66. Издательство Кембриджского университета. С. 73–74. ISBN  0-521-61275-6.
• Ландау, Э. (1927). Elementare Zahlentheorie. Лейпциг, Германия: Hirzel. Перепечатано Providence, RI: Amer. Математика. Soc., 1990.
• Левек, Уильям Джадсон (1996). Основы теории чисел. Нью-Йорк: Dover Publishing. С. 1–288. ISBN  0-486-68906-9. Содержит более современное доказательство.
• Ву Дж. (2004 г.) [24 сентября 2007 г.]. «Двойное сито Чена, гипотеза Гольдбаха и проблема двойного простого числа». Acta Arithmetica. 114 (3): 215–273. arXiv:0705.1652. Bibcode:2004AcAri.114..215W. Дои:10.4064 / aa114-3-2.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Константа Бруна". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Бруна». MathWorld.
• Постоянная Бруна в PlanetMath.
• Себах, Паскаль и Ксавье Гурдон, Введение в простые числа-близнецы и вычисление констант Бруна, 2002. Современное детальное исследование.
• Статья Вольфа о суммах типа Бруна