Плотность Шнирельмана - Schnirelmann density - Wikipedia
В аддитивная теория чисел, то Плотность Шнирельмана из последовательность чисел - это способ измерить, насколько «плотная» последовательность. Он назван в честь русский математик Лев Шнирельманн, который первым его изучил.[1][2]
Определение
В Плотность Шнирельмана набора натуральные числа А определяется как
куда А(п) обозначает количество элементов А не превышающий п и inf это инфимум.[3]
Плотность Шнирельмана хорошо определена, даже если предел А(п)/п в качестве п → ∞ не существует (см. верхняя и нижняя асимптотическая плотность ).
Характеристики
По определению, 0 ≤ А(п) ≤ n и п σА ≤ А(п) для всех п, и поэтому 0 ≤ σА ≤ 1, и σА = 1 если и только если А = N. Более того,
Чувствительность
Плотность Шнирельмана чувствительна к первым значениям набора:
- .
Особенно,
и
Следовательно, плотности Шнирельмана для четных и нечетных чисел, с которыми можно было бы согласиться, равны 0 и 1/2 соответственно. Шнирельманн и Юрий Линник использовали эту чувствительность, как мы увидим.
Теоремы Шнирельмана
Если мы установим , тогда Теорема Лагранжа о четырех квадратах можно переформулировать как . (Здесь символ обозначает сумма из и .) Ясно, что . На самом деле у нас все еще есть , и можно спросить, в какой момент совокупность достигает плотности Шнирельмана 1 и как она увеличивается. На самом деле это тот случай, когда и видно, что суммирование снова дает более многочисленный набор, а именно все . Шнирельману далее удалось развить эти идеи в следующих теоремах, направленных на аддитивную теорию чисел и доказав, что они являются новым ресурсом (если не очень мощным) для решения важных проблем, таких как Проблема Варинга и Гипотеза Гольдбаха.
Теорема. Позволять и быть подмножествами . потом
Обратите внимание, что . Индуктивно мы имеем следующее обобщение.
Следствие. Позволять конечное семейство подмножеств . потом
Теорема дает первое представление о том, как накапливаются суммы. Кажется досадным, что его вывод не показывает существование супераддитив. Тем не менее, Шнирельманн предоставил нам следующие результаты, которых было достаточно для большинства его целей.
Теорема. Позволять и быть подмножествами . Если , тогда
Теорема. (Шнирельманн) Позволять . Если тогда существует такой, что
Аддитивные основы
Подмножество со свойством, что для конечной суммы называется аддитивная основа, а наименьшее количество требуемых слагаемых называется степень (иногда порядок) основания. Таким образом, последняя теорема утверждает, что любое множество с положительной плотностью Шнирельмана является аддитивным базисом. В этой терминологии набор квадратов является аддитивным базисом степени 4. (Об открытой задаче для аддитивных баз см. Гипотеза Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях.)
Теорема Манна
Исторически вышеприведенные теоремы были указателями на следующий результат, когда-то известный как гипотеза. Он использовался Эдмунд Ландау и было окончательно доказано Генри Манн в 1942 г.
Теорема. (Манн 1942 ) Позволять и быть подмножествами . В случае, если , У нас все еще есть
Аналог этой теоремы для нижней асимптотической плотности был получен Кнезером.[4] Впоследствии, Э. Артин и П. Шерк упростили доказательство теоремы Манна.[5]
Проблема Варинга
Позволять и быть натуральными числами. Позволять . Определять быть числом неотрицательных интегральных решений уравнения
и быть числом неотрицательных интегральных решений неравенства
в переменных , соответственно. Таким образом . У нас есть
Объем -мерное тело, определяемое , ограничена объемом гиперкуба размера , следовательно . Сложнее всего показать, что эта граница в среднем работает, т. Е.
Лемма. (Линник) Для всех Существует и постоянный , в зависимости только от , так что для всех ,
для всех
Имея это под рукой, можно элегантно доказать следующую теорему.
Теорема. Для всех Существует для которого .
Таким образом, мы установили общее решение проблемы Варинга:
Следствие. (Гильберт 1909 ) Для всех Существует , в зависимости только от , такие что каждое положительное целое число можно выразить как сумму не более чем много -ые степени.
Постоянная Шнирельмана
В 1930 году Шнирельманн использовал эти идеи в сочетании с Сито Бруна чтобы доказать Теорема Шнирельмана,[1][2] что любой натуральное число больше 1 можно записать как сумму не более C простые числа, куда C эффективно вычислимая константа:[6] Шнирельманн получил C < 800000.[7] Постоянная Шнирельмана это наименьшее число C с этим свойством.[6]
Оливье Рамаре показано в (Рамаре 1995 ), что постоянная Шнирельмана не превосходит 7,[6] улучшение предыдущей верхней оценки 19, полученной Ханс Ризель и Р. К. Воган.
Постоянная Шнирельмана не менее 3; Гипотеза Гольдбаха означает, что это фактическое значение константы.[6]
В 2013, Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу Гольдбаха для всех нечетных чисел. Следовательно, постоянная Шнирельмана не превосходит 4. [8][9][10][11]
Основные компоненты
Хинчин доказал, что последовательность квадратов, хотя и с нулевой плотностью Шнирельмана, при добавлении к последовательности с плотностью Шнирельмана от 0 до 1 увеличивает плотность:
Вскоре это было упрощено и расширено Erds, кто показал, что если А - произвольная последовательность с плотностью Шнирельмана α и B аддитивная основа порядка k тогда
и это было улучшено Plünnecke до
Последовательности с этим свойством с увеличением плотности меньше единицы за счет добавления были названы основные компоненты Хинчина. Линник показал, что существенный компонент не обязательно должен быть аддитивной основой[14] поскольку он построил важный компонент, который Иксо (1) элементы меньше чемИкс. Точнее, последовательность имеет
элементы меньше чем Икс для некоторых c <1. Это было улучшено Э. Вирсинг к
Какое-то время оставалась открытой проблема, сколько элементов должен иметь важный компонент. Ну наконец то, Ружа определили, что важный компонент имеет не менее (logИкс)c элементы до Икс, для некоторых c > 1, и для каждого c > 1 есть существенный компонент, который имеет не более (logИкс)c элементы доИкс.[15]
Рекомендации
- ^ а б Шнирельманн, Л. (1930). "Об аддитивных свойствах чисел », впервые опубликовано в« Известиях Донского политехнического института в Новочеркасске », т. XIV (1930), с. 3-27, и перепечатано в «Успехах математических наук», 1939, вып. 6, 9–25.
- ^ а б Шнирельманн, Л. (1933). Впервые опубликовано как "Убер-добавка Eigenschaften von Zahlen "в" Mathematische Annalen "(на немецком языке), том 107 (1933), 649-690, и перепечатано как "Об аддитивных свойствах чисел "в" Успехине. Математических наук, 1940, № 7, 7–46.
- ^ Натансон (1996), стр.191–192
- ^ Натансон (1990) стр.397
- ^ Э. Артин и П. Шерк (1943) О суммах двух наборов целых чисел, Ann. по математике 44, стр. = 138-142.
- ^ а б c d Натансон (1996) стр.208
- ^ Гельфонд и Линник (1966) с.136.
- ^ Хельфготт, Харальд А. (2013). «Основные дуги теоремы Гольдбаха». arXiv:1305.2897 [math.NT ].
- ^ Хельфготт, Харальд А. (2012). «Незначительные дуги к проблеме Гольдбаха». arXiv:1205.5252 [math.NT ].
- ^ Хельфготт, Харальд А. (2013). «Тройная гипотеза Гольдбаха верна». arXiv:1312.7748 [math.NT ].
- ^ Хельфгут, Харальд А. (2015). «Тернарная проблема Гольдбаха». arXiv:1501.05438 [math.NT ].
- ^ Ружа (2009) с.177
- ^ Ружа (2009) с.179
- ^ Линник, Ю. В. (1942). «О теореме Эрдёша о сложении числовых последовательностей». Мат. Сб. 10: 67–78. Zbl 0063.03574.
- ^ Ружа (2009) с.184
- Гильберт, Дэвид (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl пter Potenzen (Проблема Waringsches) ". Mathematische Annalen. 67 (3): 281–300. Дои:10.1007 / BF01450405. ISSN 0025-5831. МИСТЕР 1511530.CS1 maint: ref = harv (связь)
- Шнирельманн, Л. (1930). «Об аддитивных свойствах чисел». Анна. Inst. Политехн. Новочеркасск (на русском). 14: 3–28. JFM 56.0892.02.CS1 maint: ref = harv (связь)
- Шнирельманн, Л. (1933). «Убер-добавка Eigenschaften von Zahlen». Математика. Анна. (на немецком). 107: 649–690. Дои:10.1007 / BF01448914. Zbl 0006.10402.CS1 maint: ref = harv (связь)
- Манн, Генри Б. (1942). «Доказательство основной теоремы о плотности сумм множеств натуральных чисел». Анналы математики. Вторая серия. 43 (3): 523–527. Дои:10.2307/1968807. ISSN 0003-486X. JSTOR 1968807. МИСТЕР 0006748. Zbl 0061.07406.CS1 maint: ref = harv (связь)
- Гельфонд, А.; Линник, Ю. В. (1966). Л.Дж. Морделл (ред.). Элементарные методы аналитической теории чисел. Джордж Аллен и Анвин.
- Манн, Генри Б. (1976). Теоремы сложения: теоремы сложения теории групп и теории чисел (Исправленное переиздание изд. Wiley 1965 г.). Хантингтон, Нью-Йорк: Издательство Роберта Э. Кригера. ISBN 978-0-88275-418-5. МИСТЕР 0424744. Внешняя ссылка в
| publisher =
(помощь)CS1 maint: ref = harv (связь) - Натансон, Мелвин Б. (1990). «Наилучшие результаты по плотности сумм». В Берндт, Брюс С.; Diamond, Harold G .; Хальберштам, Хайни; и другие. (ред.). Аналитическая теория чисел. Материалы конференции в честь Пола Т. Бейтмана, состоявшейся 25-27 апреля 1989 г. в Университете Иллинойса, Урбана, Иллинойс (США). Успехи в математике. 85. Бостон: Биркхойзер. С. 395–403. ISBN 978-0-8176-3481-0. Zbl 0722.11007.CS1 maint: ref = harv (связь)
- Рамаре, О. (1995). "О постоянной Шнирельмана". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Серия IV. 22 (4): 645–706. Zbl 0851.11057. Получено 2011-03-28.CS1 maint: ref = harv (связь)
- Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы. Тексты для выпускников по математике. 164. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94656-6. Zbl 0859.11002.
- Натансон, Мелвин Б. (2000). Элементарные методы в теории чисел. Тексты для выпускников по математике. 195. Springer-Verlag. С. 359–367. ISBN 978-0-387-98912-9. Zbl 0953.11002.
- Хинчин, А.Я. (1998). Три жемчужины теории чисел. Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-40026-6.CS1 maint: ref = harv (связь) Имеет доказательство теоремы Манна и доказательство плотности Шнирельмана гипотезы Варинга.
- Артин, Эмиль; Щерк, П. (1943). «О суммах двух целых чисел». Анна. математики. 44: 138–142. Цитировать журнал требует
| журнал =
(помощь) - Кожокару, Алина Кармен; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение. Тексты студентов Лондонского математического общества. 66. Издательство Кембриджского университета. С. 100–105. ISBN 978-0-521-61275-3.
- Ружа, Имре З. (2009). «Суммы и структура». В Герольдингере, Альфред; Ружа, Имре З. (ред.). Комбинаторная теория чисел и аддитивная теория групп. Продвинутые курсы математики CRM Барселона. Elsholtz, C .; Freiman, G .; Hamidoune, Y. O .; Hegyvári, N .; Károlyi, G .; Натансон, М .; Солимози, Дж.; Станческу Ю. С предисловием Хавьера Чиллеруэло, Марка Ноя и Ориола Серры (координаторов DocCourse). Базель: Биркхойзер. стр.87 –210. ISBN 978-3-7643-8961-1. Zbl 1221.11026.CS1 maint: ref = harv (связь)