Плотность Шнирельмана - Schnirelmann density - Wikipedia

В аддитивная теория чисел, то Плотность Шнирельмана из последовательность чисел - это способ измерить, насколько «плотная» последовательность. Он назван в честь русский математик Лев Шнирельманн, который первым его изучил.^[1][2]

Определение

В Плотность Шнирельмана набора натуральные числа А определяется как

${\displaystyle \sigma A=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}},}$

куда А(п) обозначает количество элементов А не превышающий п и inf это инфимум.^[3]

Плотность Шнирельмана хорошо определена, даже если предел А(п)/п в качестве п → ∞ не существует (см. верхняя и нижняя асимптотическая плотность ).

Характеристики

По определению, 0 ≤ А(п) ≤ n и п σА ≤ А(п) для всех п, и поэтому 0 ≤ σА ≤ 1, и σА = 1 если и только если А = N. Более того,

${\displaystyle \sigma A=0\Rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n.}$

Чувствительность

Плотность Шнирельмана чувствительна к первым значениям набора:

${\displaystyle \forall k\ k\notin A\Rightarrow \sigma A\leq 1-1/k}$.

Особенно,

${\displaystyle 1\notin A\Rightarrow \sigma A=0}$

и

${\displaystyle 2\notin A\Rightarrow \sigma A\leq {\frac {1}{2}}.}$

Следовательно, плотности Шнирельмана для четных и нечетных чисел, с которыми можно было бы согласиться, равны 0 и 1/2 соответственно. Шнирельманн и Юрий Линник использовали эту чувствительность, как мы увидим.

Теоремы Шнирельмана

Если мы установим ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$, тогда Теорема Лагранжа о четырех квадратах можно переформулировать как ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=1}$. (Здесь символ ${\displaystyle A\oplus B}$ обозначает сумма из ${\displaystyle A\cup \{0\}}$ и ${\displaystyle B\cup \{0\}}$.) Ясно, что ${\displaystyle \sigma {\mathfrak {G}}^{2}=0}$. На самом деле у нас все еще есть ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=0}$, и можно спросить, в какой момент совокупность достигает плотности Шнирельмана 1 и как она увеличивается. На самом деле это тот случай, когда ${\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=5/6}$ и видно, что суммирование ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}}$ снова дает более многочисленный набор, а именно все ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Шнирельману далее удалось развить эти идеи в следующих теоремах, направленных на аддитивную теорию чисел и доказав, что они являются новым ресурсом (если не очень мощным) для решения важных проблем, таких как Проблема Варинга и Гипотеза Гольдбаха.

Теорема. Позволять ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ быть подмножествами ${\displaystyle \mathbb {N} }$. потом

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B.}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B=1-(1-\sigma A)(1-\sigma B)}$. Индуктивно мы имеем следующее обобщение.

Следствие. Позволять ${\displaystyle A_{i}\subseteq \mathbb {N} }$ конечное семейство подмножеств ${\displaystyle \mathbb {N} }$. потом

${\displaystyle \sigma (\bigoplus _{i}A_{i})\geq 1-\prod _{i}(1-\sigma A_{i}).}$

Теорема дает первое представление о том, как накапливаются суммы. Кажется досадным, что его вывод не показывает ${\displaystyle \sigma }$ существование супераддитив. Тем не менее, Шнирельманн предоставил нам следующие результаты, которых было достаточно для большинства его целей.

Теорема. Позволять ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ быть подмножествами ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Если ${\displaystyle \sigma A+\sigma B\geq 1}$, тогда

${\displaystyle A\oplus B=\mathbb {N} .}$

Теорема. (Шнирельманн) Позволять ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$. Если ${\displaystyle \sigma A>0}$ тогда существует ${\displaystyle k}$ такой, что

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{k}A=\mathbb {N} .}$

Аддитивные основы

Подмножество ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ со свойством, что ${\displaystyle A\oplus A\oplus \cdots \oplus A=\mathbb {N} }$ для конечной суммы называется аддитивная основа, а наименьшее количество требуемых слагаемых называется степень (иногда порядок) основания. Таким образом, последняя теорема утверждает, что любое множество с положительной плотностью Шнирельмана является аддитивным базисом. В этой терминологии набор квадратов ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }}$ является аддитивным базисом степени 4. (Об открытой задаче для аддитивных баз см. Гипотеза Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях.)

Теорема Манна

Исторически вышеприведенные теоремы были указателями на следующий результат, когда-то известный как ${\displaystyle \alpha +\beta }$ гипотеза. Он использовался Эдмунд Ландау и было окончательно доказано Генри Манн в 1942 г.

Теорема. (Манн 1942 ) Позволять ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ быть подмножествами ${\displaystyle \mathbb {N} }$. В случае, если ${\displaystyle A\oplus B\neq \mathbb {N} }$, У нас все еще есть

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B.}$

Аналог этой теоремы для нижней асимптотической плотности был получен Кнезером.^[4] Впоследствии, Э. Артин и П. Шерк упростили доказательство теоремы Манна.^[5]

Проблема Варинга

Основная статья: Проблема Варинга

Позволять ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle N}$ быть натуральными числами. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }}$. Определять ${\displaystyle r_{N}^{k}(n)}$ быть числом неотрицательных интегральных решений уравнения

${\displaystyle x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}=n}$

и ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)}$ быть числом неотрицательных интегральных решений неравенства

${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n,}$

в переменных ${\displaystyle x_{i}}$, соответственно. Таким образом ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)}$. У нас есть

• ${\displaystyle r_{N}^{k}(n)>0\leftrightarrow n\in N{\mathfrak {G}}^{k},}$
• ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)\geq \left({\frac {n}{N}}\right)^{\frac {N}{k}}.}$

Объем ${\displaystyle N}$-мерное тело, определяемое ${\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n}$, ограничена объемом гиперкуба размера ${\displaystyle n^{1/k}}$, следовательно ${\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)\leq n^{N/k}}$. Сложнее всего показать, что эта граница в среднем работает, т. Е.

Лемма. (Линник) Для всех ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ Существует ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ и постоянный ${\displaystyle c=c(k)}$, в зависимости только от ${\displaystyle k}$, так что для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$,

${\displaystyle r_{N}^{k}(m)<cn^{{\frac {N}{k}}-1}}$

для всех ${\displaystyle 0\leq m\leq n.}$

Имея это под рукой, можно элегантно доказать следующую теорему.

Теорема. Для всех ${\displaystyle k}$ Существует ${\displaystyle N}$ для которого ${\displaystyle \sigma (N{\mathfrak {G}}^{k})>0}$.

Таким образом, мы установили общее решение проблемы Варинга:

Следствие. (Гильберт 1909 ) Для всех ${\displaystyle k}$ Существует ${\displaystyle N}$, в зависимости только от ${\displaystyle k}$, такие что каждое положительное целое число ${\displaystyle n}$ можно выразить как сумму не более чем ${\displaystyle N}$ много ${\displaystyle k}$-ые степени.

Постоянная Шнирельмана

В 1930 году Шнирельманн использовал эти идеи в сочетании с Сито Бруна чтобы доказать Теорема Шнирельмана,^[1][2] что любой натуральное число больше 1 можно записать как сумму не более C простые числа, куда C эффективно вычислимая константа:^[6] Шнирельманн получил C < 800000.^[7] Постоянная Шнирельмана это наименьшее число C с этим свойством.^[6]

Оливье Рамаре показано в (Рамаре 1995 ), что постоянная Шнирельмана не превосходит 7,^[6] улучшение предыдущей верхней оценки 19, полученной Ханс Ризель и Р. К. Воган.

Постоянная Шнирельмана не менее 3; Гипотеза Гольдбаха означает, что это фактическое значение константы.^[6]

В 2013, Харальд Хельфготт доказал слабую гипотезу Гольдбаха для всех нечетных чисел. Следовательно, постоянная Шнирельмана не превосходит 4. ^{[8][9][10][11]}

Основные компоненты

Хинчин доказал, что последовательность квадратов, хотя и с нулевой плотностью Шнирельмана, при добавлении к последовательности с плотностью Шнирельмана от 0 до 1 увеличивает плотность:

${\displaystyle \sigma (A+{\mathfrak {G}}^{2})>\sigma (A){\text{ for }}0<\sigma (A)<1.}$

Вскоре это было упрощено и расширено Erds, кто показал, что если А - произвольная последовательность с плотностью Шнирельмана α и B аддитивная основа порядка k тогда

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha +{\frac {\alpha (1-\alpha )}{2k}}\,,}$^[12]

и это было улучшено Plünnecke до

${\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha ^{1-{\frac {1}{k}}}\ .}$^[13]

Последовательности с этим свойством с увеличением плотности меньше единицы за счет добавления были названы основные компоненты Хинчина. Линник показал, что существенный компонент не обязательно должен быть аддитивной основой^[14] поскольку он построил важный компонент, который Икс^{о (1)} элементы меньше чемИкс. Точнее, последовательность имеет

${\displaystyle e^{(\log x)^{c}}}$

элементы меньше чем Икс для некоторых c <1. Это было улучшено Э. Вирсинг к

${\displaystyle e^{{\sqrt {\log x}}\log \log x}.}$

Какое-то время оставалась открытой проблема, сколько элементов должен иметь важный компонент. Ну наконец то, Ружа определили, что важный компонент имеет не менее (logИкс)^c элементы до Икс, для некоторых c > 1, и для каждого c > 1 есть существенный компонент, который имеет не более (logИкс)^c элементы доИкс.^[15]

Рекомендации

1. Шнирельманн, Л. (1930). "Об аддитивных свойствах чисел », впервые опубликовано в« Известиях Донского политехнического института в Новочеркасске », т. XIV (1930), с. 3-27, и перепечатано в «Успехах математических наук», 1939, вып. 6, 9–25.
2. Шнирельманн, Л. (1933). Впервые опубликовано как "Убер-добавка Eigenschaften von Zahlen "в" Mathematische Annalen "(на немецком языке), том 107 (1933), 649-690, и перепечатано как "Об аддитивных свойствах чисел "в" Успехине. Математических наук, 1940, № 7, 7–46.
3. Натансон (1996), стр.191–192
4. Натансон (1990) стр.397
5. Э. Артин и П. Шерк (1943) О суммах двух наборов целых чисел, Ann. по математике 44, стр. = 138-142.
6. Натансон (1996) стр.208
7. Гельфонд и Линник (1966) с.136.
8. Хельфготт, Харальд А. (2013). «Основные дуги теоремы Гольдбаха». arXiv:1305.2897 [math.NT ].
9. Хельфготт, Харальд А. (2012). «Незначительные дуги к проблеме Гольдбаха». arXiv:1205.5252 [math.NT ].
10. Хельфготт, Харальд А. (2013). «Тройная гипотеза Гольдбаха верна». arXiv:1312.7748 [math.NT ].
11. Хельфгут, Харальд А. (2015). «Тернарная проблема Гольдбаха». arXiv:1501.05438 [math.NT ].
12. Ружа (2009) с.177
13. Ружа (2009) с.179
14. Линник, Ю. В. (1942). «О теореме Эрдёша о сложении числовых последовательностей». Мат. Сб. 10: 67–78. Zbl  0063.03574.
15. Ружа (2009) с.184

• Гильберт, Дэвид (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl пter Potenzen (Проблема Waringsches) ". Mathematische Annalen. 67 (3): 281–300. Дои:10.1007 / BF01450405. ISSN  0025-5831. МИСТЕР  1511530.
• Шнирельманн, Л. (1930). «Об аддитивных свойствах чисел». Анна. Inst. Политехн. Новочеркасск (на русском). 14: 3–28. JFM  56.0892.02.
• Шнирельманн, Л. (1933). «Убер-добавка Eigenschaften von Zahlen». Математика. Анна. (на немецком). 107: 649–690. Дои:10.1007 / BF01448914. Zbl  0006.10402.
• Манн, Генри Б. (1942). «Доказательство основной теоремы о плотности сумм множеств натуральных чисел». Анналы математики. Вторая серия. 43 (3): 523–527. Дои:10.2307/1968807. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968807. МИСТЕР  0006748. Zbl  0061.07406.
• Гельфонд, А.; Линник, Ю. В. (1966). Л.Дж. Морделл (ред.). Элементарные методы аналитической теории чисел. Джордж Аллен и Анвин.
• Манн, Генри Б. (1976). Теоремы сложения: теоремы сложения теории групп и теории чисел (Исправленное переиздание изд. Wiley 1965 г.). Хантингтон, Нью-Йорк: Издательство Роберта Э. Кригера. ISBN  978-0-88275-418-5. МИСТЕР  0424744. Внешняя ссылка в | publisher = (помощь)
• Натансон, Мелвин Б. (1990). «Наилучшие результаты по плотности сумм». В Берндт, Брюс С.; Diamond, Harold G .; Хальберштам, Хайни; и другие. (ред.). Аналитическая теория чисел. Материалы конференции в честь Пола Т. Бейтмана, состоявшейся 25-27 апреля 1989 г. в Университете Иллинойса, Урбана, Иллинойс (США). Успехи в математике. 85. Бостон: Биркхойзер. С. 395–403. ISBN  978-0-8176-3481-0. Zbl  0722.11007.
• Рамаре, О. (1995). "О постоянной Шнирельмана". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze. Серия IV. 22 (4): 645–706. Zbl  0851.11057. Получено 2011-03-28.
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы. Тексты для выпускников по математике. 164. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-94656-6. Zbl  0859.11002.
• Натансон, Мелвин Б. (2000). Элементарные методы в теории чисел. Тексты для выпускников по математике. 195. Springer-Verlag. С. 359–367. ISBN  978-0-387-98912-9. Zbl  0953.11002.
• Хинчин, А.Я. (1998). Три жемчужины теории чисел. Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN  978-0-486-40026-6. Имеет доказательство теоремы Манна и доказательство плотности Шнирельмана гипотезы Варинга.
• Артин, Эмиль; Щерк, П. (1943). «О суммах двух целых чисел». Анна. математики. 44: 138–142.
• Кожокару, Алина Кармен; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение. Тексты студентов Лондонского математического общества. 66. Издательство Кембриджского университета. С. 100–105. ISBN  978-0-521-61275-3.
• Ружа, Имре З. (2009). «Суммы и структура». В Герольдингере, Альфред; Ружа, Имре З. (ред.). Комбинаторная теория чисел и аддитивная теория групп. Продвинутые курсы математики CRM Барселона. Elsholtz, C .; Freiman, G .; Hamidoune, Y. O .; Hegyvári, N .; Károlyi, G .; Натансон, М .; Солимози, Дж.; Станческу Ю. С предисловием Хавьера Чиллеруэло, Марка Ноя и Ориола Серры (координаторов DocCourse). Базель: Биркхойзер. стр.87 –210. ISBN  978-3-7643-8961-1. Zbl  1221.11026.