Нормальный номер - Normal number

О значении чисел с плавающей запятой в вычислениях см. нормальное число (вычисление).

В математика, а настоящий номер как говорят просто нормально в целое число основание б^[1] если его бесконечная последовательность цифры распределяется равномерно в том смысле, что каждый из б цифры имеют то же самое естественная плотность  1/б. Число называется нормальный в базе б если для каждого положительного целого числа п, все возможные строки п цифры долго имеют плотностьб^−п.

Интуитивно понятно, что число, являющееся просто нормальным, означает, что никакая цифра не встречается чаще, чем любая другая. Если число является нормальным, никакая конечная комбинация цифр заданной длины не встречается чаще, чем любая другая комбинация такой же длины. Нормальное число можно представить как бесконечную последовательность подбрасываний монеты (двоичный ) или броски кубика (база 6 ). Хотя там буду быть последовательностями, такими как 10, 100 или более последовательных решек (двоичные) или пятерок (основание 6) или даже 10, 100 или более повторений последовательности, такой как хвост-голова (два последовательных подбрасывания монеты) или 6-1 (два последовательных бросков кубика), также будет столько же любой другой последовательности равной длины. Никакая цифра или последовательность не приветствуются.

Число называется абсолютно нормально если это нормально для всех оснований целых чисел больше или равно 2.

Хотя можно дать общее доказательство, что почти все реальные числа нормальны (это означает, что набор ненормальных чисел имеет Мера Лебега нуль),^[2] это доказательство не конструктивный, и только несколько конкретных чисел оказались нормальными. Например, Постоянная Чайтина нормально (и невычислимый ). Широко распространено мнение, что (вычислимые) числа √2, π, и е нормальны, но доказательства остаются неуловимыми.

Определения

Пусть Σ - конечная алфавит из б-цифры и Σ^∞ набор всех последовательности что может быть взято из этого алфавита. Позволять S ∈ Σ^∞ быть такой последовательностью. Для каждого а в Σ пусть N_S(а, п) обозначают, сколько раз цифра а появляется в первом п цифры последовательности S. Мы говорим что S является просто нормально если предел

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(a,n)}{n}}={\frac {1}{b}}}$

для каждого а. Теперь позвольте ш быть любым конечным нить в Σ^∗ и разреши N_S(ш, п) быть количеством раз, когда строка ш появляется как подстрока во-первых п цифры последовательности S. (Например, если S = 01010101 ..., то N_S(010, 8) = 3.) S является нормальный если для всех конечных строк ш ∈ Σ^∗,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N_{S}(w,n)}{n}}={\frac {1}{b^{|w|}}}}$

где |ш | обозначает длину строки ш.Другими словами, S нормально, если все строки одинаковой длины встречаются с равными асимптотический частота. Например, в нормальной двоичной последовательности (последовательность в алфавите {0,1}) 0 и 1 встречаются с частотой ¹⁄₂; 00, 01, 10 и 11 встречаются с частотой ¹⁄₄; 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 и 111 встречаются с частотой ¹⁄₈и др. Грубо говоря, вероятность найти строку ш в любой позиции в S именно то, что ожидалось, если бы последовательность была произведена в случайный.

Предположим теперь, что б является целое число больше 1 и Икс это настоящий номер. Рассмотрим расширение бесконечной последовательности цифр S_{х, б} из Икс в базе б позиционная система счисления (десятичную точку игнорируем). Мы говорим что Икс является просто нормально в базе б если последовательность S_{х, б} просто нормально^[3] и это Икс является нормальный в базе б если последовательность S_{х, б} это нормально.^[4] Число Икс называется нормальный номер (или иногда абсолютно нормальный номер) если это нормально в базе б для каждого целого числа б больше 1.^[5][6]

Данная бесконечная последовательность либо нормальна, либо ненормальна, тогда как действительное число, имеющее другое основание -б расширение для каждого целого числа б ≥ 2, может быть нормальным для одной базы, но не для другой^[7][8] (в этом случае это не нормальное число). Для баз р и s с журналом р / бревно s рациональный (так что р = б^м и s = б^п) каждое число нормальное в базе р это нормально в базе s. Для баз р и s с журналом р / бревно s иррационально, существует несчетное количество нормальных чисел в каждой базе, но нет в другой.^[8]

А дизъюнктивная последовательность представляет собой последовательность, в которой появляется каждая конечная строка. Нормальная последовательность дизъюнктивна, но дизъюнктивная последовательность не обязательно должна быть нормальной. А богатое число в базе б тот, чье расширение по базе б дизъюнктивно:^[9] тот, который дизъюнктивен к каждой базе, называется абсолютно дизъюнктивный или называется лексикон. Число нормальное в базе б богат базой б, но не обязательно наоборот. Реальное число Икс богат базой б тогда и только тогда, когда множество {xb^п мод 1:п ∈ N} является плотный в единичный интервал.^[9][10]

Мы определили число как просто нормальное в базе б если каждая отдельная цифра появляется с частотой 1 /б. Для данной базы б, число может быть просто нормальным (но не нормальным или б-плотный^{[требуется разъяснение ]}), б-плотный (но не просто нормальный или нормальный), нормальный (и, следовательно, просто нормальный и б-dense) или ни одного из них. Число абсолютно ненормально или абсолютно ненормальный если это просто не нормально в любой базе.^[5][11]

Свойства и примеры

Понятие нормального числа было введено Эмиль Борель  (1909 ). С использованием Лемма Бореля – Кантелли., он доказал, что почти все действительные числа являются нормальными, что свидетельствует о существовании нормальных чисел. Вацлав Серпинский  (1917 ) показал, что можно указать конкретный такой номер. Бехер и Фигейра (2002 ) доказал, что существует вычислимый Абсолютно нормальное число. Хотя эта конструкция не дает напрямую цифр построенных чисел, она показывает, что в принципе возможно перечислить все цифры конкретного нормального числа.

Набор ненормальных чисел, несмотря на то, что он "большой" в смысле бесчисленный, также нулевой набор (поскольку его мера Лебега как подмножество действительных чисел равна нулю, поэтому она по существу не занимает места внутри действительных чисел). Кроме того, ненормальные числа (как и нормальные числа) плотны в вещественных числах: набор ненормальных чисел между двумя различными действительными числами не пуст, поскольку он содержит каждое рациональное число (на самом деле это бесчисленное множество^[12] и даже прийти ). Например, существует несчетное количество чисел, десятичные разложения которых (с основанием 3 или выше) не содержат цифры 1, и ни одно из этих чисел не является нормальным.

Постоянная Чамперноуна

0.1234567891011121314151617181920212223242526272829...,

полученный путем конкатенации десятичных представлений натуральные числа по порядку, является нормальным в базе 10. Аналогичным образом, различные варианты константы Шамперноуна (выполненные путем выполнения той же конкатенации в других базах) являются нормальными в своих соответствующих базах (например, константа Шамперноу по основанию 2 является нормальной в базе 2). , но на других базах их нормальность не доказана.

В Константа Коупленда – Эрдеша

0.23571113171923293137414347535961677173798389...,

полученный путем объединения простые числа в базе 10, нормально в базе 10, как доказано А. Х. Коупленд и Пол Эрдёш  (1946 ). В более общем плане последние авторы доказали, что действительное число, представленное в базе б путем конкатенации

0.ж(1)ж(2)ж(3)...,

куда ж(п) это п^th простое число выражено в базе б, нормально в базе б. Безикович  (1935 ) доказал, что число, представленное тем же выражением, с ж(п) = п²,

0.149162536496481100121144...,

полученный путем объединения квадратные числа в базе 10, нормально в базе 10. Гарольд Давенпорт и Эрдеш (1952 ) доказал, что число, представленное тем же выражением, с ж будучи любым непостоянным многочленом, значения положительных целых чисел которого являются положительными целыми числами, выраженными в базе 10, является нормальным в основе 10.

Накаи и Сиокава (1992 ) доказал, что если ж(Икс) - любая непостоянная многочлен с действительными коэффициентами такими, что ж(Икс)> 0 для всех Икс > 0, то действительное число, представленное конкатенацией

0.[ж(1)][ж(2)][ж(3)]...,

где [ж(п)] это целая часть из ж(п) выражается в базе б, нормально в базе б. (Этот результат включает в качестве частных случаев все вышеупомянутые результаты Champernowne, Besicovitch и Davenport & Erds.) Авторы также показывают, что тот же результат имеет место даже в более общем случае, когда ж любая функция вида

ж(Икс) = α ·Икс^β + α₁·Икс^β₁ + ... + α_d·Икс^β_d,

где αs и βs - действительные числа с β> β₁ > β₂ > ...> β_d ≥ 0 и ж(Икс)> 0 для всех Икс > 0.

Бейли и Крэндалл (2002 ) показать явное бесчисленное множество класс б-нормальные числа возмущением Числа Стоунхема.

Доказать нормальность чисел, которые не созданы искусственно, было неуловимой целью. Пока √2, π, пер (2), и е строго предполагаются как нормальные, до сих пор неизвестно, нормальны они или нет. Не было даже доказано, что все цифры на самом деле встречаются бесконечно много раз в десятичных разложениях этих констант (например, в случае π популярное утверждение «каждая строка чисел в конечном итоге встречается в π» не является истинным. ). Также было высказано предположение, что каждый иррациональный алгебраическое число абсолютно нормально (что означало бы, что √2 нормально), и контрпримеры не известны ни в одной базе. Однако ни одно иррациональное алгебраическое число не оказалось нормальным ни в какой базе.

Ненормальные числа

Нет рациональное число нормально в любой базе, так как последовательности цифр рациональных чисел в конечном итоге периодический.^[13] Однако рациональное число может быть просто нормально в конкретной базе. Например, ${\displaystyle {\frac {13{,}717{,}421}{1{,}111{,}111{,}111}}={\frac {123,\!456,\!789}{9,\!999,\!999,\!999}}=0.{\overline {0123456789}}}$ просто нормально в базе 10.

Мартин (2001 ) дает пример абсолютно ненормального иррационального числа.^[14] Позволять ж(2) = 4 и

${\displaystyle f\left(n\right)=n^{\frac {f\left(n-1\right)}{n-1}},\,n\in \mathbb {Z} \cap \left[3,\infty \right)}$

${\displaystyle \alpha =\prod _{m=2}^{\infty }\left({1-{\frac {1}{f\left(m\right)}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{9}}\right)\left(1-{\frac {1}{64}}\right)\left(1-{\frac {1}{152587890625}}\right)\ldots =0.6562499999956991\underbrace {99999\ldots 99999} _{23,747,291,559}8528404201690728\ldots }$

Тогда α является Число Лиувилля и совершенно ненормально.

Характеристики

Дополнительные свойства нормальных чисел включают:

• Любое ненулевое действительное число можно записать как произведение двух нормальных чисел. Например, если а - любое ненулевое действительное число, и Икс ненулевое действительное число, которое выбран равномерно случайным образом из любого конечного интервала, то почти наверняка Икс/а и а/Икс оба нормальные.
• Если Икс это нормально в базе б и а 0 - рациональное число, тогда ${\displaystyle x\cdot a}$ также нормально в базе б.^[15]
• Если ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ является плотный (для каждого ${\displaystyle \alpha <1}$ и для всех достаточно больших п, ${\displaystyle |A\cap \{1,\ldots ,n\}|\geq n^{\alpha }}$) и ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ базовые-б расширения элементов А, то число ${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots }$, образованный конкатенацией элементов А, нормально в базе б (Коупленд и Эрдеш, 1946 г.). Отсюда следует, что число Чамперноуна нормально по основанию 10 (поскольку множество всех положительных целых чисел, очевидно, плотно) и что константа Коупленда – Эрдеша нормальна по основанию 10 (поскольку теорема о простых числах следует, что множество простых чисел плотно).
• Последовательность нормальная если и только если каждый блокировать одинаковой длины появляется с одинаковой частотой. (Блок длины k это подстрока длины k появляется в позиции в последовательности, кратной k: например первая длина-k блокировать S является S[1..k], вторая длина -k блок S[k+1..2k] и т. д.) Это подразумевается в работах Зива и Лемпеля (1978 ) и явным образом изложены в работах Бурка, Хичкока и Винодчандрана (2005 ).
• Число нормальное в базе б если и только если это просто нормально в базе б^k для всех ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$. Это следует из характеристики нормальности в предыдущем блоке: п^th блок длины k в его основе б расширение соответствует п^th цифра в его базе б^k расширение, число просто нормальное в базе б^k тогда и только тогда, когда блоки длины k появляются в его базе б расширение с равной частотой.
• Число является нормальным тогда и только тогда, когда оно просто нормально в каждой базе. Это следует из предыдущей характеристики базового б нормальность.
• Число б-нормально тогда и только тогда, когда существует набор натуральных чисел ${\displaystyle m_{1}<m_{2}<m_{3}<\cdots }$ где число просто нормальное в базах б^м для всех ${\displaystyle m\in \{m_{1},m_{2},\ldots \}.}$^[16] Никакого конечного набора недостаточно, чтобы показать, что это число б-нормальный.
• Все нормальные последовательности замкнутый относительно конечных вариаций: добавление, удаление или изменение конечный количество цифр в любой нормальной последовательности остается нормальным. Точно так же, если конечное число цифр добавляется, удаляется или изменяется в любой простой нормальной последовательности, новая последовательность все равно остается просто нормальной.

Подключение к конечным автоматам

Агафонов показал раннюю связь между конечные автоматы и нормальные последовательности: каждая бесконечная подпоследовательность, выбранная из нормальной последовательности обычный язык тоже нормально. Другими словами, если кто-то запускает конечный автомат в нормальной последовательности, где каждое из состояний конечного автомата помечено либо «выход», либо «нет выхода», и машина выводит цифру, которую он читает следующей после ввода "output" состояние, но не выводит следующую цифру после входа в "no output state", тогда последовательность, которую он выводит, будет нормальной.^[17]

Более глубокая связь существует с конечными игроками (FSG) и конечными компрессорами без потерь информации (ILFSC).

• А конечный игрок (a.k.a. конечное состояние мартингейл) - конечный автомат над конечным алфавитом ${\displaystyle \Sigma }$, каждое состояние которого помечено процентным соотношением денег, на которое можно сделать ставку, на каждую цифру в ${\displaystyle \Sigma }$. Например, для FSG по двоичному алфавиту ${\displaystyle \Sigma =\{0,1\}}$, текущее состояние q ставит какой-то процент ${\displaystyle q_{0}\in [0,1]}$ денег игрока на бит 0, а оставшиеся ${\displaystyle q_{1}=1-q_{0}}$ доля денег игрока на бите 1. Денежная ставка на цифру, которая идет следующей во входных данных (общая сумма денег, умноженная на процентную ставку), умножается на ${\displaystyle |\Sigma |}$, а остальные деньги потеряны. После того, как бит считан, FSG переходит в следующее состояние в соответствии с полученными входными данными. А ФСГ d преуспевает на бесконечной последовательности S если, начиная с 1 доллара, делает неограниченные денежные ставки на последовательность; т.е. если

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }d(S\upharpoonright n)=\infty ,}$

куда ${\displaystyle d(S\upharpoonright n)}$ сумма денег игрока d после прочтения первого п цифры S (видеть предел высшего ).

• А конечный компрессор конечный автомат с выходными строками, обозначающими его переходы между состояниями, включая, возможно, пустую строку. (Поскольку при каждом переходе состояния из входной последовательности считывается одна цифра, необходимо иметь возможность выводить пустую строку, чтобы вообще достичь любого сжатия). Конечный компрессор без потерь информации - это конечный компрессор, входной сигнал которого может быть однозначно восстановлен из его выхода и конечного состояния. Другими словами, для конечного компрессора C с набором состояний Q, C информация без потерь, если функция ${\displaystyle f:\Sigma ^{*}\to \Sigma ^{*}\times Q}$, отображая входную строку C в строку вывода и конечное состояние C, является 1–1. Техники сжатия, такие как Кодирование Хаффмана или Кодирование Шеннона – Фано могут быть реализованы с помощью ILFSC. ILFSC C компрессы бесконечная последовательность S если

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {|C(S\upharpoonright n)|}{n}}<1,}$

куда ${\displaystyle |C(S\upharpoonright n)|}$ это количество цифр, выводимых C после прочтения первого п цифры S. В коэффициент сжатия (в ограничивать низший выше) всегда можно сделать равным 1 ILFSC с 1 состоянием, который просто копирует свой вход в выход.

Шнорр и Стимм показали, что ни один FSG не может быть успешным в любой нормальной последовательности, а Бурк, Хичкок и Винодчандран показали разговаривать. Следовательно:

Последовательность является нормальной тогда и только тогда, когда нет конечного игрока, который преуспел в ней..

Зив и Лемпель показали:

Последовательность является нормальной тогда и только тогда, когда она несжимаема каким-либо компрессором с конечным состоянием без потерь информации.

(они фактически показали, что оптимальная степень сжатия последовательности по всем ILFSC - это именно ее энтропия ставка, количественная мера отклонения от нормальности, равная 1 именно тогда, когда последовательность нормальна). Поскольку Алгоритм сжатия LZ сжимает асимптотически, как и любой ILFSC, это означает, что алгоритм сжатия LZ может сжимать любую ненормальную последовательность.^[18]

Эти характеристики нормальных последовательностей можно интерпретировать как означающие, что «нормальный» = «случайный с конечным числом состояний»; т.е. нормальные последовательности - это в точности те, которые кажутся случайными для любого конечного автомата. Сравните это с алгоритмически случайные последовательности, которые представляют собой те бесконечные последовательности, которые кажутся случайными для любого алгоритма (и на самом деле имеют похожие характеристики игры и сжатия с Машины Тьюринга замена конечных автоматов).

Подключение к равнораспределенным последовательностям

Число Икс это нормально в базе б если и только если последовательность ${\displaystyle {\left(b^{k}x\right)}_{k=0}^{\infty }}$ является равнораспределенный по модулю 1,^[19][20] или, что эквивалентно, используя Критерий Вейля, если и только если

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi imb^{k}x}=0\quad {\text{ for all integers }}m\geq 1.}$

Эта связь приводит к терминологии, что Икс нормальна по основанию β для любого действительного числа β тогда и только тогда, когда последовательность ${\displaystyle \left({x\beta ^{k}}\right)_{k=0}^{\infty }}$ равнораспределена по модулю 1.^[20]

Примечания

1. Здесь рассматриваются только базы натуральные числа больше 1
2. Бек 2009.
3. Бюжо 2012, п. 78.
4. Бюжо 2012, п. 79.
5. Бюжо 2012, п. 102.
6. Адамчевски и Буджо 2010, п. 413.
7. Кассель 1959.
8. Шмидт 1960.
9. Бюжо 2012, п. 92.
10. х б^п mod 1 обозначает дробная часть из х б^п.
11. Мартин 2001.
12. Биллингсли 2012.
13. Мерти 2007, п. 483.
14. Бюжо 2012, п. 113.
15. Стена 1949 г..
16. Длинный 1957.
17. Агафонов 1968.
18. Зив и Лемпель 1978.
19. Бюжо 2012, п. 89.
20. Эверест и др. 2003 г., п. 127.

Смотрите также

• Постоянная Шамперноуна
• Последовательность де Брюйна
• Теорема о бесконечной обезьяне
• Вавилонская библиотека

Рекомендации

• Адамчевский, Борис; Bugeaud, Yann (2010), «8. Трансцендентность и диофантово приближение», в Берте, Валери; Риго, Майкл (ред.), Комбинаторика, автоматы и теория чисел, Энциклопедия математики и ее приложений, 135, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 410–451, ISBN  978-0-521-51597-9, Zbl  1271.11073
• Агафонов, В. Н. (1968), "Нормальные последовательности и конечные автоматы", Советская математика - Доклады, 9: 324–325, Zbl  0242.94040
• Бейли, Д. Х.; Крэндалл, Р. (2002), «Генераторы случайных чисел и нормальные числа» (PDF), Экспериментальная математика, 11 (4): 527–546, Дои:10.1080/10586458.2002.10504704
• Бехер, В .; Фигейра, С. (2002), «Пример вычислимого абсолютно нормального числа» (PDF), Теоретическая информатика, 270 (1–2): 947–958, Дои:10.1016 / S0304-3975 (01) 00170-0
• Бек, Йожеф (2009), Неизбежная случайность в дискретной математике (иллюстрированный ред.), American Mathematical Soc., стр. 13, ISBN  978-0-8218-4756-5
• Безикович, А.С. (1935), «Асимптотическое распределение чисел в десятичном представлении квадратов натуральных чисел», Mathematische Zeitschrift, 39: 146–156, Дои:10.1007 / BF01201350
• Биллингсли, Патрик (2012), Вероятность и мера (Юбилейный ред.), Хобокен, Нью-Джерси: Wiley, p. 15, ISBN  9781118122372, OCLC  780289503
• Борель, Э. (1909), "Возможные арифметические приложения и методы", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 27: 247–271, Дои:10.1007 / BF03019651
• Bourke, C .; Hitchcock, J.M .; Винодчандран, Н. В. (2005), "Скорость энтропии и конечная размерность", Теоретическая информатика, 349 (3): 392–406, Дои:10.1016 / j.tcs.2005.09.040
• Бюжо, Янн (2012), Распределение по модулю один и диофантово приближение, Кембриджские трактаты по математике, 193, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-11169-0, Zbl  1260.11001
• Касселс, Дж. У. С. (1959), «К проблеме Штейнгауза о нормальных числах», Математический коллоквиум, 7: 95–101, Дои:10.4064 / см-7-1-95-101
• Чамперноун, Д. (1933), «Построение десятичных дробей нормальных по десятичной шкале», Журнал Лондонского математического общества, 8 (4): 254–260, Дои:10.1112 / jlms / s1-8.4.254
• Коупленд, А.; Эрдеш, П. (1946), «Заметка о нормальных числах», Бюллетень Американского математического общества, 52 (10): 857–860, Дои:10.1090 / S0002-9904-1946-08657-7
• Давенпорт, Х.; Эрдеш, П. (1952), «Замечание о нормальных десятичных дробях», Канадский математический журнал, 4: 58–63, Дои:10.4153 / CJM-1952-005-3
• Эверест, Грэм; ван дер Поортен, Альф; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003), Повторяющиеся последовательности, Математические обзоры и монографии, 104, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-3387-1, Zbl  1033.11006
• Лонг, К. Т. (1957), «Обратите внимание на нормальные числа», Тихоокеанский математический журнал, 7 (2): 1163–1165, Дои:10.2140 / pjm.1957.7.1163, Zbl  0080.03604
• Мартин, Грег (2001), «Абсолютно ненормальные числа», Американский математический ежемесячный журнал, 108 (8): 746–754, arXiv:математика / 0006089, Дои:10.2307/2695618, JSTOR  2695618, Zbl  1036.11035
• Мурти, Марути Рам (2007), Проблемы аналитической теории чисел (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-72349-5
• Накаи, Ю.; Сиокава, И. (1992), «Расхождения оценок для класса нормальных чисел», Acta Arithmetica, 62 (3): 271–284, Дои:10.4064 / aa-62-3-271-284
• Шмидт, В. (1960), «На нормальные номера», Тихоокеанский математический журнал, 10 (2): 661–672, Дои:10.2140 / pjm.1960.10.661
• Шнорр, К. П.; Стимм, Х. (1972), "Endliche Automaten und Zufallsfolgen", Acta Informatica, 1 (4): 345–359, Дои:10.1007 / BF00289514
• Серпинский, В. (1917), "Демонстрация теории теории М. Бореля в отношении норм абсолютного и эффективного определения", Bulletin de la Société Mathématique de France, 45: 125–132, Дои:10.24033 / bsmf.977
• Уолл, Д. (1949), Нормальные числа, Кандидат наук. дипломная работа, Беркли, Калифорния: Калифорнийский университет
• Зив, Дж.; Лемпель, А. (1978), «Сжатие отдельных последовательностей с помощью кодирования с переменной скоростью», IEEE Transactions по теории информации, 24 (5): 530–536, Дои:10.1109 / TIT.1978.1055934, HDL:10338.dmlcz / 142945

дальнейшее чтение

• Бейли, Д. Х.; Крэндалл, Р. (2001), «О случайном характере фундаментальных разложений констант» (PDF), Экспериментальная математика, 10 (2): 175–190, Дои:10.1080/10586458.2001.10504441, заархивировано из оригинал (PDF) на 2008-11-23
• Бейли, Д. Х.; Мисюревич, М. (2006), "Сильная теорема о горячих точках", Труды Американского математического общества, 134 (9): 2495–2501, Дои:10.1090 / S0002-9939-06-08551-0
• Калуд, К. (1994), "Нормальность по Борелю и алгоритмическая случайность", у Розенберга, G .; Саломаа, Арто (ред.), Развитие теории языка: на стыке математики, информатики и биологии, Всемирный научный, Сингапур, стр. 113–119.
• Калуд, К.; Замфиреску, Т. (1999), «Большинство чисел не подчиняются законам вероятности», Publicationes Mathematicae Debrecen, 54 (Дополнение): 619–623
• Даджани, Карма; Краикамп, Кор (2002), Эргодическая теория чисел, Математические монографии Каруса, 29, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN  0-88385-034-6, Zbl  1033.11040
• Харман, Глин (2002), «Сто лет нормальных чисел», у Bennett, M.A .; Берндт, Б.; Бостон, Н.; Diamond, H.G .; Hildebrand, A.J .; Филипп, W. (ред.), Обзоры по теории чисел: доклады тысячелетней конференции по теории чисел, Натик, Массачусетс: А. К. Питерс, стр. 57–74, ISBN  1-56881-162-4, Zbl  1062.11052
• Хошневисан, Давар (2006), «Нормальные числа - это нормально» (PDF), Годовой отчет Института математики Клэя за 2006 г.: 15, продолжение с. 27–31
• Quéfflec, Martine (2006), «Старые и новые результаты о нормальности», в Denteneer, Dee; ден Холландер, Ф .; Вербицкий, Э. (ред.), Dynamics & Stochastics: Festschrift в честь М.С. Кина, Конспект лекций IMS - Серия монографий, 48, Бичвуд, Огайо: Институт математической статистики, стр. 225–236, arXiv:math.DS / 0608249, Дои:10.1214/074921706000000248, ISBN  0-940600-64-1, Zbl  1130.11041

внешняя ссылка

• Мы находимся в цифрах Пи и живем вечно к Клиффорд А. Пиковер
• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальный номер». MathWorld.