Особое значение - Singular value - Wikipedia

В математика, особенно функциональный анализ, то сингулярные значения, или же s-числа из компактный оператор Т : Икс → Y действуя между Гильбертовы пространства Икс и Y, - квадратные корни неотрицательных собственные значения самосопряженного оператора Т^*Т  (куда Т^* обозначает прилегающий из Т).

Сингулярные значения неотрицательны действительные числа, обычно перечисляются в порядке убывания (s₁(Т), s₂(Т),…). Наибольшее сингулярное значение s₁(Т) равно норма оператора из Т (видеть Теорема мин-макс ).

Визуализация разложение по сингулярным числам (СВД) двумерного реального матрица сдвига M. Сначала мы видим единичный диск синим цветом вместе с двумя канонические единичные векторы. Затем мы видим действие M, что искажает диск до эллипс. СВД разлагается M в три простых преобразования: вращение V^*, а масштабирование Σ по повернутым осям координат и второй поворот U. Σ это диагональная матрица содержащий на своей диагонали сингулярные значения M, которые представляют собой длины σ₁ и σ₂ из полуоси эллипса.

Если Т действует в евклидовом пространстве р^п, существует простая геометрическая интерпретация сингулярных значений: рассмотрим изображение как Т из единичная сфера; это эллипсоид, а длины его полуосей - сингулярные значения Т (на рисунке приведен пример в р²).

Сингулярные значения - это абсолютные значения собственные значения из нормальная матрица А, поскольку спектральная теорема может применяться для получения унитарной диагонализации А в качестве А = UΛU^*. Следовательно, ${\displaystyle {\sqrt {A^{*}A}}={\sqrt {U\Lambda ^{2}U^{*}}}=U\ |\Lambda |\ U^{*}}$.

Наиболее нормы в исследуемых операторах гильбертова пространства определяются с помощью s-числа. Например, Кай Фан -k-норма - это сумма первых k сингулярных значений, норма следа - это сумма всех сингулярных значений, а Норма Шаттена это пкорень -й степени из суммы п-ые степени сингулярных чисел. Обратите внимание, что каждая норма определена только на специальном классе операторов, поэтому s-числа полезны при классификации различных операторов.

В конечномерном случае a матрица всегда можно разложить в виде UΣV^*, куда U и V^* находятся унитарные матрицы и Σ это диагональная матрица с сингулярными значениями, лежащими на диагонали. Это разложение по сингулярным числам.

Основные свойства

За ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n},}$ и ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,\min\{m,n\}}$.

Теорема мин-макс для сингулярных значений. Здесь ${\displaystyle U:\dim(U)=i}$ является подпространством ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ измерения ${\displaystyle i}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}(A)&=\min _{\dim(U)=n-i+1}\max _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\\\sigma _{i}(A)&=\max _{\dim(U)=i}\min _{\underset {\|x\|_{2}=1}{x\in U}}\left\|Ax\right\|_{2}.\end{aligned}}}$

Транспонирование и сопряжение матрицы не изменяют сингулярные значения.

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}\left(A^{\textsf {T}}\right)=\sigma _{i}\left(A^{*}\right)=\sigma _{i}\left({\bar {A}}\right).}$

Для любого унитарного ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m},V\in \mathbb {C} ^{n\times n}.}$

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(UAV).}$

Отношение к собственным значениям:

${\displaystyle \sigma _{i}^{2}(A)=\lambda _{i}\left(AA^{*}\right)=\lambda _{i}\left(A^{*}A\right).}$

Неравенства относительно сингулярных значений

Смотрите также ^[1].

Сингулярные значения подматриц

За ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}.}$

1. Позволять ${\displaystyle B}$ обозначать ${\displaystyle A}$ с одним из его рядов или же столбцы удалены. потом

   ${\displaystyle \sigma _{i+1}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$

2. Позволять ${\displaystyle B}$ обозначать ${\displaystyle A}$ с одним из его рядов и столбцы удалены. потом
   ${\displaystyle \sigma _{i+2}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$
3. Позволять ${\displaystyle B}$ обозначить ${\displaystyle (m-k)\times (n-l)}$ подматрица ${\displaystyle A}$. потом
   ${\displaystyle \sigma _{i+k+l}(A)\leq \sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(A)}$

Особые значения ${\displaystyle A+B}$

За ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$

1. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A+B)\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)+\sigma _{i}(B),\quad k=\min\{m,n\}}$
2. ${\displaystyle \sigma _{i+j-1}(A+B)\leq \sigma _{i}(A)+\sigma _{j}(B).\quad i,j\in \mathbb {N} ,\ i+j-1\leq \min\{m,n\}}$

Особые значения ${\displaystyle AB}$

За ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

1. ${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B)&\leq \prod _{i=n}^{i=n-k+1}\sigma _{i}(AB)\\\prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(AB)&\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A)\sigma _{i}(B),\\\sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(AB)&\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A)\sigma _{i}^{p}(B),\end{aligned}}}$
2. ${\displaystyle \sigma _{n}(A)\sigma _{i}(B)\leq \sigma _{i}(AB)\leq \sigma _{1}(A)\sigma _{i}(B)\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

За ${\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$^[2]

${\displaystyle 2\sigma _{i}(AB^{*})\leq \sigma _{i}\left(A^{*}A+B^{*}B\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

Сингулярные значения и собственные значения

За ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$.

1. Видеть^[3]

   ${\displaystyle \lambda _{i}\left(A+A^{*}\right)\leq 2\sigma _{i}(A),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

2. Предполагать ${\displaystyle \left|\lambda _{1}(A)\right|\geq \cdots \geq \left|\lambda _{n}(A)\right|}$. Тогда для ${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n}$:
   1. Теорема Вейля

      ${\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}(A)\right|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma _{i}(A).}$

   2. За ${\displaystyle p>0}$.
      ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left|\lambda _{i}^{p}(A)\right|\leq \sum _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{p}(A).}$

История

Эта концепция была введена Эрхард Шмидт в 1907 году. Шмидт в то время называл сингулярные значения собственными значениями. Название «единичное значение» впервые было процитировано Smithies в 1937 году. В 1957 году Аллахвердиев доказал следующую характеристику пth s-номер ^[1]:

${\displaystyle s_{n}(T)=\inf {\big \{}\,\|T-L\|:L{\text{ is an operator of finite rank }}<n\,{\big \}}.}$

Эта формулировка позволила расширить понятие s-номера операторам в Банахово пространство.

Смотрите также

• Номер условия
• Теорема Коши о переплетении или же Теорема Пуанкаре об отделимости
• Теорема Шура – ​​Хорна
• Разложение по сингулярным числам

Рекомендации

1. Р.А. Хорн и К.Р. Джонсон. Темы матричного анализа. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1991. Гл. 3
2. X. Zhan. Матричные неравенства. Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, 2002. стр.28.
3. Р. Бхатия. Матричный анализ. Springer-Verlag, New York, 1997. Предложение III.5.1.

1. ^ И. К. Гохберг и М. Г. Крейн. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. Американское математическое общество, Провиденс, Р.И., 1969. Перевод с русского А. Файнштейна. Переводы математических монографий, Vol. 18.