Приближения π - Approximations of π

Эта страница об истории приближений π; смотрите также хронология расчета π для табличной сводки. См. Также история о π по другим аспектам эволюции наших знаний о математических свойствах π.

График, показывающий историческую эволюцию точности записи числовых приближений к Пи, измеренной в десятичных разрядах (отображается в логарифмической шкале; время до 1400 не показано в масштабе).

Приближения для математическая константа Пи (π) в история математики достигла точности в пределах 0,04% от истинного значения перед началом Наша эра (Архимед ). В Китайская математика, это было улучшено до приближений, верных примерно до семи десятичных цифр к 5-му веку.

Дальнейший прогресс не был достигнут до 15 века (благодаря усилиям Джамшид аль-Каши ). К началу 17 века математики раннего Нового времени достигли точности 35 знаков (Людольф ван Сеулен ) и 126 цифр к 19 веку (Юрий Вега ), превосходящая точность, требуемую для любого мыслимого приложения за пределами чистой математики.

Запись ручного приближения π проводится Уильям Шанкс, который правильно подсчитал 527 цифр в годы, предшествующие 1873 году. С середины 20 века приближение π была задачей электронных цифровых компьютеров (подробное описание см. Хронология расчета π ). В марте 2019 г. Эмма Харука Ивао, а Google сотрудник из Япония, рассчитанный на новый мировой рекорд длины 31 триллион цифр с помощью компании облачные вычисления оказание услуг.^[1] Рекорд был побит 29 января 2020 года Тимоти Мулликан,^[2] который рассчитал до 50 триллионов цифр, используя устаревшее корпоративное серверное оборудование и программное обеспечение y-cruncher.^[3]

История ранних веков

Наиболее известные приближения к π датируясь до нашей эры были с точностью до двух десятичных знаков; это было улучшено в Китайская математика особенно к середине первого тысячелетия, с точностью до семи знаков после запятой. После этого не было никакого дальнейшего прогресса до позднего средневековья.

Некоторые египтологи^[4]заявили, что древние египтяне использовал приближение π как²²⁄₇ = 3,142857 (примерно на 0,04% больше), начиная с Старое королевство.^[5]Это утверждение было встречено скептически.^[6][7]

Вавилонская математика обычно приблизительно π до 3, что было достаточно для архитектурных проектов того времени (что также отражено в описании Храм Соломона в Еврейская библия ).^[8] Вавилоняне знали, что это приблизительное значение, и одна древневавилонская математическая табличка была раскопана недалеко от Сузы в 1936 г. (датируется 19-17 вв. до н.э.) дает лучшее приближение π как²⁵⁄₈ = 3,125, что примерно на 0,528 процента ниже точного значения.^{[9][10][11][12]}

Примерно в то же время египтянин Математический папирус Райнда (датировано Второй промежуточный период, c. 1600 г. до н. Э., Хотя и считается копией более древнего, Поднебесная текст) подразумевает приближение π как²⁵⁶⁄₈₁ ≈ 3,16 (с точностью до 0,6 процента) путем вычисления площади круга путем аппроксимации круга восьмиугольником.^[6][13]

Астрономические расчеты в Шатапатха Брахмана (ок. VI века до н. э.) используют дробное приближение ​³³⁹⁄₁₀₈ ≈ 3.139.^[14]

В III веке до нашей эры Архимед доказали точные неравенства²²³⁄₇₁ < π < ​²²⁄₇, с помощью регулярных 96-угольники (точность 2 · 10⁻⁴ и 4 · 10⁻⁴соответственно).

Во 2 веке нашей эры Птолемей использовал значение³⁷⁷⁄₁₂₀, первое известное приближение с точностью до трех знаков после запятой (точность 2 · 10⁻⁵).^[15]

В Китайский математик Лю Хуэй в 263 г. π между 3.141024 и 3.142708 записав 96-угольники и 192-угольники; среднее значение этих двух значений равно 3.141866 (точность 9 · 10⁻⁵Он также предположил, что 3.14 было достаточно хорошим приближением для практических целей. Ему также часто приписывают более поздний и более точный результат π ≈³⁹²⁷⁄₁₂₅₀ = 3,1416 (точность 2 · 10⁻⁶), хотя некоторые ученые считают, что это связано с более поздним (V век) китайским математиком Цзу Чунчжи.^[16]Цзу Чунчжи, как известно, вычислил π между 3,1415926 и 3,1415927, что с точностью до семи десятичных знаков. Он дал два других приближения π: π ≈²²⁄₇ и π ≈³⁵⁵⁄₁₁₃. Последняя дробь является наилучшим рациональным приближением π используя менее пяти десятичных цифр в числителе и знаменателе. Результат Цзу Чунчжи превосходит точность, достигнутую в эллинистической математике, и останется без улучшения в течение почти тысячелетия.^{[нужна цитата ]}

В Индия эпохи Гупта (6 век), математик Арьябхата в его астрономическом трактате Ryabhaīya вычислил стоимость π до пяти значащих цифр π ≈⁶²⁸³²⁄₂₀₀₀₀ = 3.1416.^[17][18] используя его для расчета приближения Земля окружность.^[19] Арьябхата заявил, что его результат «приблизительно» (Асанна «приближение») дало окружность круга. Его комментатор 15 века Нилаканта Сомаяджи (Керальская школа астрономии и математики ) утверждал, что это слово означает не только то, что это приближение, но и то, что значение несоизмеримый (иррациональный).^[20]

Средний возраст

К 5 веку н.э. π было известно около семи цифр в китайской математике и примерно до пяти в индийской математике. Дальнейшего прогресса не было почти тысячелетие, до 14 века, когда индийский математик и астроном Мадхава Сангамаграмы, основатель Керальская школа астрономии и математики открыл бесконечная серия за π, теперь известный как Серия Мадхава – Лейбница,^[21][22] и дал два метода вычисления значения π. Один из этих способов - получить быстро сходящийся ряд путем преобразования исходного бесконечная серия из π. Тем самым он получил бесконечную серию

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Сравнение сходимости двух серий Мадхавы (одна с √12 темно-синим) и несколько исторических бесконечных серий для π. S_п это приближение после взятия п термины. Каждый последующий участок увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

и использовал первые 21 член для вычисления приближения π исправить до 11 десятичных знаков как 3.14159265359.

Другой метод, который он использовал, заключался в добавлении остаточного члена к исходной серии π. Он использовал остаток

${\displaystyle {\frac {n^{2}+1}{4n^{3}+5n}}}$

в бесконечный ряд разложения^π⁄₄ для улучшения приближения π до 13 знаков после запятой прип = 75.

Джамшид аль-Каши (Кашани), Персидский астроном и математик, правильно вычислено 2π до 9 шестидесятеричный цифры в 1424 году.^[23] Эта цифра эквивалентна 17 десятичным цифрам как

${\displaystyle 2\pi \approx 6.28318530717958648,}$

что приравнивается к

${\displaystyle \pi \approx 3.14159265358979324.}$

Он достиг такого уровня точности, вычислив периметр правильный многоугольник с 3 × 2²⁸ стороны.^[24]

16-19 веков

Во второй половине XVI века французский математик Франсуа Виет обнаружил бесконечный продукт, который сходился на π известный как Формула Вьете.

Немецко-голландский математик Людольф ван Сеулен (около 1600) вычислил первые 35 знаков после запятой π с 2⁶²-гон. Он так гордился этим достижением, что написал их на своем надгробие.^[25]

В Cyclometricus (1621), Виллеброрд Снеллиус продемонстрировал, что периметр вписанного многоугольника сходится к окружности в два раза быстрее, чем периметр соответствующего описанного многоугольника. Это было доказано Кристиан Гюйгенс в 1654 году. Снеллиус смог получить семь цифр числа π из 96-сторонний многоугольник.^[26]

В 1789 году словенский математик Юрий Вега вычислил первые 140 знаков после запятой для π, из которых первые 126 были правильными^[27] и удерживал мировой рекорд в течение 52 лет до 1841 года, когда Уильям Резерфорд вычислил 208 знаков после запятой, из которых первые 152 были правильными. Вега улучшена Джон Мачин формула 1706 года и его метод упоминаются до сих пор.^{[нужна цитата ]}

Величину такой точности (152 знака после запятой) можно учесть в контексте того факта, что окружность самого большого известного объекта, наблюдаемой Вселенной, может быть рассчитана по его диаметру (93 миллиард световых лет ) с точностью до единицы Планковская длина (в 1.6162×10⁻³⁵ метры, самая короткая единица длины, имеющая реальное значение), используя π выражается всего с 62 десятичными знаками.^[28]

Английский математик-любитель Уильям Шанкс, человек самостоятельных средств, более 20 лет потратил на расчет π до 707 знаков после запятой. Это было сделано в 1873 г., и первые 527 знаков были правильными. Он считал новые цифры все утро, а затем весь день проводил, проверяя свою утреннюю работу. Это было самое продолжительное расширение π до появления электронных цифровых компьютеров три четверти века спустя.^{[нужна цитата ]}

20 и 21 века

Основная статья: Хронология вычисления π § Эра электронных компьютеров (с 1949 г.)

В 1910 году индийский математик Шриниваса Рамануджан нашел несколько быстро сходящихся бесконечных серий π, включая

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

который вычисляет еще восемь десятичных знаков π с каждым термином в серии. Его серия теперь является основой самых быстрых алгоритмов, используемых в настоящее время для расчета π. Смотрите также Рамануджан – Сато серия.

Начиная с середины 20 века, все расчеты π было сделано с помощью калькуляторы или компьютеры.

В 1944 г. Д. Фергюсон с помощью механический настольный калькулятор, обнаружил, что Уильям Шанкс ошибся в 528-м десятичном разряде, и что все последующие цифры были неправильными.

В первые годы существования компьютеров расширение π к 100000 десятичные знаки^[29]:78 был вычислен математиком Мэриленда Дэниел Шэнкс (никакого отношения к вышеупомянутому Уильяму Шанксу) и его команде на Лаборатория военно-морских исследований США в Вашингтоне, округ Колумбия.В 1961 году Шанкс и его команда использовали два разных степенных ряда для вычисления цифр π. С одной стороны, было известно, что любая ошибка приведет к слегка завышенному значению, а с другой - было известно, что любая ошибка приведет к немного низкому значению. И, следовательно, до тех пор, пока две серии содержали одни и те же цифры, была очень высокая уверенность в их правильности. Первые 100 265 цифр π были опубликованы в 1962 году.^[29]:80–99 Авторы обозначили, что потребуется для расчета π до 1 миллиона знаков после запятой и пришел к выводу, что эта задача выходит за рамки современных технологий, но будет возможна через пять-семь лет.^[29]:78

В 1989 г. Братья Чудновские вычислен π до более чем 1 миллиарда десятичных знаков на суперкомпьютер IBM 3090 используя следующую вариацию бесконечного ряда Рамануджана π:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}.}$

С тех пор все записи были выполнены с использованием Алгоритм Чудновского.В 1999 году, Yasumasa Kanada и его команда в Токийский университет вычислен π до более чем 200 миллиардов десятичных знаков на суперкомпьютере HITACHI SR8000 / MPP (128 узлов) с использованием другого варианта бесконечной серии Рамануджана π. В ноябре 2002 г. Yasumasa Kanada и еще 9 человек использовали Hitachi SR8000, 64-узловой суперкомпьютер с 1 терабайтом оперативной памяти, для расчета π примерно до 1,24 триллиона цифр примерно за 600 часов. В октябре 2005 года они заявили, что подсчитали это до 1,24 триллиона мест.^[30]

В августе 2009 года японский суперкомпьютер под названием Открытый суперкомпьютер T2K более чем вдвое превысил предыдущий рекорд, рассчитав π примерно до 2,6 триллиона цифр примерно за 73 часа 36 минут.

В декабре 2009 г. Фабрис Беллар использовали домашний компьютер для вычисления 2,7 триллиона десятичных знаков π. Вычисления проводились по основанию 2 (двоичный), затем результат был преобразован в основание 10 (десятичный). Этапы расчета, преобразования и проверки заняли в общей сложности 131 день.^[31]

В августе 2010 года Сигеру Кондо использовал y-cruncher вычислить 5 триллионов цифр π. Это был мировой рекорд для любого типа вычислений, но, что особенно важно, он был выполнен на домашнем компьютере, построенном Кондо.^[32] Расчет производился в период с 4 мая по 3 августа, при этом первичная и вторичная проверки заняли 64 и 66 часов соответственно.^[33]

В октябре 2011 года Сигеру Кондо побил свой рекорд, вычислив десять триллионов (10¹³) и пятьдесят цифр, используя тот же метод, но с лучшим оборудованием.^[34][35]

В декабре 2013 года Кондо во второй раз побил собственный рекорд, вычислив 12,1 трлн цифр. π.^[36]

В октябре 2014 года Сандон Ван Несс, известный под псевдонимом «houkouonchi», использовал y-cruncher для вычисления 13,3 триллиона цифр π.^[37]

В ноябре 2016 года Питер Труб и его спонсоры вычислили на y-cruncher и полностью проверили 22,4 триллиона цифр π (22,459,157,718,361 (π^е × 10¹²))^[38]. Расчет занял (с тремя перерывами) 105 дней,^[37] ограничением дальнейшего расширения является, прежде всего, место для хранения.^[36]

В марте 2019 года Эмма Харука Ивао, сотрудник компании Google, вычислил 31,4 триллиона цифр числа Пи с помощью y-cruncher и Google Cloud машины. Это заняло 121 день.^[39]

В январе 2020 года Тимоти Мулликан объявил о вычислении 50 триллионов цифр за 303 дня.^[40][41]

Практические приближения

В зависимости от цели расчета π может быть аппроксимирован дробями для простоты вычислений. Наиболее заметными из таких приближений являются²²⁄₇ (относительная ошибка около 4 · 10⁻⁴) и³⁵⁵⁄₁₁₃ (относительная погрешность около 8 · 10⁻⁸).^[42][43][44]

Нематематические "определения" π

Некоторые примечательны правовые или исторические тексты, якобы "определяющие π"иметь некоторую рациональную ценность, такую ​​как"Индиана Пи Билл "1897 года, в котором говорилось, что" соотношение диаметра и окружности составляет пять четвертых к четырем "(что означало бы"π = 3.2") и отрывок в Еврейская библия это означает, что π = 3.

Законопроект Индианы

Так называемой "Индиана Пи Билл "1897 года часто характеризовали как попытку" узаконить значение Пи ". Скорее, закон касался предполагаемого решения проблемы геометрического"квадрат круга ".^[45]

Законопроект был почти принят Генеральная Ассамблея Индианы в США, и, как утверждается, подразумевает ряд различных значений для π, хотя наиболее близким к явному утверждению одного из них является формулировка «соотношение диаметра и окружности составляет пять четвертых к четырем», что делает π = ​¹⁶⁄₅ = 3.2, расхождение составляет почти 2 процента. Профессор математики, который присутствовал в тот день, когда законопроект был внесен на рассмотрение в Сенат, после того, как он был принят Палатой представителей, помог остановить принятие законопроекта во втором чтении, после чего собрание тщательно высмеяло его. Табличка на неопределенный срок.

Вмененная библейская ценность

Смотрите также: Расплавленное море

Иногда утверждают, что Еврейская библия означает, что "π равно трем "на основании отрывка из 3 Царств 7:23 и 2 Паралипоменон 4: 2 давая измерения для круглый бассейн расположен перед Храм в Иерусалиме как имеющий диаметр 10 локти и окружностью 30 локтей.

Вопрос обсуждается в Талмуд И в Раввинистическая литература.^[46] Среди множества объяснений и комментариев следующие:

• Раввин Неемия объяснил это в своем Мишнат ха-Миддот (самый ранний из известных иврит текст на геометрия, ок. 150 CE), сказав, что диаметр измерялся от за пределами обод, в то время как окружность измерялась по внутренний обод. Эта интерпретация подразумевает край около 0,225 локтя (или, если принять 18-дюймовый «локоть», около 4 дюймов), или один и третий »ладони, "толстый" (ср. NKJV и NKJV ).
• Маймонид заявляет (около 1168 г. н.э.), что π может быть известен только приблизительно, поэтому значение 3 было дано как достаточно точное для религиозных целей. Это принято некоторыми^[47] как самое раннее утверждение, что π иррационально.
• Другое раввинское объяснение^{[кем? ][год нужен ]} призывает гематрия: В NKJV Слово, переведенное как «измерительная линия», встречается в еврейском тексте как KAVEH קַוה, но в других местах это слово чаще всего пишется как KAV קַו. Соотношение числовых значений этих написаний на иврите равно¹¹¹⁄₁₀₆. Если предполагаемое значение 3 умножить на это соотношение, получим³³³⁄₁₀₆ = 3,141509433 ... - дает 4 правильные десятичные цифры, которые находятся в пределах¹⁄_10,000 истинной ценности π. Чтобы это работало, необходимо предположить, что измерительная линия отличается по диаметру и окружности.

В библейской науке по этому поводу до сих пор ведутся споры.^{[неудачная проверка ][48][49]} Многие реконструкции чаши показывают более широкий край (или расширяющуюся кромку), выступающий наружу от самой чаши на несколько дюймов, чтобы соответствовать описанию, данному в NKJV^[50] В последующих стихах ободок описывается как «толщиной в ладонь; и края его сделаны, как край чаши, как цветок лилии: он принял и выдержал три тысячи батов» NKJV, что предполагает форму, которую можно охватить струной короче общей длины края, например, Лилия цветок или Чашка.

Разработка эффективных формул

Основная статья: Список формул, содержащих π

Приближение многоугольника к окружности

Архимед в его Измерение круга, создал первый алгоритм расчета π основан на идее, что периметр любого (выпуклого) многоугольника, вписанного в круг, меньше длины окружности, которая, в свою очередь, меньше периметра любого описанного многоугольника. Он начал с вписанных и описанных правильных шестиугольников, периметры которых легко определяются. Затем он показывает, как вычислить периметры правильных многоугольников, у которых вдвое больше сторон, вписанных и описанных примерно в одном круге. Это рекурсивная процедура, которую сегодня можно было бы описать следующим образом: Пусть п_k и п_k обозначим периметры правильных многоугольников k стороны, вписанные и описанные примерно в одном круге соответственно. Потом,

${\displaystyle P_{2n}={\frac {2p_{n}P_{n}}{p_{n}+P_{n}}},\quad \quad p_{2n}={\sqrt {p_{n}P_{2n}}}.}$

Архимед использует это для последовательного вычисления п₁₂, п₁₂, п₂₄, п₂₄, п₄₈, п₄₈, п₉₆ и п₉₆.^[51] Используя эти последние значения, он получает

${\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}.}$

Неизвестно, почему Архимед остановился на 96-стороннем многоугольнике; требуется только терпение, чтобы продолжить вычисления. Цапля отчеты в его Метрика (около 60 г. н.э.), что Архимед продолжил вычисления в уже утерянной книге, но затем приписал ему неверное значение.^[52]

Архимед не использует тригонометрию в этом вычислении, и трудность применения метода заключается в получении хороших приближений для задействованных квадратных корней. Тригонометрия в виде таблицы длин хорд в окружности, вероятно, использовалась Клавдий Птолемей Александрийский чтобы получить значение π дано в Альмагест (около 150 г. н.э.).^[53]

Успехи в приближении π (когда методы известны) были сделаны путем увеличения количества сторон многоугольников, используемых в вычислениях. Тригонометрическое улучшение Виллеброрд Снелл (1621) получает лучшие оценки из пары границ, полученных из метода многоугольников. Таким образом, более точные результаты были получены для многоугольников с меньшим количеством сторон.^[54] Формула Вьете, опубликовано Франсуа Виет в 1593 году он был получен Виетом с использованием тесно связанного метода многоугольников, но с площадями, а не с периметрами многоугольников, количество сторон которых равно степени двойки.^[55]

Последняя крупная попытка вычислить π этим методом был осуществлен Гриенбергером в 1630 г., который вычислил 39 знаков после запятой π используя уточнение Снелла.^[54]

Машиноподобная формула

Основная статья: Машиноподобная формула

Для быстрых вычислений можно использовать такие формулы, как Мачина:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}$

вместе с Серия Тейлор расширение функции арктан (Икс). Эту формулу легче всего проверить, используя полярные координаты из сложные числа, производящие:

${\displaystyle (5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).}$

({Икс,у} = {239, 13²} является решением Уравнение Пелла Икс²−2у² = −1.)

Формулы такого типа известны как Машинные формулы. Конкретная формула Мачина использовалась еще в компьютерную эру для вычисления рекордного количества цифр π,^[29] но в последнее время использовались и другие подобные формулы.

Например, Шэнкс и его команда использовали следующую формулу Мачина в 1961 году для вычисления первых 100000 цифр π:^[29]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}$

и они использовали другую формулу типа Мачина,

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{18}}+8\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}}$

как чек.

Рекорд по состоянию на декабрь 2002 года, сделанный Ясумасой Канадой из Токийского университета, составлял 1 241 100 000 000 цифр. Для этого использовались следующие формулы типа Мачина:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$

К. Такано (1982).

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$

Ф. К. М. Стёрмер (1896).

Другие классические формулы

Другие формулы, которые использовались для вычисления оценок π включают:

Лю Хуэй (смотрите также Формула Вьете ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &\approx 768{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\&\approx 3.141590463236763.\end{aligned}}}$

Мадхава:

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-3)^{-k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-{\frac {1}{3}})^{k}}{2k+1}}={\sqrt {12}}\left({1 \over 1\cdot 3^{0}}-{1 \over 3\cdot 3^{1}}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Эйлер:

${\displaystyle {\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}}$

Ньютон / Преобразование сходимости Эйлера:^[56]

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\cfrac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

где (2k +1) !! обозначает произведение нечетных целых чисел до 2k + 1.

Рамануджан:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

Давид Чудновский и Григорий Чудновский:

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}}$

Работа Рамануджана - основа для Алгоритм Чудновского, самые быстрые алгоритмы, используемые на рубеже тысячелетий, для расчета π.

Современные алгоритмы

Чрезвычайно длинные десятичные разложения π обычно вычисляются с помощью итерационных формул, таких как Алгоритм Гаусса – Лежандра и Алгоритм Борвейна. Последний, обнаруженный в 1985 г. Джонатан и Питер Борвейн, сходится очень быстро:

За ${\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1,\ a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}$ и

${\displaystyle y_{k+1}=(1-f(y_{k}))/(1+f(y_{k}))~,~a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}$

куда ${\displaystyle f(y)=(1-y^{4})^{1/4}}$, последовательность ${\displaystyle 1/a_{k}}$ сходится квартично к π, что дает около 100 цифр за три шага и более триллиона цифр за 20 шагов. Однако известно, что использование такого алгоритма, как алгоритм Чудновского (который сходится линейно), быстрее, чем эти итерационные формулы.

Первый миллион цифр π и¹⁄_π доступны из Проект Гутенберг (см. внешние ссылки ниже). Предыдущий расчетный отчет (декабрь 2002 г.) Yasumasa Kanada из Токийский университет составила 1,24 триллиона цифр, которые были вычислены в сентябре 2002 г. на 64-узловом Hitachi суперкомпьютер с 1 терабайтом оперативной памяти, которая выполняет 2 триллиона операций в секунду, что почти в два раза больше, чем компьютер, использованный для предыдущей записи (206 миллиардов цифр). Для этого использовались следующие формулы, похожие на Machin:

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}$  (Кикуо Такано  (1982))

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}}$  (Ф. К. М. Стёрмер  (1896)).

В этих приближениях так много цифр, что они больше не имеют практического применения, за исключением тестирования новых суперкомпьютеров.^[57] Свойства как потенциал нормальность из π всегда будет зависеть от бесконечной строки цифр на конце, а не от каких-либо конечных вычислений.

Разные приближения

Исторически, база 60 использовалось для расчетов. В этой базе π можно округлить до восьми (десятичных) значащих цифр с числом 3: 8: 29: 44₆₀, который

${\displaystyle 3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3.14159\ 259^{+}}$

(Следующий шестидесятеричный цифра 0, поэтому здесь усечение дает относительно хорошее приближение.)

Кроме того, следующие выражения можно использовать для оценки π:

• с точностью до трех цифр:

${\displaystyle {\frac {22}{7}}=3.143^{+}}$

• с точностью до трех цифр:

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}}$

Карл Поппер предположил, что Платон знал это выражение, что он верил, что это в точности π, и это объясняет некоторую уверенность Платона в всесторонняя компетентность математической геометрии - и неоднократное обсуждение Платоном особых прямоугольные треугольники которые либо равнобедренный или половинки равносторонний треугольники.

${\displaystyle {\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3.140^{+}}$

• с точностью до четырех цифр:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}}$^[58]

• с точностью до четырех цифр (или пяти значащих цифр):

${\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}}$^[59]

• приближение Рамануджан, с точностью до 4 цифр (или пяти значащих цифр):

${\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}}$

• с точностью до пяти цифр:

${\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+}}$

• с точностью до шести цифр [2]:

${\displaystyle \left(2-{\frac {\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{4}}\right)^{2}=3.14159^{+}}$

• с точностью до семи цифр:

${\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}}$

• с точностью до девяти цифр:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}}$

Это от Рамануджан, который потребовал Богиня Намагири явился ему во сне и сказал ему истинную ценность π.^[60]

• с точностью до десяти цифр:

${\displaystyle {\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}}$

• с точностью до десяти цифр (или одиннадцати значащих цифр):

${\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}}$

Это любопытное приближение следует из наблюдения, что 193-я степень 1 /π дает последовательность 1122211125 ... Замена 5 на 2 завершает симметрию без уменьшения правильных цифр π, в то время как вставка центральной десятичной точки замечательно фиксирует сопровождающую величину на уровне 10¹⁰⁰.^[61]

• с точностью до 18 цифр:

${\displaystyle {\frac {80{\sqrt {15}}(5^{4}+53{\sqrt {89}})^{\frac {3}{2}}}{3308(5^{4}+53{\sqrt {89}})-3{\sqrt {89}}}}}$^[62]

Это основано на основной дискриминант d = 3 (89) = 267, что имеет номер класса час(-d) = 2, объясняя алгебраические числа степени 2. Основной радикал ${\displaystyle \scriptstyle 5^{4}+53{\sqrt {89}}}$ 5 лет³ больше чем основная единица ${\displaystyle \scriptstyle U_{89}=500+53{\sqrt {89}}}$ что дает наименьшее решение {Икс, у} = {500, 53} к Уравнение Пелла Икс² − 89у² = −1.

• с точностью до 30 знаков после запятой:

${\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}$

Происходит из близости Постоянная Рамануджана до целого числа 640320³ + 744. Это не допускает очевидных обобщений в целых числах, потому что существует лишь конечное число Числа Хегнера и отрицательный дискриминанты d с участием номер класса час(−d) = 1, а d = 163 - наибольшее в абсолютная величина.

• с точностью до 52 знаков после запятой:

${\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}}$

Как и предыдущий, следствие j-инвариантный. Среди отрицательных дискриминантов с номером 2 класса это d самый большой по абсолютной величине.

• с точностью до 161 знака после запятой:

${\displaystyle {\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}}$

куда ты является произведением четырех простых единиц квартики,

${\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})}$

и,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}}$

На основе одного, найденного Дэниел Шэнкс. Подобно предыдущим двум, но на этот раз является частным от модульная форма, а именно Функция Дедекинда эта, и где аргумент включает ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-3502}}}$. Дискриминант d = 3502 имеет час(−d) = 16.

• В непрерывная дробь представление π может использоваться для создания последовательных наилучшие рациональные приближения. Эти приближения являются наилучшими рациональными приближениями π относительно размера их знаменателей. Вот список первых тринадцати из них:^[63][64]

${\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},{\frac {103993}{33102}},{\frac {104348}{33215}},{\frac {208341}{66317}},{\frac {312689}{99532}},{\frac {833719}{265381}},{\frac {1146408}{364913}},{\frac {4272943}{1360120}},{\frac {5419351}{1725033}}}$

Из всего этого ${\displaystyle {\frac {355}{113}}}$ - единственная дробь в этой последовательности, которая дает более точные цифры π (например, 7), чем количество цифр, необходимое для его приближения (например, 6). Точность можно повысить, используя другие дроби с более крупными числителями и знаменателями, но для большинства таких дробей требуется больше цифр при приближении, чем правильные значащие числа, полученные в результате.^[65]

Суммирование площади круга

Численное приближение π: поскольку точки случайным образом разбросаны внутри единичного квадрата, некоторые попадают в единичный круг. Доля точек внутри круга приближается π / 4 по мере добавления очков.

Пи можно получить из круга, если известны его радиус и площадь, используя соотношение:

${\displaystyle A=\pi r^{2}.}$

Если круг с радиусом р рисуется с центром в точке (0, 0), любая точка, расстояние от которой до начала координат меньше, чем р попадет внутрь круга. В теорема Пифагора дает расстояние от любой точки (Икс, у) в центр:

${\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Математическая "миллиметровка" состоит из представления квадрата 1 × 1 с центром вокруг каждой ячейки (Икс, у), где Икс и у находятся целые числа между -р и р. Квадраты, центр которых находится внутри или точно на границе круга, затем можно подсчитать, проверив, что для каждой ячейки (Икс, у),

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r.}$

Таким образом, общее количество ячеек, удовлетворяющих этому условию, приблизительно равно площади круга, которую затем можно использовать для вычисления приближения π. Более близкие приближения можно получить, используя большие значения р.

Математически эту формулу можно записать:

${\displaystyle \pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r.\end{cases}}}$

Другими словами, начните с выбора значения для р. Рассмотрим все клетки (Икс, у), в котором оба Икс и у целые числа от -р и р. Начиная с 0, добавьте 1 для каждой ячейки, расстояние от которой до начала координат (0,0) меньше или равно р. Когда закончите, разделите сумму, представляя площадь круга радиуса р, от р² найти приближение π.Например, если р равно 5, то рассматриваются следующие клетки:

(−5,5)	(−4,5)	(−3,5)	(−2,5)	(−1,5)	(0,5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(−4,4)	(−3,4)	(−2,4)	(−1,4)	(0,4)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)
(−5,3)	(−4,3)	(−3,3)	(−2,3)	(−1,3)	(0,3)	(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)
(−5,2)	(−4,2)	(−3,2)	(−2,2)	(−1,2)	(0,2)	(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)
(−5,1)	(−4,1)	(−3,1)	(−2,1)	(−1,1)	(0,1)	(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)
(−5,0)	(−4,0)	(−3,0)	(−2,0)	(−1,0)	(0,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)
(−5,−1)	(−4,−1)	(−3,−1)	(−2,−1)	(−1,−1)	(0,−1)	(1,−1)	(2,−1)	(3,−1)	(4,−1)	(5,−1)
(−5,−2)	(−4,−2)	(−3,−2)	(−2,−2)	(−1,−2)	(0,−2)	(1,−2)	(2,−2)	(3,−2)	(4,−2)	(5,−2)
(−5,−3)	(−4,−3)	(−3,−3)	(−2,−3)	(−1,−3)	(0,−3)	(1,−3)	(2,−3)	(3,−3)	(4,−3)	(5,−3)
(−5,−4)	(−4,−4)	(−3,−4)	(−2,−4)	(−1,−4)	(0,−4)	(1,−4)	(2,−4)	(3,−4)	(4,−4)	(5,−4)
(−5,−5)	(−4,−5)	(−3,−5)	(−2,−5)	(−1,−5)	(0,−5)	(1,−5)	(2,−5)	(3,−5)	(4,−5)	(5,−5)

Этот круг, как если бы он был нарисован на Декартова координата график. Ячейки (± 3, ± 4) и (± 4, ± 3) помечены.

12 ячеек (0, ± 5), (± 5, 0), (± 3, ± 4), (± 4, ± 3) являются точно на круг, а 69 ячеек - полностью внутри, поэтому приблизительная площадь равна 81, а π рассчитывается приблизительно равным 3,24, поскольку⁸¹⁄_5² = 3,24. Результаты для некоторых значений р показаны в таблице ниже:

р	площадь	приближение π
2	13	3.25
3	29	3.22222
4	49	3.0625
5	81	3.24
10	317	3.17
20	1257	3.1425
100	31417	3.1417
1000	3141549	3.141549

Соответствующие результаты см. Проблема круга: количество точек (x, y) в квадратной решетке с x ^ 2 + y ^ 2 <= n.

Аналогично, более сложные приближения π приведенные ниже включают в себя повторные вычисления некоторого рода, приводящие к все более и более близким приближениям с увеличением числа вычислений.

Непрерывные дроби

Помимо простого непрерывная дробь представление [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...], на котором нет видимого рисунка, π имеет много обобщенная цепная дробь представления, генерируемые простым правилом, включая эти два.

${\displaystyle \pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}}$

(Other representations are available at The Wolfram Functions Site.)

Тригонометрия

Gregory–Leibniz series

В Gregory–Leibniz series

${\displaystyle \pi =4\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {(-1)^{n}}{2n+1}}=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+-\cdots \right)\!={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}$

is the power series for арктан (x) specialized to Икс = 1. It converges too slowly to be of practical interest. However, the power series converges much faster for smaller values of ${\displaystyle x}$, which leads to formulae where ${\displaystyle \pi }$ arises as the sum of small angles with rational tangents, known as Machin-like formulae.

Arctangent

Дальнейшая информация: Double factorial

Knowing that 4 arctan 1 = π, the formula can be simplified to get:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=2\left(1+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+{\cfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}}+\cdots \right)\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {n!}{(2n+1)!!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}n!^{2}}{(2n+1)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {2^{n+1}}{{\binom {2n}{n}}(2n+1)}}\\&=2+{\frac {2}{3}}+{\frac {4}{15}}+{\frac {4}{35}}+{\frac {16}{315}}+{\frac {16}{693}}+{\frac {32}{3003}}+{\frac {32}{6435}}+{\frac {256}{109395}}+{\frac {256}{230945}}+\cdots \end{aligned}}}$

with a convergence such that each additional 10 terms yields at least three more digits.

Another formula for ${\displaystyle \pi }$ involving arctangent function is given by

${\displaystyle {\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2,}$

куда ${\displaystyle a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}}$ такой, что ${\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}$. Approximations can be made by using, for example, the rapidly convergent Эйлер формула^[66]

${\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {x^{2n+1}}{(1+x^{2})^{n+1}}}.}$

Alternatively, the following simple expansion series of the arctangent function can be used

${\displaystyle \arctan(x)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(x\right)}{a_{n}^{2}\left(x\right)+b_{n}^{2}\left(x\right)}}},}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}(x)=2/x,\\&b_{1}(x)=1,\\&a_{n}(x)=a_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)+4b_{n-1}(x)/x,\\&b_{n}(x)=b_{n-1}(x)\,\left(1-4/x^{2}\right)-4a_{n-1}(x)/x,\end{aligned}}}$

to approximate ${\displaystyle \pi }$ with even more rapid convergence. Convergence in this arctangent formula for ${\displaystyle \pi }$ improves as integer ${\displaystyle k}$ увеличивается.

The constant ${\displaystyle \pi }$ can also be expressed by infinite sum of arctangent functions as

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2n+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots }$

и

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},}$

куда ${\displaystyle F_{n}}$ это п-th Fibonacci number. However, these two formulae for ${\displaystyle \pi }$ are much slower in convergence because of set of arctangent functions that are involved in computation.

Arcsine

Observing an equilateral triangle and noting that

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}}$

дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=6\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 2^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 2^{5}}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 2^{7}}}+\cdots \!\right)\\&={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}\\&=3+{\frac {1}{8}}+{\frac {9}{640}}+{\frac {15}{7168}}+{\frac {35}{98304}}+{\frac {189}{2883584}}+{\frac {693}{54525952}}+{\frac {429}{167772160}}+\cdots \end{aligned}}}$

with a convergence such that each additional five terms yields at least three more digits.

The Salamin–Brent algorithm

В Gauss–Legendre algorithm or Salamin–Brent algorithm was discovered independently by Richard Brent и Eugene Salamin in 1975. This can compute ${\displaystyle \pi }$ к ${\displaystyle N}$ digits in time proportional to ${\displaystyle N\,\log(N)\,\log(\log(N))}$, much faster than the trigonometric formulae.

Digit extraction methods

В Bailey–Borwein–Plouffe formula (BBP) for calculating π was discovered in 1995 by Simon Plouffe. С помощью base 16 math, the formula can compute any particular digit of π—returning the hexadecimal value of the digit—without having to compute the intervening digits (digit extraction).^[67]

${\displaystyle \pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}}$

In 1996, Simon Plouffe derived an algorithm to extract the пth decimal digit of π (using base 10 math to extract a base 10 digit), and which can do so with an improved speed of О(п³(журнал п)³) time. The algorithm requires virtually no memory for the storage of an array or matrix so the one-millionth digit of π can be computed using a pocket calculator.^[68] However, it would be quite tedious and impractical to do so.

${\displaystyle \pi +3=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n2^{n}n!^{2}}{(2n)!}}}$

The calculation speed of Plouffe's formula was improved to О(п²) к Fabrice Bellard, who derived an alternative formula (albeit only in base 2 math) for computing π.^[69]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Efficient methods

Many other expressions for π were developed and published by Indian mathematician Srinivasa Ramanujan. He worked with mathematician Godfrey Harold Hardy in England for a number of years.

Extremely long decimal expansions of π are typically computed with the Gauss–Legendre algorithm и Borwein's algorithm; то Salamin–Brent algorithm, which was invented in 1976, has also been used.

В 1997 г. Дэвид Х. Бейли, Питер Борвейн и Simon Plouffe published a paper (Bailey, 1997) on a new formula за π как бесконечная серия:

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$

This formula permits one to fairly readily compute the kth двоичный или шестнадцатеричный digit of π, without having to compute the preceding k − 1 digits. Bailey's website^[70] contains the derivation as well as implementations in various языки программирования. В PiHex project computed 64 bits around the quadrillionth bit of π (which turns out to be 0).

Fabrice Bellard further improved on BBP with his formula:^[71]

${\displaystyle \pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)}$

Other formulae that have been used to compute estimates of π включают:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

Ньютон.

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}}$

Srinivasa Ramanujan.

This converges extraordinarily rapidly. Ramanujan's work is the basis for the fastest algorithms used, as of the turn of the millennium, to calculate π.

В 1988 г. David Chudnovsky и Gregory Chudnovsky found an even faster-converging series (the Chudnovsky algorithm ):

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}$.

The speed of various algorithms for computing pi to n correct digits is shown below in descending order of asymptotic complexity. M(n) is the complexity of the multiplication algorithm employed.

Алгоритм	Год	Time complexity or Speed
Chudnovsky algorithm	1988	${\displaystyle O(n\log(n)^{3})}$[37]
Gauss–Legendre algorithm	1975	${\displaystyle O(M(n)\log(n))}$[72]
Binary splitting of the arctan series in Machin's formula		${\displaystyle O(M(n)(\log n)^{2})}$[72]
Leibniz formula for π	1300-е годы	Sublinear convergence. Five billion terms for 10 correct decimal places

Проекты

Pi Hex

Pi Hex was a project to compute three specific binary digits of π using a distributed network of several hundred computers. In 2000, after two years, the project finished computing the five trillionth (5*10¹²), the forty trillionth, and the quadrillionth (10¹⁵) bits. All three of them turned out to be 0.^{[нужна цитата ]}

Software for calculating π

Over the years, several programs have been written for calculating π к many digits на персональные компьютеры.

General purpose

Наиболее computer algebra systems can calculate π and other common mathematical constants to any desired precision.

Functions for calculating π are also included in many general библиотеки за arbitrary-precision arithmetic, например Class Library for Numbers, MPFR и SymPy.

Спец. Назначение

Programs designed for calculating π may have better performance than general-purpose mathematical software. They typically implement checkpointing and efficient замена диска to facilitate extremely long-running and memory-expensive computations.

• TachusPi by Fabrice Bellard^[73] is the program used by himself to compute world record number of digits of pi in 2009.
• у-cruncher by Alexander Yee^[37] is the program which every world record holder since Shigeru Kondo in 2010 has used to compute world record numbers of digits. у-cruncher can also be used to calculate other constants and holds world records for several of them.
• PiFast by Xavier Gourdon was the fastest program for Майкрософт Виндоус in 2003. According to its author, it can compute one million digits in 3.5 seconds on a 2.4 GHz Pentium 4.^[74] PiFast can also compute other irrational numbers like е и √2. It can also work at lesser efficiency with very little memory (down to a few tens of megabytes to compute well over a billion (10⁹) digits). This tool is a popular benchmark in the overclocking сообщество. PiFast 4.4 is available from Stu's Pi page. PiFast 4.3 is available from Gourdon's page.
• QuickPi by Steve Pagliarulo for Windows is faster than PiFast for runs of under 400 million digits. Version 4.5 is available on Stu's Pi Page below. Like PiFast, QuickPi can also compute other irrational numbers like е, √2, и √3. The software may be obtained from the Pi-Hacks Yahoo! forum, or from Stu's Pi page.
• Super PI by Kanada Laboratory^[75] in the University of Tokyo is the program for Microsoft Windows for runs from 16,000 to 33,550,000 digits. It can compute one million digits in 40 minutes, two million digits in 90 minutes and four million digits in 220 minutes on a Pentium 90 MHz. Super PI version 1.9 is available from Super PI 1.9 page.

Смотрите также

• Milü

Примечания

1. Kleinman, Zoe (2019). "Emma Haruka Iwao smashes pi world record with Google help". Новости BBC. Получено 14 марта 2019.
2. "Most accurate value of pi". Книга Рекордов Гиннесса. Получено 2 декабря 2020.
3. Mullican, Timothy (26 June 2019). "Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record". Bits and Bytes. Получено 2 декабря 2020.
4. Petrie, W.M.F. (1940). Wisdom of the Egyptians.
5. Verner, Miroslav (2001) [1997]. Пирамиды: тайна, культура и наука великих памятников Египта. Grove Press. ISBN  978-0-8021-3935-1. На основе Великая пирамида в Гизе, supposedly built so that the circle whose radius is equal to the height of the pyramid has a circumference equal to the perimeter of the base (it is 1760 локти around and 280 cubits in height).
6. Rossi (2007). Corinna Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-69053-9.
7. Legon, J. A. R. (1991). On Pyramid Dimensions and Proportions. Discussions in Egyptology. 20. pp. 25–34.
8. Увидеть #Imputed biblical value. Beckmann 1971 "There has been concern over the apparent biblical statement of π ≈ 3 from the early times of rabbinical Judaism, addressed by Rabbi Nehemiah in the 2nd century."^{[страница нужна ]}
9. Romano, David Gilman (1993). Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion. Американское философское общество. п. 78. ISBN  978-0871692061. A group of mathematical clay tablets from the Old Babylonian Period, excavated at Susa in 1936, and published by E.M. Bruins in 1950, provide the information that the Babylonian approximation of π was 3 1/8 or 3.125.
10. Bruins, E. M. (1950). "Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse" (PDF).
11. Bruins, E. M.; Rutten, M. (1961). Textes mathématiques de Suse. Mémoires de la Mission archéologique en Iran. XXXIV.
12. Смотрите также Beckmann 1971, pp. 12, 21–22 "in 1936, a tablet was excavated some 200 miles from Babylon. ... The mentioned tablet, whose translation was partially published only in 1950, ... states that the ratio of the perimeter of a regular hexagon to the circumference of the circumscribed circle equals a number which in modern notation is given by 57/60+36/(60)² [i.e. π = 3/0.96 = 25/8]".
13. Imhausen, Annette (2007). Katz, Victor J. (ed.). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-11485-9.
14. Chaitanya, Krishna. A profile of Indian culture. Indian Book Company (1975). п. 133.
15. [1]^{[постоянная мертвая ссылка ]}
16. Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (1986), "Circle measurements in ancient China", Historia Mathematica, 13 (4): 325–340, Дои:10.1016/0315-0860(86)90055-8, Г-Н  0875525. Перепечатано в Berggren, J. L.; Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter, eds. (2004). Pi: A Source Book. Springer. pp. 20–35. ISBN  978-0387205717.. See in particular pp. 333–334 (pp. 28–29 of the reprint).
17. How Aryabhata got the earth's circumference right В архиве 15 January 2017 at the Wayback Machine
18. Āryabhaṭīya (gaṇitapāda 10):

    chaturadhikam śatamaṣṭaguṇam dvāśaṣṭistathā sahasrāṇām ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vr̥ttapariṇahaḥ.

    "Add four to one hundred, multiply by eight and then add sixty-two thousand. The result is approximately the circumference of a circle of diameter twenty thousand. By this rule the relation of the circumference to diameter is given."

    In other words, (4 + 100) × 8 + 62000 is the circumference of a circle with diameter 20000. This provides a value of π ≈ ​⁶²⁸³²⁄₂₀₀₀₀ = 3.1416,Jacobs, Harold R. (2003). Geometry: Seeing, Doing, Understanding (Третье изд.). Нью-Йорк: W.H. Freeman and Company. п. 70.
19. "Aryabhata the Elder". Сент-Эндрюсский университет, School of Mathematics and Statistics. Получено 20 июля 2011.
20. S. Balachandra Rao (1998). Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore: Jnana Deep Publications. ISBN  978-81-7371-205-0.
21. George E. Andrews, Ranjan Roy; Richard Askey (1999). Special Functions. Издательство Кембриджского университета. п. 58. ISBN  978-0-521-78988-2.
22. Gupta, R. C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.
23. Boris A. Rosenfeld & Adolf P. Youschkevitch (1981). "Ghiyath al-din Jamshid Masud al-Kashi (or al-Kashani)". Dictionary of Scientific Biography. Vol. 7. п. 256.
24. Azarian, Mohammad K. (2010). "al-Risāla al-muhītīyya: A Summary". Missouri Journal of Mathematical Sciences. 22 (2): 64–85. Дои:10.35834/mjms/1312233136.
25. Capra, B. "Digits of Pi" (PDF). Получено 13 января 2018.
26. Chakrabarti, Gopal; Hudson, Richard (2003). "An Improvement of Archimedes Method of Approximating π" (PDF). International Journal of Pure and Applied Mathematics. 7 (2): 207–212.
27. Sandifer, Edward (2007). "Why 140 Digits of Pi Matter" (PDF). Jurij baron Vega in njegov čas: Zbornik ob 250-letnici rojstva [Baron Jurij Vega and His Times: Celebrating 250 Years]. Ljubljana: DMFA. п. 17. ISBN  978-961-6137-98-0. LCCN  2008467244. OCLC  448882242. Архивировано из оригинал (PDF) 3 марта 2016 г. We should note that Vega's value contains an error in the 127th digit. Vega gives a 4 where there should be an [6], and all digits after that are incorrect.
28. "What kind of accuracy could one get with Pi to 40 decimal places?". Stack Exchange. 11 May 2015.
29. Shanks, D.; Wrench, Jr., J. W. (1962). "Calculation of π to 100,000 decimals". Mathematics of Computation. 16 (77): 76–99. Дои:10.2307/2003813. JSTOR  2003813.
30. "Announcement at the Kanada lab web site". Super-computing.org. Архивировано из оригинал on 12 March 2011. Получено 11 декабря 2017.
31. "Pi Computation Record".
32. McCormick Grad Sets New Pi Record В архиве 28 сентября 2011 г. Wayback Machine
33. "Pi - 5 Trillion Digits".
34. By Glenn (19 October 2011). "Short Sharp Science: Epic pi quest sets 10 trillion digit record". Newscientist.com. Получено 18 апреля 2016.
35. Yee, Alexander J.; Kondo, Shigeru (22 October 2011). "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi".
36. Yee, Alexander J.; Kondo, Shigeru (28 December 2013). "12.1 Trillion Digits of Pi".
37. Yee, Alexander J. (2018). "y-cruncher: A Multi-Threaded Pi Program". www.numberworld.org. Получено 14 марта 2018.
38. Treub, Peter (30 November 2016). "Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi". arXiv:1612.00489 [math.NT ].
39. "Google Cloud Topples the Pi Record". www.numberworld.org. Получено 14 марта 2019.
40. "The Pi Record Returns to the Personal Computer". Получено 30 января 2020.
41. "Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record". 26 июн 2019. Получено 30 января 2020.
42. Allain, Rhett (18 March 2011). "What is the Best Fractional Representation of Pi". ПРОВОДНОЙ. Conde Nast. Получено 16 марта 2020.
43. John D., Cook. "Best Rational Approximations for Pi". John D. Cook Consulting. Получено 16 марта 2020.
44. "Continued Fraction Approximations to Pi" (PDF). Illinois Department of Mathematics. University of Illinois Board of Trustees. Получено 16 марта 2020.
45. Hallerberg, Arthur E. (1977). "Indiana's Squared Circle". Mathematics Magazine. 50 (3): 136–140. Дои:10.1080/0025570X.1977.11976632.
46. Tsaban, Boaz; Garber, David (February 1998). "On the rabbinical approximation of π" (PDF). Historia Mathematica. 25 (1): 75–84. Дои:10.1006/hmat.1997.2185. ISSN  0315-0860. Получено 14 июля 2009.
47. Wilbur Richard Knorr, The Ancient Tradition of Geometric Problems, New York: Dover Publications, 1993.
48. Aleff, H. Peter. "Ancient Creation Stories told by the Numbers: Solomon's Pi". recoveredscience.com. Архивировано из оригинал 14 октября 2007 г.. Получено 30 октября 2007.
49. O'Connor, J J; E F Robertson (August 2001). "A history of Pi". В архиве from the original on 30 October 2007. Получено 30 октября 2007.
50. Math Forum – Ask Dr. Math
51. Eves 1992, п. 131
52. Beckmann 1971, п. 66
53. Eves 1992, п. 118
54. Eves 1992, п. 119
55. Beckmann 1971, pp. 94–95
56. "Pi Formulas - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 13 апреля 2016 г.. Получено 18 апреля 2016.
57. "What can you do with a supercomputer? - ExtremeTech".
58. Gardner, Martin (1995). "New Mathematical Diversions". Mathematical Association of America: 92.
59. A nested radical approximation for π В архиве 6 июля 2011 г. Wayback Machine
60. "Lost notebook page 16", Ramanujan
61. Hoffman, D.W. College Mathematics Journal, 40 (2009) 399
62. "Mathematics".
63. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Sequence A002485 (Numerators of convergents to Pi)". В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
64. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Sequence A002486 (Denominators of convergents to Pi)". В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
65. "Fractional Approximations of Pi".
66. Hwang Chien-Lih (2005), "An elementary derivation of Euler's series for the arctangent function", Математический вестник, 89 (516): 469–470, Дои:10.1017/S0025557200178404
67. MathWorld: BBP Formula Wolfram.com
68. Plouffe, Simon (2009). "On the computation of the n^th decimal digit of various transcendental numbers". arXiv:0912.0303v1 [math.NT ].
69. Bellard's Website: Bellard.org
70. "David H Bailey". crd.LBL.gov. Получено 11 декабря 2017.
71. "The world of Pi - Bellard". Pi314.net. 13 апреля 2013 г.. Получено 18 апреля 2016.
72. Trueb, Peter (2020). The Borwein brothers, Pi and the AGM. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 313. arXiv:1802.07558. Дои:10.1007/978-3-030-36568-4. ISBN  978-3-030-36567-7.
73. Bellard, Fabrice. "TachusPi". Получено 20 марта 2020.
74. "PiFast timings "
75. Takahashi, Daisuke; Kanada, Yasumasa (10 August 2010). "Kanada Laboratory home page". University of Tokyo. Архивировано из оригинал on 24 August 2011. Получено 1 мая 2011.

Рекомендации

• Bailey, David H.; Borwein, Peter B. & Plouffe, Simon (April 1997). "On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants" (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903–913. Bibcode:1997MaCom..66..903B. Дои:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
• Beckmann, Petr (1971). История π. Нью-Йорк: Издательство Св. Мартина. ISBN  978-0-88029-418-8. Г-Н  0449960.
• Eves, Howard (1992). An Introduction to the History of Mathematics (6-е изд.). Saunders College Publishing. ISBN  978-0-03-029558-4.
• Joseph, George G. (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (New ed., London : Penguin ed.). Лондон: Пингвин. ISBN  978-0-14-027778-4.
• Jackson, K; Stamp, J. (2002). Pyramid: Beyond Imagination. Inside the Great Pyramid of Giza. London: BBC.^{[ISBN отсутствует ]}
• Berggren, L.; Borwein, J.; Borwein, P. (2004). Pi: a source book. New York: Springer Science + Business Media LLC.^{[ISBN отсутствует ]}