Число Хегнера - Heegner number

В теория чисел, а Число Хегнера (как обозначено Конвей и Гай) положительное целое число без квадратов ${\displaystyle d}$ такой, что воображаемый квадратичное поле ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]}$ имеет номер класса ${\displaystyle 1}$. Эквивалентно, его кольцо целых чисел имеет уникальная факторизация.^[1]

Определение таких чисел - частный случай проблема номера класса, и они лежат в основе нескольких поразительных результатов теории чисел.

Согласно (Бейкер-)Теорема Штарка – Хегнера. чисел Хегнера ровно девять:

${\displaystyle 1,2,3,7,11,19,43,67,163}$. (последовательность A003173 в OEIS )

Этот результат был предположен Гаусс и доказано с незначительными недостатками Курт Хегнер в 1952 г. Алан Бейкер и Гарольд Старк независимо доказал результат в 1966 году, и Старк далее указал, что пробел в доказательстве Хегнера был незначительным.^[2]

Полином Эйлера, производящий простые числа

Эйлера простой порождающий многочлен

${\displaystyle n^{2}-n+41,\,}$

что дает (различные) простые числа для п = 1, ..., 40, связано с числом Хегнера 163 = 4 · 41 - 1.

Формула Эйлера с ${\displaystyle n}$ принятие значений 1, ... 40 эквивалентно

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$

с ${\displaystyle n}$ принимая значения 0, ... 39 и Рабинович^[3] доказал, что

${\displaystyle n^{2}+n+p\,}$

дает простые числа для ${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$ тогда и только тогда, когда эта квадратичная дискриминант ${\displaystyle 1-4p}$ отрицательное значение числа Хегнера.

(Обратите внимание, что ${\displaystyle p-1}$ дает ${\displaystyle p^{2}}$, так ${\displaystyle p-2}$ является максимальным.) 1, 2 и 3 не имеют требуемой формы, поэтому действующие числа Хегнера равны ${\displaystyle 7,11,19,43,67,163}$, что дает простые производящие функции формы Эйлера для ${\displaystyle 2,3,5,11,17,41}$; эти последние числа называются счастливые числа Эйлера к Ф. Ле Лионне.^[4]

Почти целые числа и постоянная Рамануджана

Постоянная Рамануджана это трансцендентное число^[5]${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$, что является почти целое число, в том, что это очень близко для целое число:

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots }$^[6] ${\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744.}$

Это число было открыто в 1859 году математиком Чарльз Эрмит.^[7]В 1975 году день дурака статья в Scientific American журнал^[8] Обозреватель журнала "Математические игры" Мартин Гарднер обманным путем утверждал, что это число на самом деле является целым числом и что индийский математический гений Шриниваса Рамануджан предсказал это - отсюда и его название.

Это совпадение объясняется комплексное умножение и q-расширение из j-инвариантный.

Деталь

Вкратце, ${\displaystyle j((1+{\sqrt {-d}})/2)}$ целое число дляd число Хегнера и ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j((1+{\sqrt {-d}})/2)+744}$ через q-расширение.

Если ${\displaystyle \tau }$ квадратично иррационально, то j-инвариант - это алгебраическое целое число степени ${\displaystyle |{\mbox{Cl}}(\mathbf {Q} (\tau ))|}$, то номер класса из ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$ а минимальный (монический интегральный) многочлен, которому он удовлетворяет, называется "многочленом класса Гильберта". Таким образом, если мнимое квадратичное расширение ${\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )}$ имеет класс номер 1 (так d число Хегнера), j-инвариант - целое число.

В q-расширение из j, с этими Ряд Фурье расширение, записанное как Серия Laurent с точки зрения ${\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )}$, начинается как:

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .}$

Коэффициенты ${\displaystyle c_{n}}$ асимптотически растут как ${\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O(\ln(n))}$, а младшие коэффициенты растут медленнее, чем ${\displaystyle 200\,000^{n}}$, Таким образом, для ${\displaystyle q\ll 1/200\,000}$, j очень хорошо аппроксимируется его первыми двумя членами. Параметр ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2}$ дает ${\displaystyle q=-\exp(-\pi {\sqrt {163}})}$ или эквивалентно, ${\displaystyle {\frac {1}{q}}=-\exp(\pi {\sqrt {163}})}$. Сейчас же ${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}$, так,

${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).}$

Или же,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$

где линейный член ошибки равен,

${\displaystyle -196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}$

объясняя почему ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$ находится в пределах приблизительно указанного выше целого числа.

Формулы Пи

В Братья Чудновские обнаружил в 1987 г., что

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}}}$

который использует тот факт, что ${\displaystyle j\left({\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}}$. Подобные формулы см. В Рамануджан – Сато серия.

Другие числа Хегнера

Для четырех наибольших чисел Хегнера приближения получаются^[9] являются следующими.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы,^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}$

где причина квадратов связана с определенными Серия Эйзенштейна. Для чисел Хегнера ${\displaystyle d<19}$, не получается почти целое число; четное ${\displaystyle d=19}$ не заслуживает внимания.^[11] Целое число j-инварианты сильно факторизуемы, что следует из ${\displaystyle 12^{3}(n^{2}-1)^{3}=(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1))^{3}}$ форма и фактор как,

${\displaystyle {\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5\,280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\,320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}.\end{aligned}}}$

Эти трансцендентные числа, помимо того, что они близко аппроксимируются целыми числами (которые просто алгебраические числа степени 1), можно близко аппроксимировать алгебраическими числами степени 3,^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;\ \ \qquad \qquad \qquad x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;\qquad \qquad \quad x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,001\,9;\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}}$

В корни кубик может быть точно дано частным от Функция Дедекинда эта η(τ), модульная функция, включающая корень 24-й степени и объясняющая число 24 в приближении. Они также могут быть близко аппроксимированы алгебраическими числами степени 4,^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(1-960/24+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(1-5\,280/24+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(1-640\,320/24+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}}$

Если ${\displaystyle x}$ обозначает выражение в скобках (например, ${\displaystyle x=3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}}$), он удовлетворяет соответственно уравнения четвертой степени

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{4}-4\cdot 3x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}\qquad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 9x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}\ \ \quad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 21x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}\quad \ \;-{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3=0\\\end{aligned}}}$

Обратите внимание на появление целых чисел ${\displaystyle n=3,9,21,231}$ а также тот факт, что

${\displaystyle {\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-(1-96/24)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19)=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-960/24)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43)=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-5\,280/24)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67)=5\,280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-640\,320/24)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163)=640\,320^{2}\end{aligned}}}$

которые с соответствующей дробной степенью являются в точности j-инвариантами.

Аналогично для алгебраических чисел степени 6

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$

где Иксs задаются соответственно соответствующим корнем шестнадцатеричные уравнения,

${\displaystyle {\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5\,280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}}$

с повторным появлением j-инвариантов. Эти секстики не только алгебраические, но и разрешимый в радикалы поскольку они делятся на два кубики над расширением ${\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}$ (с первым разложением на два квадратики ). Эти алгебраические приближения могут быть точно выражены в терминах отношений Дедекинда. В качестве примера пусть ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2}$, тогда,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}$

где эти-факторы - это алгебраические числа, указанные выше.

Номера класса 2

Три числа ${\displaystyle 88,148,232}$, для которого мнимая квадратичное поле ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]}$ имеет номер класса ${\displaystyle 2}$, не считаются числами Хегнера, но обладают некоторыми схожими свойствами с точки зрения почти целые числа. Например, у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744\approx \quad \quad 2\,508\,952^{2}&-.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744\approx \quad 199\,148\,648^{2}&-.000\,97\dots \\\ e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744\approx 24\,591\,257\,752^{2}&-.000\,0078\dots \\\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx (6+4{\sqrt {2}})^{6}\quad +.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}{\color {red}+}\,24&\approx (12+2{\sqrt {37}})^{6}-.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx (27+5{\sqrt {29}})^{6}-.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}}$

Последовательные простые числа

Учитывая нечетное простое числоп, если вычислить ${\displaystyle k^{2}{\pmod {p}}}$ за ${\displaystyle k=0,1,\dots ,(p-1)/2}$ (этого достаточно, потому что ${\displaystyle (p-k)^{2}\equiv k^{2}{\pmod {p}}}$), получаются последовательные композиты, за которыми следуют последовательные простые числа, если и только если п это число Хегнера.^[14]

Для получения дополнительной информации см. "Квадратичные многочлены, производящие последовательные различные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей" автора Ричард Моллин.^[15]

Примечания и ссылки

1. Конвей, Джон Хортон; Гай, Ричард К. (1996). Книга чисел. Springer. п.224. ISBN  0-387-97993-X.
2. Старк, Х. М. (1969), «О разрыве теоремы Хегнера» (PDF), Журнал теории чисел, 1: 16–27, Дои:10.1016 / 0022-314X (69) 90023-7
3. Рабинович, Георг "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern". Proc. Пятый интернат. Congress Math. (Кембридж) 1, 418–421, 1913.
4. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Париж: Герман, стр.88 и 144, 1983.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Трансцендентное число». MathWorld. дает ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}}$по материалам Нестеренко Ю. V. «Об алгебраической независимости компонентов решений системы линейных дифференциальных уравнений». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. 38, 495–512, 1974. Английский перевод в Math. СССР 8, 501–518, 1974.
6. Константа Рамануджана - из Wolfram MathWorld
7. Барроу, Джон Д. (2002). Константы природы. Лондон: Кейп Джонатан. ISBN  0-224-06135-6.
8. Гарднер, Мартин (апрель 1975 г.). «Математические игры». Scientific American. Scientific American, Inc. 232 (4): 127.
9. Это можно проверить, вычислив ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt {d}}}-744}}}$ на калькуляторе и${\displaystyle 196\,884/e^{\pi {\sqrt {d}}}}$ для линейного члена ошибки.
10. http://groups.google.com.ph/group/sci.math.research/browse_thread/thread/3d24137c9a860893?hl=en#
11. Абсолютное отклонение случайного действительного числа (выбирается равномерно из [0,1], скажем) - равномерно распределенная переменная на [0, 0.5], так что это абсолютное среднее отклонение и среднее абсолютное отклонение 0,25, и отклонение 0,22 не является исключительным.
12. «Формулы Пи».
13. "Расширение Дедекиндовских Эта-коэффициентов Рамануджана".
14. http://www.mathpages.com/home/kmath263.htm
15. Моллин, Р. А. (1996). «Квадратичные многочлены, производящие последовательные различные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей» (PDF). Acta Arithmetica. 74: 17–30.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Число Хегнера». MathWorld.
• OEIS последовательность A003173 (числа Хегнера: мнимые квадратичные поля с уникальной факторизацией)
• Проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей, Дориан Гольдфельд: Подробная история проблемы.
• Кларк, Алекс. «163 и константа Рамануджана». Numberphile. Брэди Харан. Архивировано из оригинал на 2013-05-16. Получено 2013-04-02.