Почти целое - Almost integer

Эд Пегг младший отметил, что длина d равно ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{30}}(61421-23{\sqrt {5831385}})}}}$ что очень близко к 7 (около 7,0000000857)^[1]

В развлекательная математика, почти целое число (или же почти целое число) - любое число, не являющееся целое число но очень близок к одному. Почти целые числа считаются интересными, когда они возникают в каком-то контексте, в котором они являются неожиданными.

Почти целые числа, относящиеся к золотому сечению и числам Фибоначчи

Хорошо известные примеры почти целых чисел - высокие степени Золотое сечение ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}$, Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi ^{17}&={\frac {3571+1597{\sqrt {5}}}{2}}\approx 3571.00028\\[6pt]\phi ^{18}&=2889+1292{\sqrt {5}}\approx 5777.999827\\[6pt]\phi ^{19}&={\frac {9349+4181{\sqrt {5}}}{2}}\approx 9349.000107\end{aligned}}}$

Тот факт, что эти степени приближаются к целым числам, не является случайным, потому что золотое сечение есть Число Писот – Виджаярагаван.

Соотношения Фибоначчи или же Лукас числа также могут образовывать бесчисленные почти целые числа, например:

• ${\displaystyle \operatorname {Fib} (360)/\operatorname {Fib} (216)\approx 1242282009792667284144565908481.999999999999999999999999999999195}$
• ${\displaystyle \operatorname {Lucas} (361)/\operatorname {Lucas} (216)\approx 2010054515457065378082322433761.000000000000000000000000000000497}$

Приведенные выше примеры могут быть обобщены следующими последовательностями, которые генерируют почти целые числа, приближающиеся к числам Люка с возрастающей точностью:

• ${\displaystyle a(n)=\operatorname {Fib} (45\times 2^{n})/\operatorname {Fib} (27\times 2^{n})\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n})}$
• ${\displaystyle a(n)=\operatorname {Lucas} (45\times 2^{n}+1)/\operatorname {Lucas} (27\times 2^{n})\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n}+1)}$

В качестве п увеличивается, количество последовательных девяток или нулей, начиная с десятого места а(п) стремится к бесконечности.

Почти целые числа, относящиеся к е и π

Другие случаи несовпадения почти целых чисел связаны с тремя наибольшими Числа Хегнера:

• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}\approx 884736743.999777466}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}\approx 147197952743.999998662454}$
• ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768743.99999999999925007}$

где несовпадение можно лучше оценить, если выразить его в простой простой форме:^[2]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {43}}}=12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-(2.225\ldots )\times 10^{-4}}$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {67}}}=12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-(1.337\ldots )\times 10^{-6}}$

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-(7.499\ldots )\times 10^{-13}}$

куда

${\displaystyle 21=3\times 7,\quad 231=3\times 7\times 11,\quad 744=24\times 31}$

и причина того, что квадраты связаны с определенными Серия Эйзенштейна. Постоянная ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$иногда упоминается как Постоянная Рамануджана.

Почти целые числа, включающие математические константы π и е часто озадачивали математиков. Пример: ${\displaystyle e^{\pi }-\pi =19.999099979189\ldots }$На сегодняшний день не было дано никаких объяснений, почему Постоянная Гельфонда (${\displaystyle e^{\pi }}$) почти идентичен ${\displaystyle \pi +20}$,^[1] который поэтому считается математическое совпадение.

Смотрите также

• Шизофреническое число

Рекомендации

1. Эрик Вайсштейн, «Почти целое» в MathWorld
2. http://groups.google.com.ph/group/sci.math.research/browse_thread/thread/3d24137c9a860893?hl=en#

внешняя ссылка

• J.S. Маркович Совпадение, сжатие данных и концепция экономии мышления Маха