Список сумм обратных величин - List of sums of reciprocals

В математика и особенно теория чисел, то сумма взаимных обычно вычисляется для взаимные некоторых или всех положительный целые числа (подсчет чисел) - то есть обычно это сумма единицы измерения. Если у бесконечно большого числа чисел суммируются обратные величины, обычно члены даются в определенной последовательности, и первые п из них суммируются, затем включается еще один, чтобы получить сумму первых п+1 из них и т. Д.

Если включено только конечное число чисел, ключевой проблемой обычно является поиск простого выражения для значения суммы или требование, чтобы сумма была меньше определенного значения, или определение того, является ли сумма когда-либо целым числом.

Для бесконечная серия обратных величин, возникают двоякие вопросы: во-первых, последовательность сумм расходиться - то есть превосходит ли оно в конечном итоге любое заданное число - или сходиться, то есть есть какое-то число, к которому оно приближается произвольно, но никогда не превышает его? (Набор натуральных чисел называется большой если сумма его обратных величин расходится, и мала, если он сходится.) Во-вторых, если он сходится, то какое простое выражение для значения, к которому оно сходится, является ли это значение рациональный или же иррациональный, и это значение алгебраический или же трансцендентный ?^[1]

Конечное количество терминов

В гармоническое среднее набора положительных целых чисел - это количество чисел, умноженное на обратную сумму их обратных чисел.
В оптическое уравнение требует суммы обратных двух положительных целых чисел а и б равняться обратной величине третьего положительного целого числа c. Все решения предоставлены а = мин + м², б = мин + п², c = мин. Это уравнение появляется в различных контекстах в элементарных геометрия.
В Гипотеза Ферма – Каталонии касается определенного Диофантово уравнение, приравнивая сумму двух членов, каждое из которых является положительным целым числом в степени положительного целого числа, третьему члену, которое также является положительным целым числом в степени положительного целого числа (при этом основные целые числа не имеют общего простого множителя). Гипотеза спрашивает, имеет ли уравнение бесконечное количество решений, в которых сумма обратных величин трех показателей в уравнении должна быть меньше 1. Цель этого ограничения - исключить известную бесконечность решений, в которых два показателя равны 2. а другой показатель - любое четное число.
В п-й номер гармоники, который представляет собой сумму обратных величин первого п положительные целые числа, никогда не бывает целым, за исключением случаяп = 1.
Более того, Йожеф Кюршак в 1918 году доказал, что сумма обратных последовательных натуральных чисел (начиная с 1 или нет) никогда не бывает целым числом.
Сумма обратные первому п простые числа не является целым числом для любого п.
Есть 14 различных комбинаций из четырех целых чисел, сумма их обратных чисел равна 1, шесть из которых используют четыре различных целых числа, а восемь повторяют по крайней мере одно целое число.
An Египетская фракция представляет собой сумму конечного числа обратных положительных целых чисел. Согласно доказательству Проблема Эрдеша – Грэма, если набор целые числа больше единицы разделенный на конечное число подмножеств, то одно из подмножеств может быть использовано для формирования Египетская фракция представление 1.
В Гипотеза Эрдеша – Штрауса утверждает, что для всех целых чисел п ≥ 2 рациональное число 4 /п может быть выражено как сумма трех обратных положительных целых чисел.
В Коэффициент Ферма с основанием 2, которое ${ displaystyle { frac {2 ^ {p-1} -1} {p}}}$ для нечетного простого п, когда выражено в мод п и умноженный на –2, равен сумме обратных величин по модулюп чисел, лежащих в первой половине диапазона {1,п − 1}.
В любом треугольник, сумма обратных величин высоты равно обратной величине радиус из окружать (независимо от того, являются ли они целыми числами).
В прямоугольный треугольник, сумма квадратов высот от катетов (то есть квадратов самих катетов) равна обратной величине квадрата высоты от гипотенузы. Это справедливо независимо от того, являются ли числа целыми или нет; есть формула (см. Вот ), который генерирует все целочисленные случаи.
Треугольник не обязательно в Евклидова плоскость можно указать как имеющие углы ${ displaystyle { frac { pi} {p}},}$ ${ displaystyle { frac { pi} {q}},}$ и ${ displaystyle { frac { pi} {r}}.}$ Тогда треугольник находится в евклидовом пространстве, если сумма обратных величин р, д, и р равно 1, сферическое пространство если эта сумма больше 1, и гиперболическое пространство если сумма меньше 1.
А число гармонического делителя натуральное число, делители которого имеют гармоническое среднее это целое число. Первые пять из них - это 1, 6, 28, 140 и 270. Неизвестно, являются ли какие-либо числа гармонических делителей (кроме 1) нечетными, но нет нечетных меньше 10.²⁴.
Сумма обратных величин делители из идеальное число равно 2.
Когда восемь точек распределены по поверхности сфера с целью максимального увеличения расстояния между ними в некотором смысле получившаяся форма соответствует квадратная антипризма. Конкретные методы распределения точек включают, например, минимизацию суммы всех обратных квадратов расстояний между точками.

Бесконечно много терминов

Сходящийся ряд

А последовательность без сумм возрастающих положительных целых чисел - это тот, для которого никакое число не является суммой любых подмножество из предыдущих. Сумма обратных чисел в любой последовательности без сумм меньше 2,8570.
Сумма обратных величин семиугольные числа сходится к известному значению, которое не только иррациональный но также трансцендентный, и для которого существует сложная формула.
Сумма обратных величин простые числа-близнецы, которых может быть как конечное, так и бесконечное множество, известно как конечное число и называется Постоянная Бруна, примерно 1,9022.
В первоклассные четверки - это пары простых чисел-близнецов, между которыми находится только одно нечетное число. Сумма обратных чисел в простых четверках приблизительно равна 0,8706.
Сумма обратных величин совершенные силы (включая дубликаты) - 1.
Сумма обратных величин совершенные силы (без учета дубликатов) составляет примерно 0,8745.^[2]
Сумма обратных степеней ${ Displaystyle п ^ {п}}$ примерно равно 1,2913. Сумма в точности равна определенной интеграл:

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {n}}} = int _ {0} ^ {1} { frac {1} {x ^ {x}}} , dx}

Эта личность была обнаружена Иоганн Бернулли в 1697 году и теперь известен как один из двух Мечта второкурсницы идентичности.

В Теорема Гольдбаха – Эйлера утверждает, что сумма обратных чисел чисел, которые на 1 меньше абсолютной степени (исключая дубликаты), равна 1.
Сумма обратных значений всех ненулевых треугольные числа равно 2.
В обратная константа Фибоначчи это сумма обратных величин Числа Фибоначчи, которая, как известно, конечна и иррациональна и приблизительно равна 3,3599. Для других конечных сумм подмножеств обратных чисел Фибоначчи см. Вот.
An экспоненциальный факториал это число, полученное в процессе повышения п к власти п - 1, затем возводя результат в степень п - 2 и так далее. Сумма обратных экспоненциальных факториалов от 1 и далее составляет приблизительно 1,6111 и является трансцендентной.
А мощное число - натуральное число, для которого каждое простое число, входящее в его простые множители появляется там минимум дважды. Сумма обратных сильных чисел - конечное трансцендентное число.
Обратные факториалы сумма к трансцендентному числу е.
Сумма обратных величин квадратные числа (в Базельская проблема ) - трансцендентное число $π$ ²/6, или ζ (2), где ζ - Дзета-функция Римана.
Сумма обратных кубов целых положительных чисел называется Постоянная апери, и составляет примерно 1,2021. Это число иррационально, но неизвестно, трансцендентно оно или нет.
Обратные неотрицательного целого числа степени 2 сумма до 2.
В Серия Кемпнер представляет собой сумму обратных чисел всех положительных целых чисел, не содержащих цифры "9" в базе 10. В отличие от гармонический ряд, что не исключает этих чисел, этот ряд сходится, в частности, приблизительно к 22,9207.
А палиндромное число тот, который остается неизменным, когда его цифры меняются местами. Сумма обратных величин палиндромных чисел сходится примерно к 3,3703.
А число пентатопа число в пятой ячейке любой строки Треугольник Паскаля начиная с 5-членного ряда 1 4 6 4 1. Сумма обратных чисел пентатопов равна 4/3.
Последовательность Сильвестра является целочисленная последовательность в котором каждый член последовательности является произведением предыдущих членов плюс один. Первые несколько членов последовательности - 2, 3, 7, 43, 1807. Сумма обратных чисел в последовательности Сильвестра равна 1.
В Дзета-функция Римана ζ(s) это функция из комплексная переменная s который аналитически продолжается сумма бесконечного ряда ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {s}}}.}$ Он сходится, если действительная часть s больше 1.
Сумма обратных значений всех Числа Ферма (номера формы ${ Displaystyle 2 ^ {(2 ^ {п})} + 1}$ ) (последовательность A051158 в OEIS ) является иррациональный.
Сумма обратных величин пронические числа (произведение двух последовательных целых чисел) (исключая 0) равно 1 (см. Телескопическая серия ).

Расходящаяся серия

В п-я частичная сумма гармонический ряд, который представляет собой сумму обратных величин первого п положительные целые числа, расходится как п уходит в бесконечность, хотя и крайне медленно: сумма первых 10⁴³ меньше 100. Разница между накопленной суммой и суммой натуральный логарифм из п сходится к Константа Эйлера – Маскерони, обычно обозначаемый как ${ displaystyle gamma,}$ что примерно равно 0,5772.
В сумма обратных простых чисел расходится.
Сильная форма Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях означает, что сумма обратных простых чисел вида 4п + 3 расходится.
Аналогично, сумма обратных простых чисел вида 4п + 1 расходится. К Теорема Ферма о суммах двух квадратов, следует, что сумма обратных чисел вида ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}}$ , куда а, б неотрицательные целые числа, оба не равные 0, расходится, с повторением или без него.
В Гипотеза Эрдеша об арифметических прогрессиях гласит, что если сумма обратных значений членов набора А натуральных чисел расходится, то А содержит арифметические прогрессии любой длины, какой бы большой она ни была. По состоянию на 2020 год^{[Обновить]} гипотеза остается недоказанной.

Список сумм обратных величин - List of sums of reciprocals

Содержание

Конечное количество терминов

Бесконечно много терминов

Сходящийся ряд

Расходящаяся серия

Смотрите также

Рекомендации