Взаимная постоянная Фибоначчи - Reciprocal Fibonacci constant

В обратная константа Фибоначчи, или же ψ, определяется как сумма взаимные из Числа Фибоначчи:

{displaystyle psi = sum _ {k = 1} ^ {infty} {frac {1} {F_ {k}}} = {frac {1} {1}} + {frac {1} {1}} + {frac {1} {2}} + {frac {1} {3}} + {frac {1} {5}} + {frac {1} {8}} + {frac {1} {13}} + {frac {1} {21}} + cdots.}

Отношение следующих друг за другом слагаемых в этой сумме стремится к величине, обратной величине Золотое сечение. Поскольку это меньше 1, тест соотношения показывает, что сумма сходится.

Известно, что значение ψ приблизительно равно

{displaystyle psi = 3.359885666243177553172011302918927179688905133732dots.}

(последовательность A079586 в OEIS )

Госпер описывает алгоритм быстрой численной аппроксимации его значения. Сам обратный ряд Фибоначчи дает O (k) цифр точности для k сроки расширения, в то время как Госпер ускоренная серия обеспечивает O (k²) цифры.^[1]ψ как известно иррациональный; это свойство было предположено Пол Эрдёш, Рональд Грэм, и Леонард Карлитц, и доказано в 1989 г. Ричард Андре-Жаннин.^[2]