Серийное ускорение - Series acceleration

В математика, серийное ускорение является одним из коллекции преобразования последовательности для улучшения скорость сходимости из серии. Методы последовательного ускорения часто применяются в числовой анализ, где они используются для повышения скорости численное интегрирование. Также можно использовать методы последовательного ускорения, например, для получения различных идентификаторов на специальные функции. Таким образом Преобразование Эйлера применяется к гипергеометрический ряд дает некоторые из классических, хорошо известных тождеств гипергеометрических рядов.

Определение

Учитывая последовательность

${\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

имеющий предел

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\ell ,}$

ускоренная серия - вторая последовательность

${\displaystyle S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

который сходится быстрее к ${\displaystyle \ell }$ чем исходная последовательность, в том смысле, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.}$

Если исходная последовательность расходящийся, то преобразование последовательности действует как метод экстраполяции к антилимит ${\displaystyle \ell }$.

Отображения оригинала в преобразованный ряд могут быть линейными (как определено в статье преобразования последовательности ) или нелинейный. В общем, преобразования нелинейной последовательности имеют тенденцию быть более мощными.

Обзор

Два классических метода последовательного ускорения: Преобразование Эйлера ряда^[1] и Куммер преобразование ряда.^[2] В 20-м веке было разработано множество гораздо более быстро конвергентных и специальных инструментов, включая Экстраполяция Ричардсона, представлен Льюис Фрай Ричардсон в начале 20 века, но также известны и использовались Катахиро Такебе в 1722 г .; то Дельта-квадратный процесс Эйткена, представлен Александр Айткен в 1926 году, но также известен и используется Такакадзу Секи в 18 веке; то эпсилон метод данный Питер Винн в 1956 г .; то Левин u-преобразование; и метод Вильфа-Цайльбергера-Экхада или Метод WZ.

Для чередующихся рядов используются несколько мощных методов, обеспечивающих скорость сходимости от ${\displaystyle 5.828^{-n}}$ полностью до ${\displaystyle 17.93^{-n}}$ для суммирования ${\displaystyle n}$ термины, описанные Коэном и другие..^[3]

Преобразование Эйлера

Базовый пример преобразование линейной последовательности, предлагая улучшенную сходимость, является преобразованием Эйлера. Он предназначен для применения в чередующейся серии; это дается

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}}$

где ${\displaystyle \Delta }$ это оператор прямой разницы:

${\displaystyle \Delta ^{n}a_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{n-k}.}$

Если исходный ряд с левой стороны только медленно сходится, прямые различия будут иметь тенденцию становиться небольшими довольно быстро; дополнительная мощность двух еще больше улучшает скорость схождения правой стороны.

Особенно эффективной численной реализацией преобразования Эйлера является преобразование ван Вейнгаардена.^[4]

Конформные отображения

Набор

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

можно записать как f (1), где функция f (z) определяется как

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

Функция f (z) может иметь особенности на комплексной плоскости (особенности точек ветвления, полюсы или существенные особенности), которые ограничивают радиус сходимости ряда. Если точка z = 1 находится близко или на границе диска сходимости, ряд для S будет очень медленно сходиться. Затем можно улучшить сходимость ряда с помощью конформного отображения, которое перемещает особенности так, что точка, отображаемая в z = 1, оказывается глубже в новом круге сходимости.

Конформное преобразование ${\displaystyle z=\Phi (w)}$ нужно выбрать так, чтобы ${\displaystyle \Phi (0)=0}$, и обычно выбирают функцию, имеющую конечную производную при w = 0. Можно считать, что ${\displaystyle \Phi (1)=1}$ без потери общности, так как всегда можно изменить масштаб w, чтобы переопределить ${\displaystyle \Phi }$. Затем рассмотрим функцию

${\displaystyle g(w)=f\left(\Phi (w)\right)}$

С ${\displaystyle \Phi (1)=1}$, имеем f (1) = g (1). Мы можем получить разложение g (w) в ряд, положив ${\displaystyle z=\Phi (w)}$ в разложении f (z) в ряд, поскольку ${\displaystyle \Phi (0)=0}$; первые n членов разложения в ряд для f (z) дадут первые n членов разложения в ряд для g (w), если ${\displaystyle \Phi '(0)\neq 0}$. Если положить w = 1 в это расширение ряда, получится такой ряд, который, если он сходится, сходится к тому же значению, что и исходный ряд.

Нелинейные преобразования последовательности

Примеры таких нелинейных преобразований последовательностей: Аппроксимации Паде, то Трансформация хвостовика, и Преобразования последовательности Левина.

В частности, нелинейные преобразования последовательности часто предоставляют мощные численные методы для суммирование из расходящийся ряд или асимптотический ряд которые возникают, например, в теория возмущений, и может использоваться как высокоэффективный методы экстраполяции.

Метод Эйткена

Основная статья: Дельта-квадрат процесс Эйткена

Простое преобразование нелинейной последовательности - это экстраполяция Эйткена или метод дельта-квадрата,

${\displaystyle \mathbb {A} :S\to S'=\mathbb {A} (S)={(s'_{n})}_{n\in \mathbb {N} }}$

определяется

${\displaystyle s'_{n}=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}}.}$

Это преобразование обычно используется для улучшения скорость сходимости медленно сходящейся последовательности; эвристически он устраняет большую часть абсолютная ошибка.

Смотрите также

• Трансформация хвостовика
• Минимальная полиномиальная экстраполяция
• Преобразование Ван Вейнгаардена

Рекомендации

1. Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 3, уравнение 3.6.27». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 16. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. Г-Н  0167642. LCCN  65-12253.
2. Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 3, уравнение 3.6.26». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 16. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. Г-Н  0167642. LCCN  65-12253.
3. Анри Коэн, Фернандо Родригес Вильегас и Дон Загир,"Ускорение сходимости чередующихся рядов ", Экспериментальная математика, 9: 1 (2000) стр. 3.
4. Уильям Х. Пресс, и другие., Числовые рецепты на C, (1987) Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-43108-5 (См. Раздел 5.1).

• К. Брезинский и М. Редиво Загля, Методы экстраполяции. Теория и практика, Северная Голландия, 1991.
• Дж. А. Бейкер-младший и П. Грейвс-Моррис, Аппроксиманты Паде, Кембридж, США, 1996.
• Вайсштейн, Эрик В. «Улучшение конвергенции». MathWorld.
• Герберт Х. Х. Хомайер, Скалярные преобразования последовательности типа Левина, Журнал вычислительной и прикладной математики, вып. 122, нет. 1-2, стр. 81 (2000). Гомейер, Х. Х. (2000). «Скалярные преобразования последовательностей типа Левина». Журнал вычислительной и прикладной математики. 122: 81. arXiv:математика / 0005209. Bibcode:2000JCoAM.122 ... 81H. Дои:10.1016 / S0377-0427 (00) 00359-9., arXiv:математика / 0005209.
• Брезинский, К., и Редиво-Загля, М. (2019). Возникновение и раннее развитие процесса Эйткена, преобразование Шанкса, ${\displaystyle \epsilon }$-алгоритм и связанные методы с фиксированной точкой. Численные алгоритмы, 80 (1), 11-133.

внешняя ссылка

• Ускорение сходимости серий
• Научная библиотека GNU, ускорение серий
• Электронная библиотека математических функций