Преобразование Куммерса ряда - Kummers transformation of series - Wikipedia

В математике, особенно в области числовой анализ, Куммер преобразование ряда это метод, используемый для ускорить конвергенцию бесконечной серии. Метод был впервые предложен Эрнст Куммер в 1837 г.

Позволять

${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

- бесконечная сумма, значение которой мы хотим вычислить, и пусть

${\displaystyle B=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$

быть бесконечной суммой со сравнимыми членами, значение которых известно. Если

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\gamma \neq 0}$

тогда A легче вычислить как

${\displaystyle A=\gamma B+\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\gamma {\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)a_{n}=\gamma B+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}-\gamma b_{n}.}$

Пример

Применяем метод ускорения Формула Лейбница для π:

${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \,=\,{\frac {\pi }{4}}.}$

Термины первой группы попарно как

${\displaystyle 1-\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}\right)-\left({\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}\right)+\cdots }$

${\displaystyle \,=1-2\left({\frac {1}{15}}+{\frac {1}{63}}+\cdots \right)=1-2A}$

куда

${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16n^{2}-1}}}$

Позволять

${\displaystyle B=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-1}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}+\cdots }$

${\displaystyle \,={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{10}}+\cdots }$

который является телескопическая серия с суммой¹⁄₂.В этом случае

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{16n^{2}-1}}{\frac {1}{4n^{2}-1}}}={\frac {4n^{2}-1}{16n^{2}-1}}={\frac {1}{4}}}$

и преобразование Куммера дает

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {\frac {1}{4n^{2}-1}}{\frac {1}{16n^{2}-1}}}\right){\frac {1}{16n^{2}-1}}.}$

Это упрощает

${\displaystyle A={\frac {1}{8}}-{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(16n^{2}-1)(4n^{2}-1)}}}$

который сходится намного быстрее, чем исходный ряд.

Смотрите также

• Преобразование Эйлера

Рекомендации

• Сенатов, В.В. (2001) [1994], «Трансформация Куммера», Энциклопедия математики, EMS Press
• Кнопп, Конрад (2013). Теория и применение бесконечных рядов. Курьерская корпорация. п. 247.
• Кейт Конрад. «Ускорение сходимости серий» (PDF).
• Куммер, Э. (1837). "Eine neue Methode, die numerischen Summen langsam convergirender Reihen zu berech-nen". J. Reine Angew. Математика. (16): 206–214.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Трансформация серии Куммера». MathWorld.