Теорема Брауэрса об индуцированных характерах - Brauers theorem on induced characters - Wikipedia

Теорема Брауэра об индуцированных характерах, часто известный как Теорема индукции Брауэра, и назван в честь Ричард Брауэр, является основным результатом в ветви математика известный как теория характера, в теория представлений конечной группы.

Фон

Предшественником теоремы индукции Брауэра был Теорема индукции Артина, в котором говорится, что |грамм| раз тривиальный характер грамм представляет собой целочисленную комбинацию характеров, каждый из которых индуцирован из тривиальных характеров циклических подгрупп группы ГРАММ. Теорема Брауэра устраняет множитель |грамм|, но за счет расширения набора используемых подгрупп. Спустя несколько лет после появления доказательства теоремы Брауэра, J.A. Зеленый показал (в 1955 г.), что никакая теорема индукции (с целочисленными комбинациями характеров, индуцированных из линейных характеров) не может быть доказана с набором подгрупп, меньших, чем элементарные подгруппы Брауэра.

Другой результат между теоремой индукции Артина и теоремой индукции Брауэра, также принадлежащий Брауэру и также известный как Теорема Брауэра или же Лемма Брауэра заключается в том, что регулярное представление грамм можно записать как ${ displaystyle 1+ sum lambda _ {i} rho _ {i}}$ где ${ displaystyle lambda _ {я}}$ находятся положительный разум и ${ displaystyle rho _ {я}}$ индуцированы из характеров циклических подгрупп группы грамм. Отметим, что в теореме Артина характеры индуцированы из тривиального характера циклической группы, а здесь они индуцированы из произвольных характеров (в приложениях к теории Артина). L функций важно, чтобы группы были циклическими и, следовательно, все характеры были линейными, что соответствует L функции аналитические).^[1]

Заявление

Позволять грамм быть конечная группа и пусть Char (грамм) обозначают подкольцо кольца комплекснозначных функции класса из грамм состоящий из целочисленных комбинаций неприводимые персонажи. Char (грамм) известен как кольцо персонажа из грамм, а его элементы известны как виртуальные персонажи (альтернативно, как обобщенные персонажи, а иногда отличительные символы). Это кольцо в силу того, что произведение персонажей грамм снова персонаж ГРАММ. Его умножение дается поэлементным произведением функций класса.

Индукционная теорема Брауэра показывает, что кольцо характеров может быть порождено (как абелева группа ) к индуцированные персонажи формы ${ displaystyle lambda _ {H} ^ {G}}$ , куда ЧАС колеблется над подгруппы из грамм и λ пробегает линейные персонажи (со степенью 1) ЧАС.

Фактически Брауэр показал, что подгруппы ЧАС можно было выбрать из очень ограниченной коллекции, которая теперь называется Элементарные подгруппы Брауэра. Это прямые произведения циклических групп и групп, порядок которых является степенью простого числа.

Доказательства

Доказательство теоремы индукции Брауэра использует кольцевую структуру Char (грамм) (в большинстве доказательств также используется кольцо немного большего размера, Char * (G), которое состоит из ${ Displaystyle mathbb {Z} [ omega]}$ -комбинации неприводимых характеров, где ω - примитивный комплекс |грамм| -й корень из единицы). Множество целочисленных комбинаций характеров, индуцированных из линейных характеров элементарных подгрупп Брауэра, является идеалом я(грамм) Чар (грамм), поэтому доказательство сводится к тому, чтобы показать, что тривиальный характер принадлежит я(грамм). Несколько доказательств теоремы, начиная с доказательства Брауэра и Джон Тейт, покажем, что тривиальный характер принадлежит аналогично определенному идеалу я*(грамм) Char * (грамм), сосредоточив внимание на одном простом п за один раз и построение целочисленных элементов я*(грамм), которые отличаются (поэлементно) от тривиального символа на (целые кратные) достаточно высокой степени п. Как только это достигается для каждого простого делителя |грамм|, некоторые манипуляции с конгруэнциями и алгебраические целые числа, снова используя тот факт, что я*(грамм) - идеал в Ch * (грамм), поместите тривиальный символ в я(грамм). Вспомогательный результат здесь состоит в том, что ${ Displaystyle mathbb {Z} [ omega]}$ -значная функция класса лежит в идеале я*(грамм), если все его значения делимы (в ${ Displaystyle mathbb {Z} [ omega]}$ ) пользователем |грамм|.

Теорема индукции Брауэра была доказана в 1946 году, и сейчас существует множество альтернативных доказательств. В 1986 году Виктор Снайт дал доказательство радикально иным подходом, топологическим по своей природе (приложение Теорема Лефшеца о неподвижной точке ). Недавно была связана соответствующая работа по вопросу о нахождении естественных и явных форм теоремы Брауэра, в частности, авторами Роберт Болтье.

Приложения

С помощью Взаимность Фробениуса, Теорема индукции Брауэра легко приводит к его фундаментальным характеристика персонажей, который утверждает, что комплекснозначная функция класса грамм является виртуальным персонажем тогда и только тогда, когда его ограничение на каждую элементарную подгруппу Брауэра грамм виртуальный персонаж. Этот результат вместе с тем фактом, что виртуальный характер θ является неприводимым характером, и только если θ (1) > 0 и ${ Displaystyle langle theta, theta rangle = 1}$ (куда ${ displaystyle langle, rangle}$ это обычный внутреннее произведение на кольце комплекснозначных функций класса ) дает средства построения неприводимых характеров без явного построения ассоциированных представлений.

Первоначальным мотивом для индукционной теоремы Брауэра было приложение к Артина L-функции. Это показывает, что они построены из L-функции Дирихле, или более общий L-функции Гекке. Для этого приложения очень важно, каждый ли персонаж из грамм это неотрицательный целочисленная комбинация символов, индуцированная из линейных символов подгрупп. В общем, это не так. Фактически, по теореме Такеты, если все персонажи грамм настолько выразительны, то грамм должен быть разрешимая группа (хотя сама по себе разрешимость не гарантирует таких выражений - например, разрешимая группа SL (2,3) имеет неприводимый комплексный характер степени 2, который не может быть выражен как неотрицательная целочисленная комбинация символов, индуцированная из линейных характеров подгрупп). Составной частью доказательства теоремы индукции Брауэра является то, что когда грамм конечный нильпотентная группа, каждый сложный неприводимый характер грамм индуцируется линейным характером некоторой подгруппы.

дальнейшее чтение

Снайт, В. П. (1994). Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел. Кембриджские исследования в области высшей математики. 40. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46015-8. Zbl 0991.20005.

Примечания

^ Серж Ланг, Алгебраическая теория чисел, приложение к главе XVI

[1] Серж Ланг, Алгебраическая теория чисел, приложение к главе XVI

[1]