Регулярное представительство - Regular representation - Wikipedia

В математика, и в частности теория групповые представления, то регулярное представительство группы грамм это линейное представление предоставленный групповое действие из грамм на себя перевод.

Различают левое регулярное представление λ, заданное левым переносом, и правильное регулярное представление ρ задается обратным правому переносу.

Конечные группы

Для конечная группа грамм, левое регулярное представление λ (над поле K) - линейное представление на K-векторное пространство V свободно генерируется элементами грамм, я. е. их можно отождествить с основа из V. Данный грамм ∈ грамм, λ_грамм является линейным отображением, определяемым его действием на основе левого перевода на грамм, т.е.

{ displaystyle lambda _ {g}: h mapsto gh, { text {для всех}} h in G.}

Для правильного регулярного представления ρ должна произойти инверсия, чтобы удовлетворить аксиомам представления. В частности, учитывая грамм ∈ грамм, ρ_грамм линейная карта на V определяется своим действием на основании правильного перевода грамм⁻¹, т.е.

{ displaystyle rho _ {g}: h mapsto hg ^ {- 1}, { text {для всех}} h in G. }

В качестве альтернативы эти представления могут быть определены на K-векторное пространство W всех функций грамм → K. Именно в таком виде регулярное представление обобщается на топологические группы Такие как Группы Ли.

Конкретное определение с точки зрения W как следует. Учитывая функцию ж : грамм → K и элемент грамм ∈ грамм,

{ displaystyle ( lambda _ {g} f) (x) = f ( lambda _ {g} ^ {- 1} (x)) = f ({g} ^ {- 1} x)}

и

{ Displaystyle ( rho _ {g} f) (x) = f ( rho _ {g} ^ {- 1} (x)) = f (xg).}

Значение регулярного представления группы

Каждая группа грамм действует сам на себя переводами. Если рассматривать это действие как перестановочное представление он характеризуется как наличие единственного орбита и стабилизатор тождественная подгруппа {е} из грамм. Регулярное представление грамм, для данного поля K, является линейным представлением, полученным путем принятия этого представления перестановки как набора базисные векторы из векторное пространство над K. Смысл в том, что, хотя представление перестановки не разлагается - оно переходный - регулярное представление вообще распадается на более мелкие представления. Например, если грамм конечная группа и K это комплексное число поле, регулярное представление распадается как прямая сумма из неприводимые представления, причем каждое неприводимое представление появляется в разложении с кратностью своей размерности. Количество этих неприводимых равно количеству классы сопряженности из грамм.

Этот факт можно объяснить теория характера. Напомним, что характер регулярного представления χ(грамм) количество неподвижных точек грамм действуя по регулярному представлению V. Это означает, что количество неподвижных точек χ(грамм) равно нулю, когда грамм не является я бы и |грамм| иначе. Позволять V имеет разложение ⊕а_яV_я куда V_яявляются неприводимыми представлениями грамм и а_яs - соответствующие кратности. К теория характера, кратность а_я можно вычислить как

${ displaystyle a_ {i} = langle chi, chi _ {i} rangle = { frac {1} {| G |}} sum { overline { chi (g)}} chi _ {i} (g) = { frac {1} {| G |}} chi (1) chi _ {i} (1) = operatorname {dim} V_ {i},}$ что означает, что кратность каждого неприводимого представления является его размерностью.

Статья о групповые кольца формулирует регулярное представление для конечные группы, а также показывает, как обычное представление можно считать модуль.

Точка зрения теории модулей

Говоря более абстрактно, групповое кольцо K[грамм] рассматривается как модуль над собой. (Здесь можно выбрать левое или правое действие, но это не имеет значения, за исключением обозначений.) Если грамм конечно и характеристика K не делит |грамм|, это полупростое кольцо и мы смотрим на его левую (правую) идеалы кольца. Эта теория изучена очень глубоко. В частности, известно, что разложение в прямую сумму регулярного представления содержит представителя каждого класса изоморфизма неприводимых линейных представлений грамм над K. Вы можете сказать, что обычное представление всесторонний для теории представлений, в этом случае. Модульный случай, когда характеристика K делит |грамм|, сложнее, потому что с K[грамм] не полупростое, представление может не быть неприводимым без разбиения в виде прямой суммы.

Структура конечных циклических групп

Для циклическая группа C создано грамм порядка п, матричная форма элемента K[C] действующий на K[C] умножением принимает отличительную форму, известную как циркулянтная матрица, в котором каждая строка представляет собой сдвиг вправо от предыдущей (в циклический порядок, то есть с крайним правым элементом, появляющимся слева), когда речь идет о естественном базисе

1, грамм, грамм², ..., грамм^п−1.

Когда поле K содержит примитивный корень n-й степени из единицы, можно диагонализовать представление C записывая п линейно независимые одновременные собственные векторы для всех п×п циркулянты. В самом деле, если ζ произвольно пкорень -й степени из единицы, элемент

1 + ζграмм + ζ²грамм² + ... + ζ^п−1грамм^п−1

является собственным вектором действия грамм умножением на собственное значение

ζ⁻¹

а также собственный вектор всех степеней грамм, и их линейные комбинации.

Это явная форма в данном случае абстрактного результата, который над алгебраически замкнутое поле K (такой как сложные числа ) регулярное представление грамм является полностью сводимый при условии, что характеристика K (если это простое число п) не делит порядок грамм. Это называется Теорема Машке. В этом случае условие на характеристику подразумевает наличие примитивный п-корень -й степени из единицы, чего не может произойти в случае простой характеристики п разделение п.

Циркулянт детерминанты впервые встретились в математике девятнадцатого века, и были сделаны выводы из их диагонализации. А именно, определитель циркулянта является произведением п собственные значения для п собственные векторы, описанные выше. Основная работа Фробениус на групповые представления началось с мотивации поиска аналогичных факторизаций групповые детерминанты для любого конечного грамм; то есть определители произвольных матриц, представляющих элементы K[грамм] действуя умножением на базисные элементы, заданные формулой грамм в грамм. Пока не грамм является абелевский, факторизация должна содержать нелинейные множители, соответствующие неприводимые представления из грамм степени> 1.

Случай топологической группы

Для топологической группы грамм, регулярное представление в указанном выше смысле следует заменить подходящим пространством функций на грамм, с грамм действует переводом. Видеть Теорема Питера – Вейля для компактный дело. Если грамм является группой Ли, но не компактной и абелевский, это сложный вопрос гармонический анализ. В локально компактный абелев случай является частью Понтрягинская двойственность теория.

Нормальные базисы в теории Галуа

В Теория Галуа показано, что для поля L, и конечная группа грамм из автоморфизмы из L, фиксированное поле K из грамм имеет [L:K] = |грамм|, Фактически мы можем сказать больше: L рассматривается как K[грамм] -модуль является регулярным представлением. Это содержание теорема о нормальном базисе, а нормальная основа быть элементом Икс из L так что грамм(Икс) за грамм в грамм площадь векторное пространство основа для L над K. Такой Икс существуют, и каждый дает K[грамм] -изоморфизм из L к K[грамм]. С точки зрения алгебраическая теория чисел интересно учиться нормальные интегральные базы, где мы пытаемся заменить L и K кольцами алгебраические целые числа в них содержатся. Это видно уже на примере Гауссовские целые числа что таких баз может не быть: а + би и а − би никогда не может сформировать Z-модульная основа Z[я], потому что 1 не может быть целочисленной комбинацией. Причины подробно изучаются в Модуль Галуа теория.

Более общие алгебры

Регулярное представление группового кольца таково, что левое и правое регулярные представления дают изоморфные модули (и нам часто не нужно различать случаи). Учитывая алгебра над полем А, не имеет смысла сразу спрашивать о связи между А как левый модуль над собой и как правый модуль. В групповом случае отображение на базисных элементах грамм из K[грамм], определенный взятием обратного элемента, дает изоморфизм K[грамм] его противоположный звенеть. За А в общем, такая структура называется Алгебра Фробениуса. Как следует из названия, они были введены Фробениус В девятнадцатом веке. Было показано, что они связаны с топологическая квантовая теория поля в 1 + 1 измерениях конкретным экземпляром гипотеза кобордизма.