Доказательства теоремы Фермаца о суммах двух квадратов - Proofs of Fermats theorem on sums of two squares - Wikipedia

Теорема Ферма о суммах двух квадратов утверждает, что странный простое число п можно выразить как

${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$

с целое число Икс и у если и только если п является конгруэнтный до 1 (мод.4). Об этом заявил Жирар в 1625 г., и снова Ферма в 1640 году, но ни один из них не представил доказательств.

Оговорка «только если» проста: идеальный квадрат сравнимо с 0 или 1 по модулю 4, следовательно, сумма двух квадратов сравнима с 0, 1 или 2. Нечетное простое число сравнимо с 1 или 3 по модулю 4, и вторая возможность просто исключена. Первое доказательство существования такого представления было дано Леонард Эйлер в 1747 г. и был сложным. С тех пор было найдено много разных доказательств. Среди них доказательство с использованием Теорема Минковского о выпуклые множества^[1] и Дон Загир Появились короткие доказательства, основанные на инволюциях.

Доказательство Эйлера бесконечным спуском

Эйлер удалось доказать теорему Ферма о суммах двух квадратов в 1749 году, когда ему было сорок два года. Он сообщил об этом в письме Гольдбах от 12 апреля 1749 г.^[2] Доказательство опирается на бесконечный спуск, и лишь вкратце обрисован в письме. Полное доказательство состоит из пяти шагов и опубликовано в двух статьях. Первые четыре шага - это предложения с 1 по 4 первой статьи.^[3] и не совсем соответствуют четырем нижеприведенным шагам. Пятый шаг ниже взят из второй статьи.^[4][5]

Во избежание двусмысленности ноль всегда будет допустимой возможной составляющей «суммы двух квадратов», поэтому, например, каждый квадрат целого числа можно тривиально выразить как сумму двух квадратов, установив один из них равным нулю.

1. Произведение двух чисел, каждое из которых представляет собой сумму двух квадратов, само является суммой двух квадратов.

Это известное свойство, основанное на идентичности

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

из-за Диофант.

2. Если число, которое представляет собой сумму двух квадратов, делится на простое число, которое является суммой двух квадратов, то частное представляет собой сумму двух квадратов.(Это первое предложение Эйлера).

В самом деле, предположим, например, что ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ делится на ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ и что последний является простым. потом ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ разделяет

${\displaystyle (pb-aq)(pb+aq)=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2}).}$

С ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ простое число, оно делит один из двух множителей. Предположим, что он делит ${\displaystyle pb-aq}$. С

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

(Тождество Диофанта) следует, что ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ должен разделить ${\displaystyle (ap+bq)^{2}}$. Таким образом, уравнение можно разделить на квадрат ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$. Разделив выражение на ${\displaystyle (p^{2}+q^{2})^{2}}$ дает:

${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}}$

и, таким образом, выражает частное как сумму двух квадратов, как заявлено.

С другой стороны, если ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ разделяет ${\displaystyle pb+aq}$, аналогичный аргумент имеет место при использовании следующего варианта тождества Диофанта:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}.}$

3. Если число, которое можно записать как сумму двух квадратов, делится на число, которое не является суммой двух квадратов, то у частного есть множитель, который не является суммой двух квадратов. (Это второе предложение Эйлера).

Предполагать ${\displaystyle q}$ это число, которое нельзя выразить как сумму двух квадратов, которая делит ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$. Запишите частное, разложенное на его (возможно, повторяющиеся) простые множители, как ${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ так что ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=qp_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$. Если все факторы ${\displaystyle p_{i}}$ можно записать в виде суммы двух квадратов, тогда мы можем разделить ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ последовательно ${\displaystyle p_{1}}$, ${\displaystyle p_{2}}$и т. д. и применяя шаг (2.) выше, мы заключаем, что каждое последующее меньшее частное представляет собой сумму двух квадратов. Если мы дойдем до ${\displaystyle q}$ тогда ${\displaystyle q}$ сам по себе должен быть равен сумме двух квадратов, что является противоречием. Итак, хотя бы одно из простых чисел ${\displaystyle p_{i}}$ не является суммой двух квадратов.

4. Если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ являются относительно простыми положительными целыми числами, то каждый множитель ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ представляет собой сумму двух квадратов.(Это шаг, который использует шаг (3.) для создания «бесконечного спуска» и был предложением Эйлера 4. Доказательство, набросанное ниже, также включает доказательство его предложения 3).

Позволять ${\displaystyle a,b}$ быть относительно простыми положительными целыми числами: не теряя общий смысл ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ сам по себе не является простым, иначе нечего доказывать. Позволять ${\displaystyle q}$ поэтому быть правильный фактор ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$, не обязательно простое: мы хотим показать, что ${\displaystyle q}$ представляет собой сумму двух квадратов. Опять же, мы ничего не теряем, предполагая ${\displaystyle q>2}$ так как случай ${\displaystyle q=2=1^{2}+1^{2}}$ очевидно.

Позволять ${\displaystyle m,n}$ быть неотрицательными целыми числами такими, что ${\displaystyle mq,nq}$ являются ближайшими кратными ${\displaystyle q}$ (по абсолютной величине) до ${\displaystyle a,b}$ соответственно. Обратите внимание, что различия ${\displaystyle c=a-mq}$ и ${\displaystyle d=b-nq}$ целые числа с абсолютной величиной строго меньше, чем ${\displaystyle q/2}$: действительно, когда ${\displaystyle q>2}$ четный, gcd${\displaystyle (a,q/2)=1}$; в противном случае, поскольку gcd${\displaystyle (a,q/2)\mid q/2\mid q\mid a^{2}+b^{2}}$, у нас также будет gcd${\displaystyle (a,q/2)\mid b}$.

Умножая, получаем

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=m^{2}q^{2}+2mqc+c^{2}+n^{2}q^{2}+2nqd+d^{2}=Aq+(c^{2}+d^{2})}$

однозначно определяя неотрицательное целое число ${\displaystyle A}$. С ${\displaystyle q}$ делит оба конца этой последовательности уравнений, следует, что ${\displaystyle c^{2}+d^{2}}$ также должно делиться на ${\displaystyle q}$: сказать ${\displaystyle c^{2}+d^{2}=qr}$. Позволять ${\displaystyle g}$ быть gcd ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ что по взаимной простоте ${\displaystyle a,b}$ относительно проста с ${\displaystyle q}$. Таким образом ${\displaystyle g^{2}}$ разделяет ${\displaystyle r}$, так что пишу ${\displaystyle e=c/g}$, ${\displaystyle f=d/g}$ и ${\displaystyle s=r/g^{2}}$, получаем выражение ${\displaystyle e^{2}+f^{2}=qs}$ для относительно простых ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle f}$, и с ${\displaystyle s<q/2}$, поскольку

${\displaystyle qs=e^{2}+f^{2}\leq c^{2}+d^{2}<\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}=q^{2}/2.}$

Наконец, спуск шаг: если ${\displaystyle q}$ не является суммой двух квадратов, то по шагу (3.) должен быть множитель ${\displaystyle q_{1}}$ сказать о ${\displaystyle s}$ что не является суммой двух квадратов. Но ${\displaystyle q_{1}\leq s<q/2<q}$ и повторяя эти шаги (первоначально с ${\displaystyle e,f;q_{1}}$ на месте ${\displaystyle a,b;q}$, и так далее до бесконечности) мы сможем найти строго убывающую бесконечную последовательность ${\displaystyle q,q_{1},q_{2},\ldots }$ положительных целых чисел, которые сами по себе не являются суммой двух квадратов, но делятся на сумму двух относительно простых квадратов. Поскольку такой бесконечный спуск невозможно, заключаем, что ${\displaystyle q}$ должно быть выражено как сумма двух квадратов, как заявлено.

5. Каждое простое число формы ${\displaystyle 4n+1}$ представляет собой сумму двух квадратов.(Это основной результат второй статьи Эйлера).

Если ${\displaystyle p=4n+1}$, затем по Маленькая теорема Ферма каждое из чисел ${\displaystyle 1,2^{4n},3^{4n},\dots ,(4n)^{4n}}$ сравнимо с единицей по модулю ${\displaystyle p}$. Различия ${\displaystyle 2^{4n}-1,3^{4n}-2^{4n},\dots ,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}}$ поэтому все делятся на ${\displaystyle p}$. Каждое из этих различий можно учесть как

${\displaystyle a^{4n}-b^{4n}=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^{2n}-b^{2n}\right).}$

С ${\displaystyle p}$ простое число, оно должно делить один из двух факторов. Если в любом из ${\displaystyle 4n-1}$ случаях он делит первый множитель, то на предыдущем шаге мы заключаем, что ${\displaystyle p}$ представляет собой сумму двух квадратов (поскольку ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ отличаться ${\displaystyle 1}$, они относительно простые). Так что достаточно показать, что ${\displaystyle p}$ не всегда можно разделить второй фактор. Если он все разделяет ${\displaystyle 4n-1}$ различия ${\displaystyle 2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\dots ,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}}$, тогда он разделит все ${\displaystyle 4n-2}$ различия последовательных сроков, все ${\displaystyle 4n-3}$ различия в различиях и т. д. Поскольку ${\displaystyle k}$ые отличия последовательности ${\displaystyle 1^{k},2^{k},3^{k},\dots }$ все равны ${\displaystyle k!}$ (Конечная разница ), ${\displaystyle 2n}$все различия будут постоянными и равными ${\displaystyle (2n)!}$, который, конечно, не делится на ${\displaystyle p}$. Следовательно, ${\displaystyle p}$ не может разделить все вторые факторы, что доказывает, что ${\displaystyle p}$ действительно является суммой двух квадратов.

Доказательство Лагранжа через квадратичные формы

Лагранж завершил доказательство в 1775 году^[6] основанный на его общей теории интеграла квадратичные формы. Следующая презентация включает небольшое упрощение его аргументов, поскольку Гаусс, который содержится в статье 182 Disquisitiones Arithmeticae.

Неотъемлемую двоичная) квадратичная форма является выражением формы ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ с ${\displaystyle a,b,c}$ целые числа. Число ${\displaystyle n}$ как говорят представлен формой если существуют целые числа ${\displaystyle x,y}$ такой, что ${\displaystyle n=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$. Тогда теорема Ферма о суммах двух квадратов эквивалентна утверждению, что простое число ${\displaystyle p}$ представлен в виде ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ (т.е. ${\displaystyle a=c=1}$, ${\displaystyle b=0}$) именно тогда, когда ${\displaystyle p}$ конгруэнтно ${\displaystyle 1}$ по модулю ${\displaystyle 4}$.

В дискриминант квадратичной формы определяется как ${\displaystyle b^{2}-4ac}$. Дискриминант ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ тогда равно ${\displaystyle -4}$.

Две формы ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ и ${\displaystyle a'x'^{2}+b'x'y'+c'y'^{2}}$ находятся эквивалент тогда и только тогда, когда существуют замены с целыми коэффициентами

${\displaystyle x=\alpha x'+\beta y'}$

${\displaystyle y=\gamma x'+\delta y'}$

с ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1}$ так что при замене в первую форму получается вторая. Эквивалентные формы легко увидеть, что они имеют один и тот же дискриминант и, следовательно, одинаковую четность для среднего коэффициента ${\displaystyle b}$, что совпадает с четностью дискриминанта. Более того, ясно, что эквивалентные формы будут представлять в точности одни и те же целые числа, потому что такие замены могут быть отменены заменами того же типа.

Лагранж доказал, что все положительно определенные формы дискриминанта −4 эквивалентны. Таким образом, для доказательства теоремы Ферма достаточно найти любой положительно определенная форма дискриминанта −4, представляющая ${\displaystyle p}$. Например, можно использовать форму

${\displaystyle px^{2}+2mxy+\left({\frac {m^{2}+1}{p}}\right)y^{2},}$

где первый коэффициент а = ${\displaystyle p}$ был выбран так, чтобы форма представляла ${\displaystyle p}$ установив Икс = 1 и у = 0 коэффициент б = 2м - произвольное четное число (как и должно быть, чтобы получить четный дискриминант), и, наконец, ${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$ выбирается так, чтобы дискриминант ${\displaystyle b^{2}-4ac=4m^{2}-4pc}$ равно −4, что гарантирует, что форма действительно эквивалентна ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$. Конечно, коэффициент ${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$ должно быть целым числом, поэтому проблема сводится к нахождению некоторого целого числа м такой, что ${\displaystyle p}$ разделяет ${\displaystyle m^{2}+1}$: или другими словами, a 'квадратный корень из -1 по модулю ${\displaystyle p}$' .

Мы утверждаем, что такой квадратный корень из ${\displaystyle -1}$ дан кем-то ${\displaystyle K=\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}k}$. Во-первых, это следует из Евклидова Основная теорема арифметики который ${\displaystyle ab\equiv 0{\pmod {p}}\iff a\equiv 0{\pmod {p}}\ \ {\hbox{or}}\ \ b\equiv 0{\pmod {p}}}$. Как следствие, ${\displaystyle a^{2}\equiv 1{\pmod {p}}\iff a\equiv \pm 1{\pmod {p}}}$: то есть, ${\displaystyle \pm 1}$ являются их собственными обратными по модулю ${\displaystyle p}$ и это свойство уникально для них. Тогда из справедливости Евклидово деление в целых числах и тот факт, что ${\displaystyle p}$ простое, что для каждого ${\displaystyle 2\leq a\leq p-2}$ gcd из ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle p}$ может быть выражено через Евклидов алгоритм дающий уникальный и отчетливый обратный ${\displaystyle a^{-1}\neq a}$ из ${\displaystyle a}$ по модулю ${\displaystyle p}$. В частности, поэтому продукт все ненулевые вычеты по модулю ${\displaystyle p}$ является ${\displaystyle -1}$. Позволять ${\displaystyle L=\prod _{l={\frac {p+1}{2}}}^{p-1}l}$: из того, что только что наблюдалось, ${\displaystyle KL\equiv -1{\pmod {p}}}$. Но по определению, поскольку каждый член в ${\displaystyle K}$ может быть в паре с его негативом в ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle L=(-1)^{\frac {p-1}{2}}K}$, который, поскольку ${\displaystyle p}$ странно показывает, что ${\displaystyle K^{2}\equiv -1{\pmod {p}}\iff p\equiv 1{\pmod {4}}}$, как требуется.

Два доказательства Дедекинда с использованием целых гауссовских чисел

Ричард Дедекинд дал по крайней мере два доказательства теоремы Ферма о суммах двух квадратов, оба из которых использовали арифметические свойства Гауссовские целые числа, которые являются числами вида а + би, куда а и б целые числа, и я является квадратным корнем из −1. Один появляется в разделе 27 его изложения идеалов, опубликованного в 1877 году; второй появился в Приложении XI к Питер Густав Лежен Дирихле с Vorlesungen über Zahlentheorie, и был опубликован в 1894 году.

1. Первое доказательство. Если ${\displaystyle p}$ это странно простое число, то имеем ${\displaystyle i^{p-1}=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$ в гауссовых целых числах. Следовательно, запись гауссовского целого числа ω =Икс + иу с х, у ∈ Z и применяя Автоморфизм Фробениуса в Z[я]/(п), можно найти

${\displaystyle \omega ^{p}=(x+yi)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}i^{p}\equiv x+(-1)^{\frac {p-1}{2}}yi{\pmod {p}},}$

поскольку автоморфизм фиксирует элементы Z/(п). В данном случае ${\displaystyle p=4n+1}$ для некоторого целого n, поэтому в приведенном выше выражении для ω^п, показатель степени (p-1) / 2 от -1 четный. Следовательно, правая часть равна ω, поэтому в этом случае эндоморфизм Фробениуса Z[я]/(п) - это тождество.

Куммер уже установил, что если ж ∈ {1,2} это порядок автоморфизма Фробениуса Z[я]/(п), то идеальный ${\displaystyle (p)}$ в Z[я] будет произведением 2 /ж отчетливый главные идеалы. (Фактически, Куммер установил гораздо более общий результат для любого расширения Z полученный присоединением примитивного м-го корень единства, куда м было любое положительное целое число; В этом случае м = 4 этого результата.) Следовательно, идеал (п) является произведением двух различных простых идеалов в Z[я]. Поскольку гауссовские целые числа являются Евклидова область для функции нормы ${\displaystyle N(x+iy)=x^{2}+y^{2}}$, каждый идеал является главным и порождается ненулевым элементом идеала минимальной нормы. Поскольку норма мультипликативна, норма генератора ${\displaystyle \alpha }$ одного из идеальных факторов (п) должен быть строгим делителем ${\displaystyle N(p)=p^{2}}$, так что мы должны иметь ${\displaystyle p=N(\alpha )=N(a+bi)=a^{2}+b^{2}}$, что дает теорему Ферма.

2. Второе доказательство. Это доказательство основано на результате Лагранжа о том, что если ${\displaystyle p=4n+1}$ - простое число, тогда должно быть целое число м такой, что ${\displaystyle m^{2}+1}$ делится на п (мы также можем видеть это по Критерий Эйлера ); он также использует тот факт, что гауссовские целые числа являются уникальная область факторизации (потому что они евклидова область). С п ∈ Z не делит ни одно из гауссовских целых чисел ${\displaystyle m+i}$ и ${\displaystyle m-i}$ (поскольку он не разделяет их мнимые части ), но делит их продукт ${\displaystyle m^{2}+1}$, следует, что ${\displaystyle p}$ не может быть основной элемент в гауссовых целых числах. Следовательно, мы должны иметь нетривиальную факторизацию п в целых гауссовских числах, которые с учетом нормы могут иметь только два множителя (так как норма мультипликативна, и ${\displaystyle p^{2}=N(p)}$, может быть только до двух множителей p), поэтому он должен иметь вид ${\displaystyle p=(x+yi)(x-yi)}$ для некоторых целых чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Это сразу дает, что ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$.

Доказательство теоремы Минковского.

За ${\displaystyle p}$ соответствует ${\displaystyle 1}$ мод ${\displaystyle 4}$ прайм, ${\displaystyle -1}$ это квадратичный вычет мод ${\displaystyle p}$ к Критерий Эйлера. Следовательно, существует целое число ${\displaystyle m}$ такой, что ${\displaystyle p}$ разделяет ${\displaystyle m^{2}+1}$. Позволять ${\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}}}$ быть стандартная основа элементы для векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ и установить ${\displaystyle {\vec {u}}={\hat {i}}+m{\hat {j}}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}=0{\hat {i}}+p{\hat {j}}}$. Рассмотрим решетка ${\displaystyle S=\{a{\vec {u}}+b{\vec {v}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$. Если ${\displaystyle {\vec {w}}=a{\vec {u}}+b{\vec {v}}=a{\hat {i}}+(am+bp){\hat {j}}\in S}$ тогда ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}\equiv a^{2}+(am+bp)^{2}\equiv a^{2}(1+m^{2})\equiv 0{\pmod {p}}}$. Таким образом ${\displaystyle p}$ разделяет ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}}$ для любого ${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$.

Площадь основной параллелограмм решетки ${\displaystyle p}$. Площадь открытого диска, ${\displaystyle D}$, радиуса ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$ с центром в начале координат ${\displaystyle 2\pi p>4p}$. Более того, ${\displaystyle D}$ выпуклый и симметричный относительно начала координат. Следовательно, по Теорема Минковского существует ненулевой вектор ${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$ такой, что ${\displaystyle {\vec {w}}\in D}$. Обе ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}<2p}$ и ${\displaystyle p\mid \|{\vec {w}}\|^{2}}$ так ${\displaystyle p=\|{\vec {w}}\|^{2}}$. Следовательно ${\displaystyle p}$ это сумма квадратов составляющих ${\displaystyle {\vec {w}}}$.

"Доказательство одним предложением" Загира

Позволять ${\displaystyle p=4k+1}$ быть первоклассным, пусть ${\displaystyle \mathbb {N} }$ обозначить натуральные числа (с нулем или без него) и рассмотрим конечное множество ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}}$ троек чисел. ${\displaystyle S}$ имеет два инволюции: очевидный ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)}$ чьи неподвижные точки ${\displaystyle (x,y,y)}$ соответствуют представлениям ${\displaystyle p}$ в виде суммы двух квадратов и более сложного,

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,~z,~y-x-z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x<y-z\\(2y-x,~y,~x-y+z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,y-z<x<2y\\(x-2y,~x-y+z,~y),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x>2y\end{cases}}}$

который имеет ровно одну фиксированную точку ${\displaystyle (1,1,k)}$. Две инволюции над одним и тем же конечным множеством должны иметь наборы неподвижных точек с одинаковыми паритет, а так как вторая инволюция имеет нечетное количество неподвижных точек, то же самое и с первой. Ноль четный, поэтому первая инволюция имеет ненулевое количество неподвижных точек, любая из которых дает представление ${\displaystyle p}$ в виде суммы двух квадратов.

Это доказательство, благодаря Загир, является упрощением более раннего доказательства Хит-Браун, который, в свою очередь, был вдохновлен доказательством Liouville. Техника доказательства представляет собой комбинаторный аналог топологического принципа, согласно которому Характеристики Эйлера из топологическое пространство с инволюцией и ее набор с фиксированной точкой имеют такую ​​же четность и напоминают использование знакопеременные инволюции в доказательствах комбинаторных биекций.

Это доказательство эквивалентно геометрическому или «визуальному» доказательству с использованием фигур «ветряных мельниц», приведенному Александром Спиваком в 2006 году и описанному в этой статье. Сообщение MathOverflow и это видео Mathologer на YouTube Почему это наглядное доказательство было упущено 400 лет назад? (Теорема Ферма о двух квадратах) на YouTube.

Доказательство с теорией разделов

В 2016 году А. Дэвид Кристофер дал теоретико-разделенный доказательство, рассматривая разбиения нечетного простого числа ${\displaystyle n}$ имея ровно два размера ${\displaystyle a_{i}(i=1,2)}$, каждое происходит ровно ${\displaystyle a_{i}}$ раз и показав, что существует хотя бы одно такое разделение, если ${\displaystyle n}$ сравнимо с 1 по модулю 4.^[7]

Рекомендации

• Ричард Дедекинд, Теория алгебраических целых чисел.
• Гарольд М. Эдвардс, Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Тексты для выпускников по математике No. 50, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1977.
• К. Ф. Гаусс, Disquisitiones Arithmeticae (Английское издание). Пер. Артур А. Кларк. Спрингер-Верлаг, 1986.
• Гольдман, Джей Р. (1998), Королева математики: исторически мотивированное руководство по теории чисел, А. К. Питерс, ISBN  1-56881-006-7
• Д. Р. Хит-Браун, Теорема Ферма о двух квадратах. Инвариант, 11 (1984), с. 3–5.
• Джон Стиллвелл, Введение в Теория алгебраических целых чисел Ричарда Дедекинда. Кембриджская математическая библиотека, Cambridge University Press, 1996.
• Дон Загир, Доказательство одним предложением, что каждое простое число p ≡ 1 mod 4 является суммой двух квадратов. Амер. Математика. Ежемесячно 97 (1990), нет. 2, 144, Дои:10.2307/2323918

Примечания

1. См. Книгу Гольдмана, §22.5.
2. Эйлер а Гольдбах, летопись CXXV
3. De numerus qui sunt aggregata duorum quadratorum. (Новые комментарии academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40) [1]
4. Demonstratio Theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n + 1 esse summam duorum quadratorum. (Новые комментарии academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13) [2]
5. Резюме основано на книге Эдвардса, страницы 45-48.
6. Nouv. Mém. Акад. Берлин, Année 1771, 125; там же. année 1773, 275; там же, анне 1775, 351.
7. А. Дэвид Кристофер, Теоретико-разбиение доказательства теоремы Ферма о двух квадратах », Дискретная математика, 339 (2016) 1410–1411.

внешняя ссылка

• Еще два доказательства на PlanetMath.org
• «Доказательство теоремы одним предложением». Архивировано 5 февраля 2012 года.
• Теорема Ферма о двух квадратах, Д. Р. Хит-Браун, 1984.