Преобразование фишера - Fisher transformation

"Z-преобразование Фишера" перенаправляется сюда. Не следует путать с Z-распределение Фишера.

Стандартный z-показатель в статистике см. Стандартный балл. Для преобразования z в область комплексных чисел см. Z-преобразование.

График трансформации (оранжевый). Коэффициент корреляции нетрансформированной выборки отложен по горизонтальной оси, а преобразованный коэффициент отложен по вертикальной оси. Функция идентичности (серый цвет) также показана для сравнения.

В статистика, то Преобразование фишера (он же Фишер z-трансформация) может использоваться для проверки гипотез о ценности совокупности коэффициент корреляции ρ между переменными Икс и Y.^[1][2] Это потому, что когда преобразование применяется к коэффициент корреляции выборки, выборочное распределение результирующей переменной приблизительно нормальное, с дисперсией, которая стабильна для различных значений базовой истинной корреляции.

Определение

Учитывая набор N двумерные пары выборок (Икс_я, Y_я), я = 1, ..., N, то коэффициент корреляции выборки р дан кем-то

${\displaystyle r={\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-{\bar {X}})(Y_{i}-{\bar {Y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}}}.}$

Здесь ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$ стоит за ковариация между переменными ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle \sigma }$ стоит за стандартное отклонение соответствующей переменной. Z-преобразование Фишера р определяется как

${\displaystyle z={1 \over 2}\ln \left({1+r \over 1-r}\right)=\operatorname {arctanh} (r),}$

где "ln" - натуральный логарифм функция, а arctanh - это функция обратного гиперболического тангенса.

Если (Икс, Y) имеет двумерное нормальное распределение с корреляцией ρ и парами (Икс_я, Y_я) находятся независимые и одинаково распределенные, тогда z примерно нормально распределенный со средним

${\displaystyle {1 \over 2}\ln \left({{1+\rho } \over {1-\rho }}\right),}$

и стандартная ошибка

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {N-3}}},}$

куда N - размер выборки, а ρ - истинный коэффициент корреляции.

Это преобразование и обратное ему

${\displaystyle r={\frac {\exp(2z)-1}{\exp(2z)+1}}=\operatorname {tanh} (z),}$

можно использовать для построения большой выборки доверительный интервал зар используя стандартную нормальную теорию и выводы. См. Также приложение к частичная корреляция.

Вывод

Преобразование Фишера с ${\displaystyle \rho =0.9}$ и ${\displaystyle N=30}$. Проиллюстрирована точная функция плотности вероятности ${\displaystyle r}$ (черным цветом), вместе с функциями плотности вероятности обычного преобразования Фишера (синий) и полученными путем включения дополнительных членов, которые зависят от ${\displaystyle N}$ (красный). Последнее приближение визуально неотличимо от точного ответа (его максимальная ошибка составляет 0,3% по сравнению с 3,4% от базового метода Фишера).

Чтобы получить преобразование Фишера, нужно начать с рассмотрения произвольной возрастающей функции от ${\displaystyle r}$, сказать ${\displaystyle G(r)}$. Нахождение первого члена в большой -${\displaystyle N}$ разложение соответствующей асимметрии приводит к

${\displaystyle {\frac {6\rho -3(1-\rho ^{2})G^{\prime \prime }(\rho )/G^{\prime }(\rho )}{\sqrt {N}}}+O(N^{-3/2}).}$

Приравнивая его к нулю и решая соответствующее дифференциальное уравнение для ${\displaystyle G}$ дает ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$ функция. Аналогичным образом расширяя среднее значение и дисперсию ${\displaystyle \operatorname {artanh} (r)}$, получается

${\displaystyle \operatorname {artanh} (\rho )+{\frac {\rho }{2N}}+O(N^{-2})}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{N}}+{\frac {6-\rho ^{2}}{2N^{2}}}+O(N^{-3})}$

соответственно. Дополнительные члены не являются частью обычного преобразования Фишера. Для больших значений ${\displaystyle \rho }$ и небольшие значения ${\displaystyle N}$ они представляют собой значительное повышение точности при минимальных затратах, хотя они значительно усложняют вычисление обратной величины как выражение в закрытой форме не доступен. Почти постоянная дисперсия преобразования является результатом устранения его асимметрии - фактическое улучшение достигается последним, а не дополнительными членами. С учетом дополнительных условий дает:

${\displaystyle {\frac {z-\operatorname {artanh} (\rho )-{\frac {\rho }{2N}}}{\sqrt {{\frac {1}{N}}+{\frac {6-\rho ^{2}}{2N^{2}}}}}}}$

который в отличном приближении имеет стандартное нормальное распределение.^[3]

Обсуждение

Преобразование Фишера является приближенным преобразование, стабилизирующее дисперсию за р когда Икс и Y следовать двумерному нормальному распределению. Это означает, что дисперсия z приблизительно постоянна для всех значений коэффициента корреляции населения ρ. Без преобразования Фишера дисперсия р становится меньше по мере |ρ| приближается к 1. Поскольку преобразование Фишера приближенно является функцией тождества при |р| <1/2, иногда полезно помнить, что дисперсия р хорошо аппроксимируется 1 /N пока |ρ| не слишком большой и N не так уж и мала. Это связано с тем, что асимптотическая дисперсия р равно 1 для двумерных нормальных данных.

Поведение этого преобразования широко изучалось с тех пор, как Фишер представил его в 1915 году. Сам Фишер нашел точное распределение z для данных двумерного нормального распределения в 1921 г .; Гайен в 1951 году^[4]определил точное распределение z для данных из двумерного типа A Распределение Эджворта. Hotelling в 1953 г. вычислил выражения ряда Тейлора для моментов z и несколько связанных статистических данных^[5] и Хокинс в 1989 г. открыли асимптотическое распределение z для данных из распределения с ограниченными четвертыми моментами.^[6]

Другое использование

Хотя преобразование Фишера в основном связано с Коэффициент корреляции продукт-момент Пирсона для двумерных нормальных наблюдений это также может быть применено к Коэффициент ранговой корреляции Спирмена в более общих случаях.^[7] Аналогичный результат для асимптотическое распределение применяется, но с небольшим поправочным коэффициентом: см. последнюю статью^{[требуется разъяснение ]} для подробностей.

Смотрите также

• Преобразование данных (статистика)
• Мета-анализ (это преобразование используется в мета-анализе для стабилизации дисперсии)
• Частичная корреляция
• р выполнение

Рекомендации

1. Фишер, Р. А. (1915). «Частотное распределение значений коэффициента корреляции в выборках неопределенно большой совокупности». Биометрика. 10 (4): 507–521. Дои:10.2307/2331838. HDL:2440/15166. JSTOR  2331838.
2. Фишер, Р.А. (1921). «О« вероятной ошибке »коэффициента корреляции, полученного на небольшой выборке» (PDF). Метрон. 1: 3–32.
3. Врбик, янв (декабрь 2005 г.). «Моменты популяции выборочных распределений». Вычислительная статистика. 20 (4): 611–621. Дои:10.1007 / BF02741318.
4. Гайен, А. К. (1951). «Частотное распределение коэффициента корреляции продукта и момента в случайных выборках любого размера, взятых из ненормальных вселенных». Биометрика. 38 (1/2): 219–247. Дои:10.1093 / biomet / 38.1-2.219. JSTOR  2332329.
5. Хотеллинг, H (1953). «Новый взгляд на коэффициент корреляции и его преобразования». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 15 (2): 193–225. JSTOR  2983768.
6. Хокинс, Д. Л. (1989). «Использование U-статистики для получения асимптотического распределения Z-статистики Фишера». Американский статистик. 43 (4): 235–237. Дои:10.2307/2685369. JSTOR  2685369.
7. Зар, Джерролд Х. (2005). «Корреляция рангов Спирмена: Обзор». Энциклопедия биостатистики. Дои:10.1002 / 9781118445112.stat05964. ISBN  9781118445112.