Предельная теорема Пуассона - Poisson limit theorem - Wikipedia

«Теорема Пуассона» перенаправляет сюда. Относительно «теоремы Пуассона» в гамильтоновой механике см. Скобка Пуассона § Константы движения.

В теория вероятности, то закон редких событий или же Предельная теорема Пуассона заявляет, что распределение Пуассона может использоваться как приближение к биномиальное распределение, при определенных условиях.^[1] Теорема была названа в честь Симеон Дени Пуассон (1781–1840). Обобщением этой теоремы является Теорема Ле Кама.

Для более широкого освещения этой темы см. Распределение Пуассона § Закон редких событий.

Теорема

Позволять ${\displaystyle p_{n}}$ быть последовательностью действительных чисел в ${\displaystyle [0,1]}$ такая, что последовательность ${\displaystyle np_{n}}$ сходится к конечному пределу ${\displaystyle \lambda }$. Потом:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$

Доказательства

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}&\simeq \lim _{n\to \infty }{\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}+O\left(n^{k-1}\right)}{k!}}{\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\end{aligned}}}$.

С

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}=e^{-\lambda }}$

и

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}=1}$

Это оставляет

${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.}$

Альтернативное доказательство

С помощью Приближение Стирлинга, мы можем написать:

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&\simeq {\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{{\sqrt {2\pi \left(n-k\right)}}\left({\frac {n-k}{e}}\right)^{n-k}k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&={\sqrt {\frac {n}{n-k}}}{\frac {n^{n}e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}.\end{aligned}}}$

Сдача ${\displaystyle n\to \infty }$ и ${\displaystyle np=\lambda }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&\simeq {\frac {n^{n}\,p^{k}(1-p)^{n-k}e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}}\\&={\frac {n^{n}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}(1-{\frac {\lambda }{n}})^{n-k}e^{-k}}{n^{n-k}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n-k}k!}}\\&\simeq {\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n}k!}}.\end{aligned}}}$

В качестве ${\displaystyle n\to \infty }$, ${\displaystyle \left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}\to e^{-x}}$ так:

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }e^{-k}}{e^{-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\end{aligned}}}$

Обычные производящие функции

Также возможно продемонстрировать теорему с помощью обычные производящие функции биномиального распределения:

${\displaystyle G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)\equiv \sum _{k=0}^{N}\left[{\binom {N}{k}}p^{k}(1-p)^{N-k}\right]x^{k}={\Big [}1+(x-1)p{\Big ]}^{N}}$

в силу биномиальная теорема. Принимая предел ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ при сохранении продукта ${\displaystyle pN\equiv \lambda }$ постоянная, находим

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\Big [}1+{\frac {\lambda (x-1)}{N}}{\Big ]}^{N}=\mathrm {e} ^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]x^{k}}$

что является OGF для распределения Пуассона. (Второе равенство выполняется в силу определения экспоненциальная функция.)

Смотрите также

• Теорема Де Муавра – Лапласа
• Теорема Ле Кама

Рекомендации

1. Папулис, Афанасий; Пиллаи, С. Унникришна. Вероятность, случайные величины и случайные процессы (4-е изд.).