Тензорная производная (механика сплошной среды) - Tensor derivative (continuum mechanics)

В производные из скаляры, векторов, и второго порядка тензоры относительно тензоров второго порядка, широко используются в механика сплошной среды. Эти производные используются в теориях нелинейная упругость и пластичность, особенно в дизайне алгоритмы за численное моделирование.^[1]

В производная по направлению обеспечивает систематический способ поиска этих производных.^[2]

Производные по векторам и тензорам второго порядка

Ниже приведены определения производных по направлению для различных ситуаций. Предполагается, что функции достаточно гладкие, чтобы можно было брать производные.

Производные скалярных функций векторов

Позволять ж(v) - вещественная функция вектора v. Тогда производная от ж(v) относительно v (или в v) это вектор определяется через его скалярное произведение с любым вектором ты существование

${displaystyle {frac {partial f}{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} =Df(mathbf {v} )[mathbf {u} ]=left[{frac {m {d}}{{m {d}}alpha }}~f(mathbf {v} +alpha ~mathbf {u} )ight]_{alpha =0}}$

для всех векторов ты. Приведенное выше скалярное произведение дает скаляр, и если ты единичный вектор дает производную по направлению от ж в v, в ты направление.

Характеристики:

1. Если ${displaystyle f(mathbf {v} )=f_{1}(mathbf {v} )+f_{2}(mathbf {v} )}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f}{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} =left({frac {partial f_{1}}{partial mathbf {v} }}+{frac {partial f_{2}}{partial mathbf {v} }}ight)cdot mathbf {u} }$
2. Если ${displaystyle f(mathbf {v} )=f_{1}(mathbf {v} )~f_{2}(mathbf {v} )}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f}{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} =left({frac {partial f_{1}}{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} ight)~f_{2}(mathbf {v} )+f_{1}(mathbf {v} )~left({frac {partial f_{2}}{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} ight)}$
3. Если ${displaystyle f(mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(mathbf {v} ))}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f}{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} ={frac {partial f_{1}}{partial f_{2}}}~{frac {partial f_{2}}{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} }$

Производные векторных функций векторов

Позволять ж(v) - вектор-функция вектора v. Тогда производная от ж(v) относительно v (или в v) это тензор второго порядка определяется через его скалярное произведение с любым вектором ты существование

${displaystyle {frac {partial mathbf {f} }{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} =Dmathbf {f} (mathbf {v} )[mathbf {u} ]=left[{frac {m {d}}{{m {d}}alpha }}~mathbf {f} (mathbf {v} +alpha ~mathbf {u} )ight]_{alpha =0}}$

для всех векторов ты. Приведенное выше скалярное произведение дает вектор, и если ты - единичный вектор дает производную по направлению от ж в v, в направленном ты.

Характеристики:

1. Если ${displaystyle mathbf {f} (mathbf {v} )=mathbf {f} _{1}(mathbf {v} )+mathbf {f} _{2}(mathbf {v} )}$ тогда ${displaystyle {frac {partial mathbf {f} }{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} =left({frac {partial mathbf {f} _{1}}{partial mathbf {v} }}+{frac {partial mathbf {f} _{2}}{partial mathbf {v} }}ight)cdot mathbf {u} }$
2. Если ${displaystyle mathbf {f} (mathbf {v} )=mathbf {f} _{1}(mathbf {v} ) imes mathbf {f} _{2}(mathbf {v} )}$ тогда ${displaystyle {frac {partial mathbf {f} }{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} =left({frac {partial mathbf {f} _{1}}{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} ight) imes mathbf {f} _{2}(mathbf {v} )+mathbf {f} _{1}(mathbf {v} ) imes left({frac {partial mathbf {f} _{2}}{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} ight)}$
3. Если ${displaystyle mathbf {f} (mathbf {v} )=mathbf {f} _{1}(mathbf {f} _{2}(mathbf {v} ))}$ тогда ${displaystyle {frac {partial mathbf {f} }{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} ={frac {partial mathbf {f} _{1}}{partial mathbf {f} _{2}}}cdot left({frac {partial mathbf {f} _{2}}{partial mathbf {v} }}cdot mathbf {u} ight)}$

Производные скалярных функций от тензоров второго порядка

Позволять ${displaystyle f({oldsymbol {S}})}$ - вещественная функция тензора второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$. Тогда производная от ${displaystyle f({oldsymbol {S}})}$ относительно ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ (или в ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$) в направлении ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ это тензор второго порядка определяется как

${displaystyle {frac {partial f}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}=Df({oldsymbol {S}})[{oldsymbol {T}}]=left[{frac {m {d}}{{m {d}}alpha }}~f({oldsymbol {S}}+alpha ~{oldsymbol {T}})ight]_{alpha =0}}$

для всех тензоров второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$.

Характеристики:

1. Если ${displaystyle f({oldsymbol {S}})=f_{1}({oldsymbol {S}})+f_{2}({oldsymbol {S}})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}=left({frac {partial f_{1}}{partial {oldsymbol {S}}}}+{frac {partial f_{2}}{partial {oldsymbol {S}}}}ight):{oldsymbol {T}}}$
2. Если ${displaystyle f({oldsymbol {S}})=f_{1}({oldsymbol {S}})~f_{2}({oldsymbol {S}})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}=left({frac {partial f_{1}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}ight)~f_{2}({oldsymbol {S}})+f_{1}({oldsymbol {S}})~left({frac {partial f_{2}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}ight)}$
3. Если ${displaystyle f({oldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({oldsymbol {S}}))}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}={frac {partial f_{1}}{partial f_{2}}}~left({frac {partial f_{2}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}ight)}$

Производные тензорнозначных функций от тензоров второго порядка

Позволять ${displaystyle {oldsymbol {F}}({oldsymbol {S}})}$ - тензорная функция второго порядка от тензора второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$. Тогда производная от ${displaystyle {oldsymbol {F}}({oldsymbol {S}})}$ относительно ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ (или в ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$) в направлении ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ это тензор четвертого порядка определяется как

${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}=D{oldsymbol {F}}({oldsymbol {S}})[{oldsymbol {T}}]=left[{frac {m {d}}{{m {d}}alpha }}~{oldsymbol {F}}({oldsymbol {S}}+alpha ~{oldsymbol {T}})ight]_{alpha =0}}$

для всех тензоров второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$.

Характеристики:

1. Если ${displaystyle {oldsymbol {F}}({oldsymbol {S}})={oldsymbol {F}}_{1}({oldsymbol {S}})+{oldsymbol {F}}_{2}({oldsymbol {S}})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}=left({frac {partial {oldsymbol {F}}_{1}}{partial {oldsymbol {S}}}}+{frac {partial {oldsymbol {F}}_{2}}{partial {oldsymbol {S}}}}ight):{oldsymbol {T}}}$
2. Если ${displaystyle {oldsymbol {F}}({oldsymbol {S}})={oldsymbol {F}}_{1}({oldsymbol {S}})cdot {oldsymbol {F}}_{2}({oldsymbol {S}})}$ тогда ${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}=left({frac {partial {oldsymbol {F}}_{1}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}ight)cdot {oldsymbol {F}}_{2}({oldsymbol {S}})+{oldsymbol {F}}_{1}({oldsymbol {S}})cdot left({frac {partial {oldsymbol {F}}_{2}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}ight)}$
3. Если ${displaystyle {oldsymbol {F}}({oldsymbol {S}})={oldsymbol {F}}_{1}({oldsymbol {F}}_{2}({oldsymbol {S}}))}$ тогда ${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {F}}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}={frac {partial {oldsymbol {F}}_{1}}{partial {oldsymbol {F}}_{2}}}:left({frac {partial {oldsymbol {F}}_{2}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}ight)}$
4. Если ${displaystyle f({oldsymbol {S}})=f_{1}({oldsymbol {F}}_{2}({oldsymbol {S}}))}$ тогда ${displaystyle {frac {partial f}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}={frac {partial f_{1}}{partial {oldsymbol {F}}_{2}}}:left({frac {partial {oldsymbol {F}}_{2}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}ight)}$

Градиент тензорного поля

В градиент, ${displaystyle {oldsymbol {abla }}{oldsymbol {T}}}$тензорного поля ${displaystyle {oldsymbol {T}}(mathbf {x} )}$ в направлении произвольного постоянного вектора c определяется как:

${displaystyle {oldsymbol {abla }}{oldsymbol {T}}cdot mathbf {c} =lim _{alpha ightarrow 0}quad {cfrac {d}{dalpha }}~{oldsymbol {T}}(mathbf {x} +alpha mathbf {c} )}$

Градиент тензорного поля порядка п тензорное поле порядка п+1.

Декартовы координаты

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

Если ${displaystyle mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2},mathbf {e} _{3}}$ являются базисными векторами в Декартова координата системы, координаты точек которой обозначены (${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$), то градиент тензорного поля ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ дан кем-то

${displaystyle {oldsymbol {abla }}{oldsymbol {T}}={cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial x_{i}}}otimes mathbf {e} _{i}}$

Доказательство

Векторы Икс и c можно записать как ${displaystyle mathbf {x} =x_{i}~mathbf {e} _{i}}$ и ${displaystyle mathbf {c} =c_{i}~mathbf {e} _{i}}$ . Позволять у := Икс + αc. В этом случае градиент определяется как ${displaystyle {egin{aligned}{oldsymbol {abla }}{oldsymbol {T}}cdot mathbf {c} &=left.{cfrac {m {d}}{{m {d}}alpha }}~{oldsymbol {T}}(x_{1}+alpha c_{1},x_{2}+alpha c_{2},x_{3}+alpha c_{3})ight|_{alpha =0}equiv left.{cfrac {m {d}}{{m {d}}alpha }}~{oldsymbol {T}}(y_{1},y_{2},y_{3})ight|_{alpha =0}&=left[{cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial y_{1}}}~{cfrac {partial y_{1}}{partial alpha }}+{cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial y_{2}}}~{cfrac {partial y_{2}}{partial alpha }}+{cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial y_{3}}}~{cfrac {partial y_{3}}{partial alpha }}ight]_{alpha =0}=left[{cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial y_{1}}}~c_{1}+{cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial y_{2}}}~c_{2}+{cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial y_{3}}}~c_{3}ight]_{alpha =0}&={cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial x_{1}}}~c_{1}+{cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial x_{2}}}~c_{2}+{cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial x_{3}}}~c_{3}equiv {cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial x_{i}}}~c_{i}={cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial x_{i}}}~(mathbf {e} _{i}cdot mathbf {c} )=left[{cfrac {partial {oldsymbol {T}}}{partial x_{i}}}otimes mathbf {e} _{i}ight]cdot mathbf {c} qquad square end{aligned}}}$

Поскольку базисные векторы не меняются в декартовой системе координат, мы имеем следующие соотношения для градиентов скалярного поля ${displaystyle phi }$, векторное поле v, и тензорное поле второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$.

${displaystyle {egin{aligned}{oldsymbol {abla }}phi &={cfrac {partial phi }{partial x_{i}}}~mathbf {e} _{i}=phi _{,i}~mathbf {e} _{i}{oldsymbol {abla }}mathbf {v} &={cfrac {partial (v_{j}mathbf {e} _{j})}{partial x_{i}}}otimes mathbf {e} _{i}={cfrac {partial v_{j}}{partial x_{i}}}~mathbf {e} _{j}otimes mathbf {e} _{i}=v_{j,i}~mathbf {e} _{j}otimes mathbf {e} _{i}{oldsymbol {abla }}{oldsymbol {S}}&={cfrac {partial (S_{jk}mathbf {e} _{j}otimes mathbf {e} _{k})}{partial x_{i}}}otimes mathbf {e} _{i}={cfrac {partial S_{jk}}{partial x_{i}}}~mathbf {e} _{j}otimes mathbf {e} _{k}otimes mathbf {e} _{i}=S_{jk,i}~mathbf {e} _{j}otimes mathbf {e} _{k}otimes mathbf {e} _{i}end{aligned}}}$

Криволинейные координаты

Основная статья: Криволинейные координаты

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

Если ${displaystyle mathbf {g} ^{1},mathbf {g} ^{2},mathbf {g} ^{3}}$ являются контравариантный базисные векторы в криволинейная координата системы, координаты точек которой обозначены (${displaystyle xi ^{1},xi ^{2},xi ^{3}}$), то градиент тензорного поля ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ дается (см. ^[3] для доказательства.)

${displaystyle {oldsymbol {abla }}{oldsymbol {T}}={frac {partial {oldsymbol {T}}}{partial xi ^{i}}}otimes mathbf {g} ^{i}}$

Из этого определения получаем следующие соотношения для градиентов скалярного поля ${displaystyle phi }$, векторное поле v, и тензорное поле второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$.

${displaystyle {egin{aligned}{oldsymbol {abla }}phi &={frac {partial phi }{partial xi ^{i}}}~mathbf {g} ^{i}{oldsymbol {abla }}mathbf {v} &={frac {partial left(v^{j}mathbf {g} _{j}ight)}{partial xi ^{i}}}otimes mathbf {g} ^{i}=left({frac {partial v^{j}}{partial xi ^{i}}}+v^{k}~Gamma _{ik}^{j}ight)~mathbf {g} _{j}otimes mathbf {g} ^{i}=left({frac {partial v_{j}}{partial xi ^{i}}}-v_{k}~Gamma _{ij}^{k}ight)~mathbf {g} ^{j}otimes mathbf {g} ^{i}{oldsymbol {abla }}{oldsymbol {S}}&={frac {partial left(S_{jk}~mathbf {g} ^{j}otimes mathbf {g} ^{k}ight)}{partial xi ^{i}}}otimes mathbf {g} ^{i}=left({frac {partial S_{jk}}{partial xi _{i}}}-S_{lk}~Gamma _{ij}^{l}-S_{jl}~Gamma _{ik}^{l}ight)~mathbf {g} ^{j}otimes mathbf {g} ^{k}otimes mathbf {g} ^{i}end{aligned}}}$

где Символ Кристоффеля ${displaystyle Gamma _{ij}^{k}}$ определяется с использованием

${displaystyle Gamma _{ij}^{k}~mathbf {g} _{k}={frac {partial mathbf {g} _{i}}{partial xi ^{j}}}quad implies quad Gamma _{ij}^{k}={frac {partial mathbf {g} _{i}}{partial xi ^{j}}}cdot mathbf {g} ^{k}=-mathbf {g} _{i}cdot {frac {partial mathbf {g} ^{k}}{partial xi ^{j}}}}$

Цилиндрические полярные координаты

В цилиндрические координаты, градиент определяется выражением

${displaystyle {egin{aligned}{oldsymbol {abla }}phi ={}quad &{frac {partial phi }{partial r}}~mathbf {e} _{r}+{frac {1}{r}}~{frac {partial phi }{partial heta }}~mathbf {e} _{ heta }+{frac {partial phi }{partial z}}~mathbf {e} _{z}{oldsymbol {abla }}mathbf {v} ={}quad &{frac {partial v_{r}}{partial r}}~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{r}+{frac {partial v_{ heta }}{partial r}}~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{ heta }+{frac {partial v_{z}}{partial r}}~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{z}{}+{}&{frac {1}{r}}left({frac {partial v_{r}}{partial heta }}-v_{ heta }ight)~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{r}+{frac {1}{r}}left({frac {partial v_{ heta }}{partial heta }}+v_{r}ight)~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{ heta }+{frac {1}{r}}{frac {partial v_{z}}{partial heta }}~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{z}{}+{}&{frac {partial v_{r}}{partial z}}~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{r}+{frac {partial v_{ heta }}{partial z}}~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{ heta }+{frac {partial v_{z}}{partial z}}~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{z}{oldsymbol {abla }}{oldsymbol {S}}={}quad &{frac {partial S_{rr}}{partial r}}~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{r}+{frac {partial S_{rr}}{partial z}}~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{z}+{frac {1}{r}}left[{frac {partial S_{rr}}{partial heta }}-(S_{ heta r}+S_{r heta })ight]~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{ heta }{}+{}&{frac {partial S_{r heta }}{partial r}}~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{r}+{frac {partial S_{r heta }}{partial z}}~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{z}+{frac {1}{r}}left[{frac {partial S_{r heta }}{partial heta }}+(S_{rr}-S_{ heta heta })ight]~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{ heta }{}+{}&{frac {partial S_{rz}}{partial r}}~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{r}+{frac {partial S_{rz}}{partial z}}~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{z}+{frac {1}{r}}left[{frac {partial S_{rz}}{partial heta }}-S_{ heta z}ight]~mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{ heta }{}+{}&{frac {partial S_{ heta r}}{partial r}}~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{r}+{frac {partial S_{ heta r}}{partial z}}~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{z}+{frac {1}{r}}left[{frac {partial S_{ heta r}}{partial heta }}+(S_{rr}-S_{ heta heta })ight]~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{ heta }{}+{}&{frac {partial S_{ heta heta }}{partial r}}~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{r}+{frac {partial S_{ heta heta }}{partial z}}~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{z}+{frac {1}{r}}left[{frac {partial S_{ heta heta }}{partial heta }}+(S_{r heta }+S_{ heta r})ight]~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{ heta }{}+{}&{frac {partial S_{ heta z}}{partial r}}~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{r}+{frac {partial S_{ heta z}}{partial z}}~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{z}+{frac {1}{r}}left[{frac {partial S_{ heta z}}{partial heta }}+S_{rz}ight]~mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{ heta }{}+{}&{frac {partial S_{zr}}{partial r}}~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{r}+{frac {partial S_{zr}}{partial z}}~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{z}+{frac {1}{r}}left[{frac {partial S_{zr}}{partial heta }}-S_{z heta }ight]~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{r}otimes mathbf {e} _{ heta }{}+{}&{frac {partial S_{z heta }}{partial r}}~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{r}+{frac {partial S_{z heta }}{partial z}}~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{z}+{frac {1}{r}}left[{frac {partial S_{z heta }}{partial heta }}+S_{zr}ight]~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{ heta }otimes mathbf {e} _{ heta }{}+{}&{frac {partial S_{zz}}{partial r}}~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{r}+{frac {partial S_{zz}}{partial z}}~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{z}+{frac {1}{r}}~{frac {partial S_{zz}}{partial heta }}~mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{z}otimes mathbf {e} _{ heta }end{aligned}}}$

Дивергенция тензорного поля

В расхождение тензорного поля ${displaystyle {oldsymbol {T}}(mathbf {x} )}$ определяется с помощью рекурсивного отношения

${displaystyle ({oldsymbol {abla }}cdot {oldsymbol {T}})cdot mathbf {c} ={oldsymbol {abla }}cdot left(mathbf {c} cdot {oldsymbol {T}}^{ extsf {T}}ight)~;qquad {oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} ={ ext{tr}}({oldsymbol {abla }}mathbf {v} )}$

куда c - произвольный постоянный вектор и v - векторное поле. Если ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ тензорное поле порядка п > 1, то дивергенция поля есть тензор порядка п− 1.

Декартовы координаты

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

В декартовой системе координат имеем следующие соотношения для векторного поля v и тензорное поле второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$.

${displaystyle {egin{aligned}{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} &={frac {partial v_{i}}{partial x_{i}}}=v_{i,i}{oldsymbol {abla }}cdot {oldsymbol {S}}&={frac {partial S_{ki}}{partial x_{k}}}~mathbf {e} _{i}=S_{ki,k}~mathbf {e} _{i}end{aligned}}}$

куда обозначение тензорного индекса для частных производных используется в крайних правых выражениях. Последнее соотношение можно найти в ссылке ^[4] при соотношении (1.14.13).

Согласно той же статье в случае тензорного поля второго порядка:

${displaystyle {oldsymbol {abla }}cdot {oldsymbol {S}}eq operatorname {div} {oldsymbol {S}}={oldsymbol {abla }}cdot {oldsymbol {S}}^{ extsf {T}}.}$

Важно отметить, что существуют другие письменные соглашения о расходимости тензора второго порядка. Например, в декартовой системе координат расходимость тензора второго ранга также может быть записана как^[5]

${displaystyle {egin{aligned}{oldsymbol {abla }}cdot {oldsymbol {S}}&={cfrac {partial S_{ki}}{partial x_{i}}}~mathbf {e} _{k}=S_{ki,i}~mathbf {e} _{k}end{aligned}}}$

Разница заключается в том, выполняется ли дифференцирование по строкам или столбцам ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$, и является обычным. Это демонстрируется на примере. В декартовой системе координат тензор (матрица) второго порядка ${displaystyle mathbf {S} }$ градиент вектор-функции ${displaystyle mathbf {v} }$.

${displaystyle {egin{aligned}{oldsymbol {abla }}cdot left({oldsymbol {abla }}mathbf {v} ight)&={oldsymbol {abla }}cdot left(v_{i,j}~mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}ight)=v_{i,ji}~mathbf {e} _{i}cdot mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}=left({oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} ight)_{,j}~mathbf {e} _{j}={oldsymbol {abla }}left({oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} ight){oldsymbol {abla }}cdot left[left({oldsymbol {abla }}mathbf {v} ight)^{ extsf {T}}ight]&={oldsymbol {abla }}cdot left(v_{j,i}~mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}ight)=v_{j,ii}~mathbf {e} _{i}cdot mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}={oldsymbol {abla }}^{2}v_{j}~mathbf {e} _{j}={oldsymbol {abla }}^{2}mathbf {v} end{aligned}}}$

Последнее уравнение эквивалентно альтернативному определению / интерпретации^[5]

${displaystyle {egin{aligned}left({oldsymbol {abla }}cdot ight)_{ ext{alt}}left({oldsymbol {abla }}mathbf {v} ight)=left({oldsymbol {abla }}cdot ight)_{ ext{alt}}left(v_{i,j}~mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}ight)=v_{i,jj}~mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}cdot mathbf {e} _{j}={oldsymbol {abla }}^{2}v_{i}~mathbf {e} _{i}={oldsymbol {abla }}^{2}mathbf {v} end{aligned}}}$

Криволинейные координаты

Основная статья: Криволинейные координаты

Обратите внимание Соглашение о суммировании Эйнштейна суммирования по повторным показателям используется ниже.

В криволинейных координатах расходимости векторного поля v и тензорное поле второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ находятся

${displaystyle {egin{aligned}{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} &=left({cfrac {partial v^{i}}{partial xi ^{i}}}+v^{k}~Gamma _{ik}^{i}ight){oldsymbol {abla }}cdot {oldsymbol {S}}&=left({cfrac {partial S_{ik}}{partial xi _{i}}}-S_{lk}~Gamma _{ii}^{l}-S_{il}~Gamma _{ik}^{l}ight)~mathbf {g} ^{k}end{aligned}}}$

Цилиндрические полярные координаты

В цилиндрические полярные координаты

${displaystyle {egin{aligned}{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} =quad &{frac {partial v_{r}}{partial r}}+{frac {1}{r}}left({frac {partial v_{ heta }}{partial heta }}+v_{r}ight)+{frac {partial v_{z}}{partial z}}{oldsymbol {abla }}cdot {oldsymbol {S}}=quad &{frac {partial S_{rr}}{partial r}}~mathbf {e} _{r}+{frac {partial S_{r heta }}{partial r}}~mathbf {e} _{ heta }+{frac {partial S_{rz}}{partial r}}~mathbf {e} _{z}{}+{}&{frac {1}{r}}left[{frac {partial S_{ heta r}}{partial heta }}+(S_{rr}-S_{ heta heta })ight]~mathbf {e} _{r}+{frac {1}{r}}left[{frac {partial S_{ heta heta }}{partial heta }}+(S_{r heta }+S_{ heta r})ight]~mathbf {e} _{ heta }+{frac {1}{r}}left[{frac {partial S_{ heta z}}{partial heta }}+S_{rz}ight]~mathbf {e} _{z}{}+{}&{frac {partial S_{zr}}{partial z}}~mathbf {e} _{r}+{frac {partial S_{z heta }}{partial z}}~mathbf {e} _{ heta }+{frac {partial S_{zz}}{partial z}}~mathbf {e} _{z}end{aligned}}}$

Ротор тензорного поля

В завиток порядкап > 1 тензорное поле ${displaystyle {oldsymbol {T}}(mathbf {x} )}$ также определяется с помощью рекурсивного отношения

${displaystyle ({oldsymbol {abla }} imes {oldsymbol {T}})cdot mathbf {c} ={oldsymbol {abla }} imes (mathbf {c} cdot {oldsymbol {T}})~;qquad ({oldsymbol {abla }} imes mathbf {v} )cdot mathbf {c} ={oldsymbol {abla }}cdot (mathbf {v} imes mathbf {c} )}$

куда c - произвольный постоянный вектор и v - векторное поле.

Ротор тензорного (векторного) поля первого порядка

Рассмотрим векторное поле v и произвольный постоянный вектор c. В индексных обозначениях перекрестное произведение дается выражением

${displaystyle mathbf {v} imes mathbf {c} =varepsilon _{ijk}~v_{j}~c_{k}~mathbf {e} _{i}}$

куда ${displaystyle varepsilon _{ijk}}$ это символ перестановки, иначе известный как символ Леви-Чивита. Потом,

${displaystyle {oldsymbol {abla }}cdot (mathbf {v} imes mathbf {c} )=varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~c_{k}=(varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~mathbf {e} _{k})cdot mathbf {c} =({oldsymbol {abla }} imes mathbf {v} )cdot mathbf {c} }$

Следовательно,

${displaystyle {oldsymbol {abla }} imes mathbf {v} =varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~mathbf {e} _{k}}$

Ротор тензорного поля второго порядка

Для тензора второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$

${displaystyle mathbf {c} cdot {oldsymbol {S}}=c_{m}~S_{mj}~mathbf {e} _{j}}$

Следовательно, используя определение ротора тензорного поля первого порядка,

${displaystyle {oldsymbol {abla }} imes (mathbf {c} cdot {oldsymbol {S}})=varepsilon _{ijk}~c_{m}~S_{mj,i}~mathbf {e} _{k}=(varepsilon _{ijk}~S_{mj,i}~mathbf {e} _{k}otimes mathbf {e} _{m})cdot mathbf {c} =({oldsymbol {abla }} imes {oldsymbol {S}})cdot mathbf {c} }$

Следовательно, мы имеем

${displaystyle {oldsymbol {abla }} imes {oldsymbol {S}}=varepsilon _{ijk}~S_{mj,i}~mathbf {e} _{k}otimes mathbf {e} _{m}}$

Тождества с ротором тензорного поля

Наиболее часто используемое тождество с ротором тензорного поля, ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$, является

${displaystyle {oldsymbol {abla }} imes ({oldsymbol {abla }}{oldsymbol {T}})={oldsymbol {0}}}$

Это тождество выполняется для тензорных полей всех порядков. В важном случае тензора второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$, из этого тождества следует, что

${displaystyle {oldsymbol {abla }} imes ({oldsymbol {abla }}{oldsymbol {S}})={oldsymbol {0}}quad implies quad S_{mi,j}-S_{mj,i}=0}$

Производная определителя тензора второго порядка

Производная определителя тензора второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ дан кем-то

${displaystyle {frac {partial }{partial {oldsymbol {A}}}}det({oldsymbol {A}})=det({oldsymbol {A}})~left[{oldsymbol {A}}^{-1}ight]^{ extsf {T}}~.}$

В ортонормированном базисе компоненты ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ можно записать в виде матрицы А. В этом случае правая часть соответствует сомножителям матрицы.

Доказательство

Позволять ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ - тензор второго порядка и пусть ${displaystyle f({oldsymbol {A}})=det({oldsymbol {A}})}$. Тогда из определения производной скалярнозначной функции тензора имеем ${displaystyle {egin{aligned}{frac {partial f}{partial {oldsymbol {A}}}}:{oldsymbol {T}}&=left.{cfrac {m {d}}{{m {d}}alpha }}det({oldsymbol {A}}+alpha ~{oldsymbol {T}})ight|_{alpha =0}&=left.{cfrac {m {d}}{{m {d}}alpha }}det left[alpha ~{oldsymbol {A}}left({cfrac {1}{alpha }}~{oldsymbol {mathit {I}}}+{oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)ight]ight|_{alpha =0}&=left.{cfrac {m {d}}{{m {d}}alpha }}left[alpha ^{3}~det({oldsymbol {A}})~det left({cfrac {1}{alpha }}~{oldsymbol {mathit {I}}}+{oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)ight]ight|_{alpha =0}.end{aligned}}}$ Определитель тензора можно выразить в виде характеристического уравнения через инварианты ${displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ с помощью ${displaystyle det(lambda ~{oldsymbol {mathit {I}}}+{oldsymbol {A}})=lambda ^{3}+I_{1}({oldsymbol {A}})~lambda ^{2}+I_{2}({oldsymbol {A}})~lambda +I_{3}({oldsymbol {A}}).}$ Используя это расширение, мы можем написать ${displaystyle {egin{aligned}{frac {partial f}{partial {oldsymbol {A}}}}:{oldsymbol {T}}&=left.{cfrac {m {d}}{{m {d}}alpha }}left[alpha ^{3}~det({oldsymbol {A}})~left({cfrac {1}{alpha ^{3}}}+I_{1}left({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)~{cfrac {1}{alpha ^{2}}}+I_{2}left({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)~{cfrac {1}{alpha }}+I_{3}left({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)ight)ight]ight|_{alpha =0}&=left.det({oldsymbol {A}})~{cfrac {m {d}}{{m {d}}alpha }}left[1+I_{1}left({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)~alpha +I_{2}left({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)~alpha ^{2}+I_{3}left({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)~alpha ^{3}ight]ight|_{alpha =0}&=left.det({oldsymbol {A}})~left[I_{1}({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}})+2~I_{2}left({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)~alpha +3~I_{3}left({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)~alpha ^{2}ight]ight|_{alpha =0}&=det({oldsymbol {A}})~I_{1}left({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)~.end{aligned}}}$ Напомним, что инвариант ${displaystyle I_{1}}$ дан кем-то ${displaystyle I_{1}({oldsymbol {A}})={ ext{tr}}{oldsymbol {A}}.}$ Следовательно, ${displaystyle {frac {partial f}{partial {oldsymbol {A}}}}:{oldsymbol {T}}=det({oldsymbol {A}})~{ ext{tr}}left({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}ight)=det({oldsymbol {A}})~left[{oldsymbol {A}}^{-1}ight]^{ extsf {T}}:{oldsymbol {T}}.}$ Ссылаясь на произвол ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ тогда у нас есть ${displaystyle {frac {partial f}{partial {oldsymbol {A}}}}=det({oldsymbol {A}})~left[{oldsymbol {A}}^{-1}ight]^{ extsf {T}}~.}$

Производные инвариантов тензора второго порядка

Основные инварианты тензора второго порядка:

${displaystyle {egin{aligned}I_{1}({oldsymbol {A}})&={ ext{tr}}{oldsymbol {A}}I_{2}({oldsymbol {A}})&={frac {1}{2}}left[({ ext{tr}}{oldsymbol {A}})^{2}-{ ext{tr}}{{oldsymbol {A}}^{2}}ight]I_{3}({oldsymbol {A}})&=det({oldsymbol {A}})end{aligned}}}$

Производные этих трех инвариантов по ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ находятся

${displaystyle {egin{aligned}{frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}&={oldsymbol {mathit {1}}}[3pt]{frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}&=I_{1}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}[3pt]{frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}&=det({oldsymbol {A}})~left[{oldsymbol {A}}^{-1}ight]^{ extsf {T}}=I_{2}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}~left(I_{1}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}ight)=left({oldsymbol {A}}^{2}-I_{1}~{oldsymbol {A}}+I_{2}~{oldsymbol {mathit {1}}}ight)^{ extsf {T}}end{aligned}}}$

Доказательство

Из производной определителя мы знаем, что ${displaystyle {frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}=det({oldsymbol {A}})~left[{oldsymbol {A}}^{-1}ight]^{ extsf {T}}~.}$ Что касается производных двух других инвариантов, вернемся к характеристическому уравнению ${displaystyle det(lambda ~{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}})=lambda ^{3}+I_{1}({oldsymbol {A}})~lambda ^{2}+I_{2}({oldsymbol {A}})~lambda +I_{3}({oldsymbol {A}})~.}$ Используя тот же подход, что и для определителя тензора, можно показать, что ${displaystyle {frac {partial }{partial {oldsymbol {A}}}}det(lambda ~{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}})=det(lambda ~{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}})~left[(lambda ~{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}})^{-1}ight]^{ extsf {T}}~.}$ Теперь левую часть можно расширить как ${displaystyle {egin{aligned}{frac {partial }{partial {oldsymbol {A}}}}det(lambda ~{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}})&={frac {partial }{partial {oldsymbol {A}}}}left[lambda ^{3}+I_{1}({oldsymbol {A}})~lambda ^{2}+I_{2}({oldsymbol {A}})~lambda +I_{3}({oldsymbol {A}})ight]&={frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ^{2}+{frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda +{frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}~.end{aligned}}}$ Следовательно ${displaystyle {frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ^{2}+{frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda +{frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}=det(lambda ~{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}})~left[(lambda ~{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}})^{-1}ight]^{ extsf {T}}}$ или же, ${displaystyle (lambda ~{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}})^{ extsf {T}}cdot left[{frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ^{2}+{frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda +{frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}ight]=det(lambda ~{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}})~{oldsymbol {mathit {1}}}~.}$ Расширение правой части и разделение терминов в левой части дает ${displaystyle left(lambda ~{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}ight)cdot left[{frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ^{2}+{frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda +{frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}ight]=left[lambda ^{3}+I_{1}~lambda ^{2}+I_{2}~lambda +I_{3}ight]{oldsymbol {mathit {1}}}}$ или же, ${displaystyle {egin{aligned}left[{frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ^{3}ight.&left.+{frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ^{2}+{frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ight]{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ^{2}+{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda +{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}&=left[lambda ^{3}+I_{1}~lambda ^{2}+I_{2}~lambda +I_{3}ight]{oldsymbol {mathit {1}}}~.end{aligned}}}$ Если мы определим ${displaystyle I_{0}:=1}$ и ${displaystyle I_{4}:=0}$, мы можем записать это как ${displaystyle {egin{aligned}left[{frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ^{3}ight.&left.+{frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ^{2}+{frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda +{frac {partial I_{4}}{partial {oldsymbol {A}}}}ight]{oldsymbol {mathit {1}}}+{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{0}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ^{3}+{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda ^{2}+{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}~lambda +{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}&=left[I_{0}~lambda ^{3}+I_{1}~lambda ^{2}+I_{2}~lambda +I_{3}ight]{oldsymbol {mathit {1}}}~.end{aligned}}}$ Собирая слагаемые, содержащие различные степени λ, получаем ${displaystyle {egin{aligned}lambda ^{3}&left(I_{0}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{0}}{partial {oldsymbol {A}}}}ight)+lambda ^{2}left(I_{1}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}ight)+&qquad qquad lambda left(I_{2}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}ight)+left(I_{3}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{4}}{partial {oldsymbol {A}}}}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}ight)=0~.end{aligned}}}$ Тогда, используя произвольность λ, имеем ${displaystyle {egin{aligned}I_{0}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{0}}{partial {oldsymbol {A}}}}&=0I_{1}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}~{oldsymbol {mathit {1}}}-I_{2}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}&=0I_{3}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{frac {partial I_{4}}{partial {oldsymbol {A}}}}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}cdot {frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}&=0~.end{aligned}}}$ Отсюда следует, что ${displaystyle {egin{aligned}{frac {partial I_{1}}{partial {oldsymbol {A}}}}&={oldsymbol {mathit {1}}}{frac {partial I_{2}}{partial {oldsymbol {A}}}}&=I_{1}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}{frac {partial I_{3}}{partial {oldsymbol {A}}}}&=I_{2}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}~left(I_{1}~{oldsymbol {mathit {1}}}-{oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}ight)=left({oldsymbol {A}}^{2}-I_{1}~{oldsymbol {A}}+I_{2}~{oldsymbol {mathit {1}}}ight)^{ extsf {T}}end{aligned}}}$

Производная тензора идентичности второго порядка

Позволять ${displaystyle {oldsymbol {mathit {1}}}}$ - тождественный тензор второго порядка. Тогда производная этого тензора по тензору второго порядка ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ дан кем-то

${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {mathit {1}}}}{partial {oldsymbol {A}}}}:{oldsymbol {T}}={oldsymbol {mathsf {0}}}:{oldsymbol {T}}={oldsymbol {mathit {0}}}}$

Это потому что ${displaystyle {oldsymbol {mathit {1}}}}$ не зависит от ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$.

Производная тензора второго порядка по себе

Позволять ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ - тензор второго порядка. потом

${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {A}}}{partial {oldsymbol {A}}}}:{oldsymbol {T}}=left[{frac {partial }{partial alpha }}({oldsymbol {A}}+alpha ~{oldsymbol {T}})ight]_{alpha =0}={oldsymbol {T}}={oldsymbol {mathsf {I}}}:{oldsymbol {T}}}$

Следовательно,

${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {A}}}{partial {oldsymbol {A}}}}={oldsymbol {mathsf {I}}}}$

Здесь ${displaystyle {oldsymbol {mathsf {I}}}}$ - тождественный тензор четвертого порядка. В индексной записи относительно ортонормированного базиса

${displaystyle {oldsymbol {mathsf {I}}}=delta _{ik}~delta _{jl}~mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}otimes mathbf {e} _{k}otimes mathbf {e} _{l}}$

Из этого результата следует, что

${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {A}}^{ extsf {T}}}{partial {oldsymbol {A}}}}:{oldsymbol {T}}={oldsymbol {mathsf {I}}}^{ extsf {T}}:{oldsymbol {T}}={oldsymbol {T}}^{ extsf {T}}}$

куда

${displaystyle {oldsymbol {mathsf {I}}}^{ extsf {T}}=delta _{jk}~delta _{il}~mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}otimes mathbf {e} _{k}otimes mathbf {e} _{l}}$

Следовательно, если тензор ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ симметрична, то производная также симметрична, и мы получаем

${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {A}}}{partial {oldsymbol {A}}}}={oldsymbol {mathsf {I}}}^{(s)}={frac {1}{2}}~left({oldsymbol {mathsf {I}}}+{oldsymbol {mathsf {I}}}^{ extsf {T}}ight)}$

где симметричный тождественный тензор четвертого порядка равен

${displaystyle {oldsymbol {mathsf {I}}}^{(s)}={frac {1}{2}}~(delta _{ik}~delta _{jl}+delta _{il}~delta _{jk})~mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}otimes mathbf {e} _{k}otimes mathbf {e} _{l}}$

Производная обратного тензора второго порядка

Позволять ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ и ${displaystyle {oldsymbol {T}}}$ - два тензора второго порядка, то

${displaystyle {frac {partial }{partial {oldsymbol {A}}}}left({oldsymbol {A}}^{-1}ight):{oldsymbol {T}}=-{oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}cdot {oldsymbol {A}}^{-1}}$

В индексной записи относительно ортонормированного базиса

${displaystyle {frac {partial A_{ij}^{-1}}{partial A_{kl}}}~T_{kl}=-A_{ik}^{-1}~T_{kl}~A_{lj}^{-1}implies {frac {partial A_{ij}^{-1}}{partial A_{kl}}}=-A_{ik}^{-1}~A_{lj}^{-1}}$

У нас также есть

${displaystyle {frac {partial }{partial {oldsymbol {A}}}}left({oldsymbol {A}}^{-{ extsf {T}}}ight):{oldsymbol {T}}=-{oldsymbol {A}}^{-{ extsf {T}}}cdot {oldsymbol {T}}^{ extsf {T}}cdot {oldsymbol {A}}^{-{ extsf {T}}}}$

В индексной записи

${displaystyle {frac {partial A_{ji}^{-1}}{partial A_{kl}}}~T_{kl}=-A_{jk}^{-1}~T_{lk}~A_{li}^{-1}implies {frac {partial A_{ji}^{-1}}{partial A_{kl}}}=-A_{li}^{-1}~A_{jk}^{-1}}$

Если тензор ${displaystyle {oldsymbol {A}}}$ симметрично, то

${displaystyle {frac {partial A_{ij}^{-1}}{partial A_{kl}}}=-{cfrac {1}{2}}left(A_{ik}^{-1}~A_{jl}^{-1}+A_{il}^{-1}~A_{jk}^{-1}ight)}$

Доказательство

Напомним, что ${displaystyle {frac {partial {oldsymbol {mathit {1}}}}{partial {oldsymbol {A}}}}:{oldsymbol {T}}={oldsymbol {mathit {0}}}}$ С ${displaystyle {oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {A}}={oldsymbol {mathit {1}}}}$, мы можем написать ${displaystyle {frac {partial }{partial {oldsymbol {A}}}}left({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {A}}ight):{oldsymbol {T}}={oldsymbol {mathit {0}}}}$ Использование правила произведения для тензоров второго порядка ${displaystyle {frac {partial }{partial {oldsymbol {S}}}}[{oldsymbol {F}}_{1}({oldsymbol {S}})cdot {oldsymbol {F}}_{2}({oldsymbol {S}})]:{oldsymbol {T}}=left({frac {partial {oldsymbol {F}}_{1}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}ight)cdot {oldsymbol {F}}_{2}+{oldsymbol {F}}_{1}cdot left({frac {partial {oldsymbol {F}}_{2}}{partial {oldsymbol {S}}}}:{oldsymbol {T}}ight)}$ мы получили ${displaystyle {frac {partial }{partial {oldsymbol {A}}}}({oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {A}}):{oldsymbol {T}}=left({frac {partial {oldsymbol {A}}^{-1}}{partial {oldsymbol {A}}}}:{oldsymbol {T}}ight)cdot {oldsymbol {A}}+{oldsymbol {A}}^{-1}cdot left({frac {partial {oldsymbol {A}}}{partial {oldsymbol {A}}}}:{oldsymbol {T}}ight)={oldsymbol {mathit {0}}}}$ или же, ${displaystyle left({frac {partial {oldsymbol {A}}^{-1}}{partial {oldsymbol {A}}}}:{oldsymbol {T}}ight)cdot {oldsymbol {A}}=-{oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}}$ Следовательно, ${displaystyle {frac {partial }{partial {oldsymbol {A}}}}left({oldsymbol {A}}^{-1}ight):{oldsymbol {T}}=-{oldsymbol {A}}^{-1}cdot {oldsymbol {T}}cdot {oldsymbol {A}}^{-1}}$

Интеграция по частям

Домен ${displaystyle Omega }$, его граница ${displaystyle Gamma }$ и внешний блок нормальный ${displaystyle mathbf {n} }$

Другая важная операция, связанная с тензорными производными в механике сплошной среды, - интегрирование по частям. Формулу интегрирования по частям можно записать как

${displaystyle int _{Omega }{oldsymbol {F}}otimes {oldsymbol {abla }}{oldsymbol {G}},{m {d}}Omega =int _{Gamma }mathbf {n} otimes ({oldsymbol {F}}otimes {oldsymbol {G}}),{m {d}}Gamma -int _{Omega }{oldsymbol {G}}otimes {oldsymbol {abla }}{oldsymbol {F}},{m {d}}Omega }$

куда ${displaystyle {oldsymbol {F}}}$ и ${displaystyle {oldsymbol {G}}}$ - дифференцируемые тензорные поля произвольного порядка, ${displaystyle mathbf {n} }$ - единичная внешняя нормаль к области, над которой определены тензорные поля, ${displaystyle otimes }$ представляет собой оператор обобщенного тензорного произведения, а ${displaystyle {oldsymbol {abla }}}$ является обобщенным градиентным оператором. Когда ${displaystyle {oldsymbol {F}}}$ равен единичному тензору, получаем теорема расходимости

${displaystyle int _{Omega }{oldsymbol {abla }}{oldsymbol {G}},{m {d}}Omega =int _{Gamma }mathbf {n} otimes {oldsymbol {G}},{m {d}}Gamma ,.}$

Мы можем выразить формулу для интегрирования по частям в декартовой записи индекса как

${displaystyle int _{Omega }F_{ijk....},G_{lmn...,p},{m {d}}Omega =int _{Gamma }n_{p},F_{ijk...},G_{lmn...},{m {d}}Gamma -int _{Omega }G_{lmn...},F_{ijk...,p},{m {d}}Omega ,.}$

Для особого случая, когда операция тензорного произведения - это сокращение одного индекса, а операция градиента - расхождение, и обе ${displaystyle {oldsymbol {F}}}$ и ${displaystyle {oldsymbol {G}}}$ - тензоры второго порядка, имеем

${displaystyle int _{Omega }{oldsymbol {F}}cdot ({oldsymbol {abla }}cdot {oldsymbol {G}}),{m {d}}Omega =int _{Gamma }mathbf {n} cdot left({oldsymbol {G}}cdot {oldsymbol {F}}^{ extsf {T}}ight),{m {d}}Gamma -int _{Omega }({oldsymbol {abla }}{oldsymbol {F}}):{oldsymbol {G}}^{ extsf {T}},{m {d}}Omega ,.}$

В индексной записи

${displaystyle int _{Omega }F_{ij},G_{pj,p},{m {d}}Omega =int _{Gamma }n_{p},F_{ij},G_{pj},{m {d}}Gamma -int _{Omega }G_{pj},F_{ij,p},{m {d}}Omega ,.}$

Смотрите также

• Ковариантная производная
• Исчисление Риччи

Рекомендации

1. Дж. К. Симо и Т. Дж. Р. Хьюз, 1998 г., Вычислительная неупругость, Springer
2. Дж. Э. Марсден и Т. Дж. Р. Хьюз, 2000 г., Математические основы упругости, Дувр.
3. Огден, Р. В., 2000, Нелинейные упругие деформации., Дувр.
4. http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf
5. Хьельмстад, Кейт (2004). Основы строительной механики. Springer Science & Business Media. п. 45. ISBN  9780387233307.