Центральная предельная теорема для направленной статистики - Central limit theorem for directional statistics

В теория вероятности, то Центральная предельная теорема устанавливает условия, при которых среднее значение достаточно большого числа независимый случайные переменные, каждое с конечным средним и дисперсией, будет приблизительно нормально распределенный.^[1]

Направленная статистика является субдисциплиной статистика что касается направлений (единичные векторы в р^п), топоры (линии через начало координат в р^п) или же вращения в р^п. Средние и дисперсии направленных величин конечны, так что центральная предельная теорема может быть применена к частному случаю направленной статистики.^[2]

В этой статье речь пойдет только о единичных векторах в 2-мерном пространстве (р²), но описанный метод можно распространить на общий случай.

Центральная предельная теорема

Образец углов ${\displaystyle \theta _{i}}$ измеряются, и поскольку они неопределенны с точностью до множителя ${\displaystyle 2\pi }$, комплексно определенная величина ${\displaystyle z_{i}=e^{i\theta _{i}}=\cos(\theta _{i})+i\sin(\theta _{i})}$ используется как случайная переменная. Распределение вероятностей, из которого берется выборка, может быть охарактеризовано его моментами, которые могут быть выражены в декартовой и полярной форме:

${\displaystyle m_{n}=E(z^{n})=C_{n}+iS_{n}=R_{n}e^{i\theta _{n}}\,}$

Следует, что:

${\displaystyle C_{n}=E(\cos(n\theta ))\,}$

${\displaystyle S_{n}=E(\sin(n\theta ))\,}$

${\displaystyle R_{n}=|E(z^{n})|={\sqrt {C_{n}^{2}+S_{n}^{2}}}\,}$

${\displaystyle \theta _{n}=\arg(E(z^{n}))\,}$

Примеры моментов для N испытаний:

${\displaystyle {\overline {m_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}z_{i}^{n}={\overline {C_{n}}}+i{\overline {S_{n}}}={\overline {R_{n}}}e^{i{\overline {\theta _{n}}}}}$

куда

${\displaystyle {\overline {C_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\cos(n\theta _{i})}$

${\displaystyle {\overline {S_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sin(n\theta _{i})}$

${\displaystyle {\overline {R_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}|z_{i}^{n}|}$

${\displaystyle {\overline {\theta _{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\arg(z_{i}^{n})}$

Вектор [${\displaystyle {\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}}}$] может использоваться как представление выборочного среднего ${\displaystyle ({\overline {m_{1}}})}$ и может быть принята как двумерная случайная величина.^[2] Двумерный Центральная предельная теорема заявляет, что совместное распределение вероятностей за ${\displaystyle {\overline {C_{1}}}}$ и ${\displaystyle {\overline {S_{1}}}}$ в пределе большого количества отсчетов дает:

${\displaystyle [{\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}}]{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}([C_{1},S_{1}],\Sigma /N)}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {N}}()}$ это двумерное нормальное распределение и ${\displaystyle \Sigma }$ это ковариационная матрица для кругового распределения:

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{CC}&\sigma _{CS}\\\sigma _{SC}&\sigma _{SS}\end{bmatrix}}\quad }$

${\displaystyle \sigma _{CC}=E(\cos ^{2}\theta )-E(\cos \theta )^{2}\,}$

${\displaystyle \sigma _{CS}=\sigma _{SC}=E(\cos \theta \sin \theta )-E(\cos \theta )E(\sin \theta )\,}$

${\displaystyle \sigma _{SS}=E(\sin ^{2}\theta )-E(\sin \theta )^{2}\,}$

Обратите внимание, что двумерное нормальное распределение определяется по всей плоскости, в то время как среднее значение ограничено единичным шаром (на или внутри единичной окружности). Это означает, что интеграл от предельного (двумерного нормального) распределения по единичному шару не будет равен единице, а будет приближаться к единице при N приближается к бесконечности.

Желательно сформулировать предельное двумерное распределение в терминах моментов распределения.

Матрица ковариации по моментам

Использование нескольких углов тригонометрические тождества^[2]

${\displaystyle C_{2}=E(\cos(2\theta ))=E(\cos ^{2}\theta -1)=E(1-\sin ^{2}\theta )\,}$

${\displaystyle S_{2}=E(\sin(2\theta ))=E(2\cos \theta \sin \theta )\,}$

Следует, что:

${\displaystyle \sigma _{CC}=E(\cos ^{2}\theta )-E(\cos \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1+C_{2}-2C_{1}^{2}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{CS}=E(\cos \theta \sin \theta )-E(\cos \theta )E(\sin \theta )={\frac {1}{2}}\left(S_{2}-2C_{1}S_{1}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{SS}=E(\sin ^{2}\theta )-E(\sin \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1-C_{2}-2S_{1}^{2}\right)}$

Ковариационная матрица теперь выражается через моменты кругового распределения.

Центральная предельная теорема также может быть выражена через полярные компоненты среднего. Если ${\displaystyle P({\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}})d{\overline {C_{1}}}d{\overline {S_{1}}}}$ вероятность найти среднее значение в элементе площади ${\displaystyle d{\overline {C_{1}}}d{\overline {S_{1}}}}$, то эту вероятность также можно записать ${\displaystyle P({\overline {R_{1}}}\cos({\overline {\theta _{1}}}),{\overline {R_{1}}}\sin({\overline {\theta _{1}}})){\overline {R_{1}}}d{\overline {R_{1}}}d{\overline {\theta _{1}}}}$.

Рекомендации

1. Рис (1995) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFRice1995 (помощь)^{[требуется полная цитата ]}
2. Джаммаламадака, С. Рао; СенГупта, А. (2001). Темы циркулярной статистики. Нью-Джерси: World Scientific. ISBN  978-981-02-3778-3. Получено 2011-05-15.