Welchs т-тест - Welchs t-test - Wikipedia

В статистика, Велча т-тест, или же неравные отклонения т-тест, является двухвыборочным проверка местоположения который используется для проверки гипотезы о том, что два население иметь равные средства. Он назван в честь своего создателя, Бернард Льюис Уэлч, и является адаптацией Студенты т-тест,^[1] и более надежен, когда две выборки имеют неравные дисперсии и / или разный размер выборки.^[2][3] Эти тесты часто называют «непарными» или «независимыми выборками». т-тесты, поскольку они обычно применяются, когда статистические единицы, лежащие в основе двух сравниваемых выборок, не перекрываются. Учитывая, что Уэлч т-тест был менее популярен, чем Студенческий т-тест^[2] и может быть менее знакомо читателям, более информативное название - "неравные отклонения Уэлча т-тест »- или« неравные дисперсии » т-тест »для краткости.^[3]

Предположения

Студенты т-test предполагает, что выборочные средние (тестовая статистика) двух сравниваемых распределений совокупности обычно распределяются с равной дисперсией. Велча т-тест разработан для неравной дисперсии распределения выборки, но сохраняется предположение о нормальности распределения выборки^[1]. Велча т-тест - приближенное решение Проблема Беренса – Фишера.

Расчеты

Велча т-test определяет статистику т по следующей формуле:

${\displaystyle t\quad =\quad {\;{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}\; \over {\sqrt {\;{s_{1}^{2} \over N_{1}}\;+\;{s_{2}^{2} \over N_{2}}\quad }}}\,}$

куда ${\displaystyle {\overline {X}}_{j}}$, ${\displaystyle s_{j}}$ и ${\displaystyle N_{j}}$ являются ${\displaystyle j^{th}}$ выборочное среднее, образец стандартное отклонение и размер образца, соответственно, ${\displaystyle j\in \{1,2\}}$. В отличие от Студенты т-тест, знаменатель нет на основе совокупная дисперсия оценивать.

В степени свободы ${\displaystyle \nu }$ связанная с этой оценкой дисперсии, аппроксимируется с использованием Уравнение Велча – Саттертуэйта:

${\displaystyle \nu \quad \approx \quad {{\left(\;{s_{1}^{2} \over N_{1}}\;+\;{s_{2}^{2} \over N_{2}}\;\right)^{2}} \over {\quad {s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\nu _{1}}\;+\;{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\nu _{2}}\quad }}}$

Здесь ${\displaystyle \nu _{1}=N_{1}-1}$, степени свободы, связанные с первой оценкой дисперсии. ${\displaystyle \nu _{2}=N_{2}-1}$, степени свободы, связанные со второй оценкой дисперсии.

Статистика примерно с t-распределение поскольку у нас есть приближение распределение хи-квадрат. Это приближение лучше сделать, когда оба ${\displaystyle N_{1}}$ и ${\displaystyle N_{2}}$ больше 5.^[4][5]

Статистический тест

Один раз т и ${\displaystyle \nu }$ были вычислены, эту статистику можно использовать с т-распределение проверить одно из двух возможных нулевые гипотезы:

• что два средних значения населения равны, в котором a двусторонний тест применяется; или же
• что одно из средств совокупности больше или равно другому, в котором a односторонний тест применяется.

Приблизительные степени свободы округляются до ближайшего целого числа.^{[нужна цитата ]}

Преимущества и ограничения

Велча т-test более надежен, чем Student т-тестировать и поддерживать частота ошибок типа I близко к номинальному для неравных дисперсий и для неравных размеров выборки при нормальности. Кроме того, мощность Уэлча т-тест приближается к студенческому т-тест, даже когда дисперсии совокупности равны, а размеры выборки сбалансированы.^[2] Велча т-тест можно обобщить более чем на 2 образца,^[6] что надежнее, чем односторонний дисперсионный анализ (ANOVA).

это не рекомендуется предварительно протестировать на равные дисперсии, а затем выбрать между студентами т-тест или Велча т-тест.^[7] Скорее, Уэлч т-тест может быть применен напрямую и без каких-либо существенных недостатков к студенческой т-тест, как указано выше. Велча т-test остается устойчивым для искаженных распределений и больших размеров выборки.^[8] Надежность снижается для искаженных распределений и меньших выборок, где можно было бы выполнить т-тест.^[9]

Примеры

Следующие три примера сравнивают т-тестовые и студенческие т-тест. Выборки взяты из случайных нормальных распределений с использованием Язык программирования R.

Для всех трех примеров средние по численности населения были ${\displaystyle \mu _{1}=20}$ и ${\displaystyle \mu _{2}=22}$.

Первый пример - для равных дисперсий (${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=4}$) и равных размеров выборки (${\displaystyle N_{1}=N_{2}=15}$). Пусть A1 и A2 обозначают две случайные выборки:

${\displaystyle A_{1}=\{27.5,21.0,19.0,23.6,17.0,17.9,16.9,20.1,21.9,22.6,23.1,19.6,19.0,21.7,21.4\}}$

${\displaystyle A_{2}=\{27.1,22.0,20.8,23.4,23.4,23.5,25.8,22.0,24.8,20.2,21.9,22.1,22.9,20.5,24.4\}}$

Второй пример - для неравных дисперсий (${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=16}$, ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}=1}$) и неравные размеры выборки (${\displaystyle N_{1}=10}$, ${\displaystyle N_{2}=20}$). Меньшая выборка имеет большую дисперсию:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\{17.2,20.9,22.6,18.1,21.7,21.4,23.5,24.2,14.7,21.8\}\\A_{2}&=\{21.5,22.8,21.0,23.0,21.6,23.6,22.5,20.7,23.4,21.8,20.7,21.7,21.5,22.5,23.6,21.5,22.5,23.5,21.5,21.8\}\end{aligned}}}$

Третий пример - для неравных дисперсий (${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=1}$, ${\displaystyle \sigma _{2}^{2}=16}$) и неравные размеры выборки (${\displaystyle N_{1}=10}$, ${\displaystyle N_{2}=20}$). Чем больше выборка, тем больше дисперсия:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\{19.8,20.4,19.6,17.8,18.5,18.9,18.3,18.9,19.5,22.0\}\\A_{2}&=\{28.2,26.6,20.1,23.3,25.2,22.1,17.7,27.6,20.6,13.7,23.2,17.5,20.6,18.0,23.9,21.6,24.3,20.4,24.0,13.2\}\end{aligned}}}$

Контрольные значения p были получены путем моделирования распределений т статистика для нулевой гипотезы равных средних значений совокупности (${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}=0}$). Результаты приведены в таблице ниже с двусторонними p-значениями:

	Образец A1			Образец A2			Студенты т-тест				Велча т-тест
Пример	${\displaystyle N_{1}}$	${\displaystyle {\overline {X}}_{1}}$	${\displaystyle s_{1}^{2}}$	${\displaystyle N_{2}}$	${\displaystyle {\overline {X}}_{2}}$	${\displaystyle s_{2}^{2}}$	${\displaystyle t}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle P}$	${\displaystyle P_{\mathrm {sim} }}$	${\displaystyle t}$	${\displaystyle \nu }$	${\displaystyle P}$	${\displaystyle P_{\mathrm {sim} }}$
1	15	20.8	7.9	15	23.0	3.8	−2.46	28	0.021	0.021	−2.46	24.9	0.021	0.017
2	10	20.6	9.0	20	22.1	0.9	−2.10	28	0.045	0.150	−1.57	9.9	0.149	0.144
3	10	19.4	1.4	20	21.6	17.1	−1.64	28	0.110	0.036	−2.22	24.5	0.036	0.042

Велча т-тестовые и студенческие т-test дал идентичные результаты, когда две выборки имеют одинаковые дисперсии и размеры выборки (Пример 1). Но обратите внимание, что если вы выбираете данные из совокупностей с идентичными дисперсиями, выборочные дисперсии будут отличаться, как и результаты двух t-критериев. Таким образом, с фактическими данными два теста почти всегда дают несколько разные результаты.

Для неравных отклонений ученический т-тест давал низкое значение p, когда меньшая выборка имела большую дисперсию (пример 2), и высокое значение p, когда большая выборка имела большую дисперсию (пример 3). Для неравных дисперсий Уэлча т-test дал p-значения, близкие к смоделированным p-значениям.

Программные реализации

Язык / Программа	Функция	Документация
LibreOffice	TTEST (Data1; Data2; Режим; Тип)	[10]
MATLAB	ttest2 (данные1, данные2, 'Vartype', 'неравно')	[11]
Майкрософт Эксель до 2010	TTEST (array1, array2, хвосты, тип)	[12]
Майкрософт Эксель 2010 и позже	T.TEST (array1, array2, хвосты, тип)	[13]
Minitab	Доступ через меню	[14]
SAS (программное обеспечение)	Вывод по умолчанию из proc ttest (с пометкой "Саттертуэйт")
Python	scipy.stats.ttest_ind (а, б, equal_var = Ложь)	[15]
р	t.test (data1, data2, alternate = "two.sided", var.equal = FALSE)	[16]
Haskell	Statistics.Test.StudentT.welchTTest SamplesDiffer data1 data2	[17]
JMP	Односторонний (Y (YColumn), X (XColumn), Неравные варианты (1));	[18]
Юля	UnequalVarianceTTest (данные1, данные2)	[19]
Stata	ttest varname1 == varname2, Welch	[20]
Google Таблицы	ТТЕСТ (диапазон1; диапазон2; хвосты; тип)	[21]
GraphPad Prism	Это выбор в диалоговом окне t-теста.
IBM SPSS Statistics	Опция в меню	[22][23]
GNU Octave	welch_test (x, y)	[24]

Смотрите также

• Математический портал

• Студенты т-тест
• Z-тест
• Факторный эксперимент
• Односторонний дисперсионный анализ
• Двухвыборочная статистика Т-квадрата Хотеллинга, многомерное расширение Уэлча т-тест

Рекомендации

1. Велч, Б. Л. (1947). «Обобщение проблемы Стьюдента, когда задействовано несколько различных популяционных дисперсий». Биометрика. 34 (1–2): 28–35. Дои:10.1093 / biomet / 34.1-2.28. МИСТЕР  0019277. PMID  20287819.
2. Ракстон, Г. Д. (2006). «T-критерий неравной дисперсии - недостаточно используемая альтернатива t-критерию Стьюдента и U-критерию Манна – Уитни». Поведенческая экология. 17 (4): 688–690. Дои:10.1093 / beheco / ark016.
3. Деррик, B; Toher, D; Белый, П (2016). "Почему тест Уэлча устойчив к ошибкам первого типа" (PDF). Количественные методы психологии. 12 (1): 30–38. Дои:10.20982 / tqmp.12.1.p030.
4. Формула Саттертуэйта для степеней свободы в двухвыборочном t-тесте (стр.7)
5. Йейтс, Мур и Старнс, Практика статистики, 3-е изд., Стр. 792. Авторское право 2008 г., W.H. Freeman and Company, 41 Madison Avenue, New York, NY 10010
6. Велч, Б. Л. (1951). «О сравнении нескольких средних значений: альтернативный подход». Биометрика. 38 (3/4): 330–336. Дои:10.2307/2332579. JSTOR  2332579.
7. Циммерман, Д. В. (2004). «Примечание о предварительных проверках на равенство дисперсий». Британский журнал математической и статистической психологии. 57: 173–181. Дои:10.1348/000711004849222.
8. Фагерланд, М. В. (2012). «t-тесты, непараметрические тесты и большие исследования - парадокс статистической практики?». BMC Методология медицинских исследований. 12: 78. Дои:10.1186/1471-2288-12-78. ЧВК  3445820. PMID  22697476.
9. Fagerland, M.W .; Сандвик, Л. (2009). «Выполнение пяти тестов местоположения с двумя выборками для искаженных распределений с неравными дисперсиями». Современные клинические испытания. 30 (5): 490–496. Дои:10.1016 / j.cct.2009.06.007.
10. https://help.libreoffice.org/Calc/Statistical_Functions_Part_Five#TTEST
11. http://uk.mathworks.com/help/stats/ttest2.html
12. http://office.microsoft.com/en-us/excel-help/ttest-HP005209325.aspx
13. http://office.microsoft.com/en-us/excel-help/t-test-function-HA102753135.aspx
14. Обзор для 2-Sample t - Minitab: - официальная документация для Minitab версии 18. Дата обращения 19 сентября 2020.
15. http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.ttest_ind.html
16. https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/t.test.html
17. http://hackage.haskell.org/package/statistics-0.15.0.0/docs/Statistics-Test-StudentT.html
18. https://www.jmp.com/support/help/
19. http://hypothesistestsjl.readthedocs.org/en/latest/index.html
20. http://www.stata.com/help.cgi?ttest
21. https://support.google.com/docs/answer/6055837?hl=en
22. Джереми Майлз: T-критерий неравных дисперсий или U-критерий Манна-Уитни?, Доступ 2014-04-11
23. Тест на одном образце - Официальная документация для SPSS Statistics версии 24. Проверено 22 января 2019 г.
24. https://octave.sourceforge.io/statistics/function/welch_test.html