Минковский контент - Minkowski content

В Минковский содержание (названный в честь Герман Минковски ), или граничная мера, набора - это базовая концепция, в которой используются концепции из геометрия и теория меры обобщить представления о длина из плавная кривая в самолете, и площадь гладкой поверхности в Космос, произвольным измеримые множества.

Обычно это применяется к фрактал границы доменов в Евклидово пространство, но его также можно использовать в контексте общей метрики измерять пространства.

Это связано, хотя и отличается от Мера Хаусдорфа.

Определение

За ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$, и каждое целое число м с ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$, то м-размерное верхнее содержание Минковского является

${\displaystyle M^{*m}(A)=\limsup _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (n-m)r^{n-m}}}}$

и м-размерное нижнее содержание Минковского определяется как

${\displaystyle M_{*}^{m}(A)=\liminf _{r\to 0^{+}}{\frac {\mu (\{x:d(x,A)<r\})}{\alpha (n-m)r^{n-m}}}}$

куда ${\displaystyle \alpha (n-m)r^{n-m}}$ объем (п−м)-мяч радиуса r и ${\displaystyle \mu }$ является ${\displaystyle n}$-размерный Мера Лебега.

Если верхний и нижний м-размерное содержание Минковского А равны, то их общее значение называется содержанием Минковского. M^м(А).^[1][2]

Характеристики

• Содержание Минковского (как правило) не является мерой. В частности, м-размерное содержание Минковского в р^п не является мерой, если м = 0, и в этом случае это счетная мера. Действительно, очевидно, что содержание Минковского присваивает то же значение множеству А а также его закрытие.
• Если А закрытый м-выпрямляемый набор в р^п, заданное как образ ограниченного множества из р^м под Функция Липшица, то м-размерное содержание Минковского А существует, и равен м-размерный Мера Хаусдорфа из А^[3].

Смотрите также

• Изопериметрическое неравенство Гаусса
• Геометрическая теория меры
• Изопериметрическое неравенство в высших измерениях
• Размерность Минковского – Булиганда

Сноски

1. Федерер 1969, п. 273 ошибка harvnb: несколько целей (2 ×): CITEREFFederer1969 (помощь)
2. Кранц 1999, п. 74 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFKrantz1999 (помощь)
3. Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория меры. Springer. п. пункт 3.2.29.

Рекомендации

• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры, Springer-Verlag, ISBN  3-540-60656-4.
• Кранц, Стивен Дж .; Паркс, Гарольд Р. (1999), Геометрия областей в пространстве, Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., ISBN  0-8176-4097-5, МИСТЕР  1730695.