Гауссово изопериметрическое неравенство - Gaussian isoperimetric inequality - Wikipedia

В математике Гауссово изопериметрическое неравенство, доказано Борис Цирельсон и Владимир Судаков,[1] а позже независимо Кристер Борелл,[2] утверждает, что среди всех наборов данных Гауссова мера в п-размерный Евклидово пространство, полупространства имеют минимальный гауссовский граничная мера.

Математическая формулировка

Позволять быть измеримый подмножество наделен стандартной гауссовой мерой с плотностью . Обозначим через

ε-продолжение А. Тогда Гауссово изопериметрическое неравенство утверждает, что

куда

Доказательства и обобщения

Первоначальные доказательства Судакова, Цирельсона и Борелла основывались на Поль Леви с сферическое изопериметрическое неравенство.

Сергей Бобков доказал функциональное обобщение гауссовского изопериметрического неравенства из некоего «двухточечного аналитического неравенства».[3] Бакри и Леду дали еще одно доказательство функционального неравенства Бобкова на основе полугруппа методы, которые работают в гораздо более абстрактной обстановке.[4] Позже Барт и Мори дали еще одно доказательство, используя Броуновское движение.[5]

Изопериметрическое неравенство Гаусса также следует из Неравенство Эрхарда.[6][7]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Судаков, В. Н .; Цирельсон Б.С. (1978-01-01) [Перевод из Записок научных семинаров Ленинградского отделения Математического института им. Стеклова АН СССР, Vol. 41, с. 14–24, 1974]. «Экстремальные свойства полупространств для сферически инвариантных мер». Журнал советской математики. 9 (1): 9–18. Дои:10.1007 / BF01086099. ISSN  1573-8795.
  2. ^ Борелл, Кристер (1975). "Неравенство Брунна-Минковского в пространстве Гаусса". Inventiones Mathematicae. 30 (2): 207–216. Дои:10.1007 / BF01425510. ISSN  0020-9910.
  3. ^ Бобков, С. Г. (1997). «Изопериметрическое неравенство на дискретном кубе и элементарное доказательство изопериметрического неравенства в пространстве Гаусса». Анналы вероятности. 25 (1): 206–214. Дои:10.1214 / aop / 1024404285. ISSN  0091-1798.
  4. ^ Бакры, Д .; Леду, М. (1996-02-01). "Изопериметрическое неравенство Леви – Громова для бесконечномерного диффузионного генератора". Inventiones Mathematicae. 123 (2): 259–281. Дои:10.1007 / s002220050026. ISSN  1432-1297.
  5. ^ Barthe, F .; Мори, Б. (2000-07-01). «Некоторые замечания по изопериметрии гауссовского типа». Annales de l'Institut Henri Poincaré B. 36 (4): 419–434. Дои:10.1016 / S0246-0203 (00) 00131-X. ISSN  0246-0203.
  6. ^ Латала, Рафал (1996). «Заметка о неравенстве Эрхарда». Studia Mathematica. 2 (118): 169–174. ISSN  0039-3223.
  7. ^ Борелл, Кристер (15 ноября 2003 г.). «Неравенство Эрхарда». Comptes Rendus Mathématique. 337 (10): 663–666. Дои:10.1016 / j.crma.2003.09.031. ISSN  1631-073X.