Концентрация меры - Concentration of measure

В математика, концентрация меры (Об медиана ) - принцип, применяемый в теория меры, вероятность и комбинаторика, и имеет последствия для других областей, таких как Банахово пространство теория. Неформально он утверждает, что «случайная величина, зависящая от Липшиц способ для многих независимых переменных (но не слишком много для любой из них) по существу постоянен ». ^[1]

Феномен концентрации меры был выдвинут в начале 1970-х гг. Виталий Мильман в своих работах по локальной теории Банаховы пространства, расширяя идею, восходящую к работе Поль Леви.^[2][3] Дальнейшее развитие он получил в работах Мильмана и Громов, Мори, Пизье, Шехтман, Талагранд, Леду, и другие.

Общая установка

Позволять ${\displaystyle (X,d)}$ быть метрическое пространство с мера ${\displaystyle \mu }$ на Наборы Бореля с ${\displaystyle \mu (X)=1}$.Позволять

${\displaystyle \alpha (\epsilon )=\sup \left\{\mu (X\setminus A_{\epsilon })\,|A{\mbox{ is a Borel set and}}\,\mu (A)\geq 1/2\right\},}$

куда

${\displaystyle A_{\epsilon }=\left\{x\,|\,d(x,A)<\epsilon \right\}}$

это ${\displaystyle \epsilon }$-расширение (также называемый ${\displaystyle \epsilon }$- откорма в контексте расстояние Хаусдорфа ) набора ${\displaystyle A}$.

Функция ${\displaystyle \alpha (\cdot )}$ называется скорость концентрации пространства ${\displaystyle X}$. Следующее эквивалентное определение имеет множество приложений:

${\displaystyle \alpha (\epsilon )=\sup \left\{\mu (\{F\geq \mathop {M} +\epsilon \})\right\},}$

где супремум ведется по всем 1-липшицевым функциям ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$, и медиана (или среднее значение Леви) ${\displaystyle M=\mathop {\mathrm {Med} } F}$ определяется неравенствами

${\displaystyle \mu \{F\geq M\}\geq 1/2,\,\mu \{F\leq M\}\geq 1/2.}$

Неформально пространство ${\displaystyle X}$ проявляет явление концентрации, если${\displaystyle \alpha (\epsilon )}$ распадается очень быстро, как ${\displaystyle \epsilon }$ растет. Более формально, семейство метрических пространств с мерой ${\displaystyle (X_{n},d_{n},\mu _{n})}$ называется Семья Леви если соответствующие нормы концентрации ${\displaystyle \alpha _{n}}$ удовлетворить

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\to 0{\rm {\;as\;}}n\to \infty ,}$

и нормальная семья Леви если

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\,\alpha _{n}(\epsilon )\leq C\exp(-cn\epsilon ^{2})}$

для некоторых констант ${\displaystyle c,C>0}$. Примеры см. Ниже.

Концентрация на сфере

Первый пример восходит к Поль Леви. Согласно сферическое изопериметрическое неравенство, среди всех подмножеств ${\displaystyle A}$ сферы ${\displaystyle S^{n}}$ с предписанным сферическая мера ${\displaystyle \sigma _{n}(A)}$, сферическая крышка

${\displaystyle \left\{x\in S^{n}|\mathrm {dist} (x,x_{0})\leq R\right\},}$

для подходящего ${\displaystyle R}$, имеет самый маленький ${\displaystyle \epsilon }$-расширение ${\displaystyle A_{\epsilon }}$ (для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$).

Применяя это к наборам мер ${\displaystyle \sigma _{n}(A)=1/2}$ (куда ${\displaystyle \sigma _{n}(S^{n})=1}$), можно вывести следующие неравенство концентраций:

${\displaystyle \sigma _{n}(A_{\epsilon })\geq 1-C\exp(-cn\epsilon ^{2})}$,

куда ${\displaystyle C,c}$ - универсальные константы. Следовательно ${\displaystyle (S^{n})_{n}}$ соответствуют приведенному выше определению нормальной семьи Леви.

Виталий Мильман применил этот факт к нескольким задачам локальной теории банаховых пространств, в частности, чтобы дать новое доказательство Теорема Дворецкого.

Концентрация меры в физике

Вся классическая статистическая физика основана на явлениях концентрации меры: основная идея («теорема») об эквивалентности ансамблей в термодинамическом пределе (Гиббс, 1902^[4] и Эйнштейн, 1902-1904^[5][6][7] ) - это в точности теорема о концентрации тонких оболочек. Для каждой механической системы рассмотрите фазовое пространство оснащенный инвариантом Мера Лиувилля (фазовый объем) и сохраняя энергию E. В микроканонический ансамбль представляет собой просто инвариантное распределение по поверхности постоянной энергии E, полученное Гиббсом как предел распределений в фазовое пространство с постоянной плотностью в тонких слоях между поверхностями состояний с энергией E и с энергией E + ΔE. В канонический ансамбль дается плотностью вероятности в фазовом пространстве (относительно фазового объема)${\displaystyle \rho =e^{\frac {F-E}{kT}},}$где величины F = const и T = const определяются условиями нормировки вероятности и заданным математическим ожиданием энергии E.

Когда число частиц велико, то разница между средними значениями макроскопических переменных для канонического и микроканонического ансамблей стремится к нулю, а их колебания явно оцениваются. Эти результаты строго доказаны при некоторых условиях регулярности энергетической функции E к Хинчин (1943).^[8]Простейший частный случай, когда E сумма квадратов была хорошо известна раньше Хинчин и Леви, и даже до Гиббса и Эйнштейна. Это Распределение Максвелла – Больцмана энергии частицы в идеальном газе.

Микроканонический ансамбль очень естественен с наивной физической точки зрения: это просто естественное равнораспределение на изоэнергетической гиперповерхности. Канонический ансамбль очень полезен из-за важного свойства: если система состоит из двух невзаимодействующих подсистем, т.е. если энергия E это сумма, ${\displaystyle E=E_{1}(X_{1})+E_{2}(X_{2})}$, куда ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ являются состояниями подсистем, то состояния равновесия подсистем независимы, равновесное распределение системы является продуктом равновесных распределений подсистем с одинаковыми T. Эквивалентность этих ансамблей является краеугольным камнем механических основ термодинамики .

Другие примеры

• Неравенство Борелла – ТИС
• Изопериметрическое неравенство Гаусса
• Неравенство МакДиармида
• Неравенство концентраций Талагранда

Сноски

1. Мишель Талагран, Новый взгляд на независимость, Анналы вероятностей, 1996, т. 24, №1, 1-34
2. "Концентрация ${\displaystyle f_{\ast }(\mu )}$, повсеместно распространенный в теории вероятностей и статистической механике, был перенесен в геометрию (начиная с банаховых пространств) Виталием Мильманом после более ранней работы Поля Леви" - М. Громов, Пространства и вопросы, GAFA 2000 (Тель-Авив, 1999), Геом. Функц. Анальный. 2000, специальный том, часть I, 118–161.
3. "Идея концентрации меры (открытая В. Мильманом), возможно, является одной из величайших идей анализа нашего времени. Хотя его влияние на вероятность - лишь небольшая часть всей картины, его не следует игнорировать." - М. Талагранд, Новый взгляд на независимость, Энн. Вероятно. 24 (1996), нет. 1, 1–34.
4. Гиббс, Джозия Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики (PDF). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера.
5. Эйнштейн, Альберт (1902). "Kinetische Theorie des Wärmegleichgewichtes und des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik [Кинетическая теория теплового равновесия и второго закона термодинамики]" (PDF). Annalen der Physik (сер. 4). 9: 417–433. Дои:10.1002 / ап.19023141007. Получено 21 января, 2020.
6. Эйнштейн, Альберт (1904). "Eine Theorie der Grundlagen der Thermodynamik [Теория основ термодинамики]" (PDF). Annalen der Physik (сер. 4). 11: 417–433. Получено 21 января, 2020.
7. Эйнштейн, Альберт (1904). "Allgemeine molkulare Theorie der Wärme [Об общей молекулярной теории тепла]" (PDF). Annalen der Physik (сер. 4). 14: 354–362. Дои:10.1002 / andp.19043190707. Получено 21 января, 2020.
8. Хинчин, Александр Ю. (1949). Математические основы статистической механики [Английский перевод из русского издания, М., Ленинград, 1943]. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Courier Corporation. Получено 21 января, 2020.

дальнейшее чтение

• Леду, Мишель (2001). Феномен концентрации меры. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2864-9.

• А. А. Яннопулос, В. Мильман, Свойство концентрации на вероятностных пространствах, Успехи в математике 156 (2000), 77-106.