Сингулярная мера - Singular measure

В математика, два положительных (или подписанный или же сложный ) меры μ и ν определено на измеримое пространство (Ω, Σ) называются единственное число если существуют два непересекающихся множества А и B в Σ, чье союз такое Ω, что μ равен нулю на всех измеримых подмножествах B пока ν равен нулю на всех измеримых подмножествах А. Это обозначается ${displaystyle mu perp u.}$

Утонченная форма Теорема разложения Лебега разлагает особую меру на особую непрерывную меру и дискретная мера. См. Примеры ниже.

Примеры на р^п

Как частный случай, мера, определенная на Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ называется единственное число, если она сингулярна относительно Мера Лебега на этом пространстве. Например, Дельта-функция Дирака - особая мера.

Пример. А дискретная мера.

В Ступенчатая функция Хевисайда на реальная линия,

{displaystyle H (x) {stackrel {mathrm {def}} {=}} {egin {case} 0, & x <0; 1, & xgeq 0; end {cases}}}

имеет Распределение дельты Дирака ${displaystyle delta _ {0}}$ как его производная по распределению. Это мера по реальной линии, "точечная масса "на 0. Однако Мера Дирака ${displaystyle delta _ {0}}$ не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега ${displaystyle lambda}$ , ни ${displaystyle lambda}$ абсолютно непрерывна относительно ${displaystyle delta _ {0}}$ : ${displaystyle lambda ({0}) = 0}$ но ${displaystyle delta _ {0} ({0}) = 1}$ ; если ${displaystyle U}$ есть ли открытый набор не содержащий 0, то ${displaystyle lambda (U)> 0}$ но ${displaystyle delta _ {0} (U) = 0}$ .