Текущий (математика) - Current (mathematics) - Wikipedia

В математика, особенно в функциональный анализ, дифференциальная топология, и геометрическая теория меры, а k-Текущий в смысле Жорж де Рам это функциональный на пространстве компактно поддерживается дифференциал k-формы, на гладкое многообразие M. Токи формально ведут себя как Распределения Шварца на пространстве дифференциальных форм, но в геометрической постановке они могут представлять интегрирование по подмногообразию, обобщая Дельта-функция Дирака, или вообще даже направленные производные дельта-функций (многополюсники ) распределены по подмножествам M.

Определение

Позволять ${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$ обозначим пространство гладких м-формы с компактная опора на гладкое многообразие ${\displaystyle M}$. Ток - это линейный функционал на ${\displaystyle \Omega _{c}^{m}(M)}$ которая непрерывна в смысле распределения. Таким образом, линейный функционал

${\displaystyle T\colon \Omega _{c}^{m}(M)\to \mathbb {R} }$

является м-размерный ток, если он непрерывный в следующем смысле: если последовательность ${\displaystyle \omega _{k}}$ гладких форм с носителями в одном и том же компактном множестве такова, что все производные всех их коэффициентов равномерно стремятся к 0, когда ${\displaystyle k}$ стремится к бесконечности, то ${\displaystyle T(\omega _{k})}$ стремится к 0.

Космос ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$ из м-мерные токи на ${\displaystyle M}$ это настоящий векторное пространство с операциями, определенными

${\displaystyle (T+S)(\omega ):=T(\omega )+S(\omega ),\qquad (\lambda T)(\omega ):=\lambda T(\omega ).}$

Большая часть теории распределений переносится на токи с минимальными корректировками. Например, можно определить поддерживать текущего ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}_{m}(M)}$ как дополнение к самым большим открытый набор ${\displaystyle U\subset M}$ такой, что

${\displaystyle T(\omega )=0}$ в любое время ${\displaystyle \omega \in \Omega _{c}^{m}(U)}$

В линейное подпространство из ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{m}(M)}$ состоящий из токов с носителем (в указанном выше смысле), который является компактным подмножеством ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{m}(M)}$.

Гомологическая теория

Интеграция по компактному исправимый ориентированный подмногообразие M (с границей ) размерности м определяет м-ток, обозначаемый ${\displaystyle [[M]]}$:

${\displaystyle [[M]](\omega )=\int _{M}\omega .\,}$

Если граница ∂M из M является выпрямляемым, то он также определяет ток путем интегрирования, и в силу Теорема Стокса надо:

${\displaystyle [[\partial M]](\omega )=\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega =[[M]](d\omega ).}$

Это связано с внешняя производная d с граничный оператор ∂ на гомология из M.

С учетом этой формулы мы можем определять а граничный оператор на произвольных токах

${\displaystyle \partial \colon {\mathcal {D}}_{m+1}\to {\mathcal {D}}_{m}}$

через двойственность с внешней производной на

${\displaystyle (\partial T)(\omega ):=T(d\omega )\,}$

для всех компактно поддерживается м-формы ω.

Определенные подклассы токов, закрытые ${\displaystyle \partial }$ можно использовать вместо всех токов для создания теории гомологии, которая может удовлетворять Аксиомы Эйленберга – Стинрода в некоторых случаях. Классический пример - подкласс интегральных токов на ретрактах липшицевых окрестностей.

Топология и нормы

Пространство токов естественно наделено слабая * топология, который в дальнейшем будет называться просто слабая конвергенция. А последовательность Т_k токов, сходится к текущему Т если

${\displaystyle T_{k}(\omega )\to T(\omega ),\qquad \forall \omega .\,}$

Можно определить несколько нормы на подпространствах пространства всех токов. Одной из таких норм является норма массы. Если ω - м-form, затем определите его комас к

${\displaystyle \|\omega \|:=\sup\{|\langle \omega ,\xi \rangle |\colon \xi {\mbox{ is a unit, simple, }}m{\mbox{-vector}}\}.}$

Итак, если ω является просто м-форма, то ее массовая норма - обычная L^∞-норма его коэффициента. В масса текущего Т тогда определяется как

${\displaystyle \mathbf {M} (T):=\sup\{T(\omega )\colon \sup _{x}|\vert \omega (x)|\vert \leq 1\}.}$

Масса тока представляет собой взвешенная площадь обобщенной поверхности. Ток такой, что M(Т) <∞ представимо интегрированием регулярной борелевской меры по версии Теорема Рисса о представлении. Это отправная точка гомологическая интеграция.

Промежуточная норма - это норма Уитни. плоская норма, определяется

${\displaystyle \mathbf {F} (T):=\inf\{\mathbf {M} (T-\partial A)+\mathbf {M} (A)\colon A\in {\mathcal {E}}_{m+1}\}.}$

Два тока близки по норме массы, если они совпадают вдали от небольшой части. С другой стороны, они близки в плоской норме, если совпадают с точностью до небольшой деформации.

Примеры

Напомним, что

${\displaystyle \Omega _{c}^{0}(\mathbb {R} ^{n})\equiv C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\,}$

так что следующее определяет 0-ток:

${\displaystyle T(f)=f(0).\,}$

В частности, каждый подписанный обычная мера ${\displaystyle \mu }$ 0-ток:

${\displaystyle T(f)=\int f(x)\,d\mu (x).}$

Позволять (Икс, у, z) - координаты в ℝ³. Затем следующее определяет 2-ток (один из многих):

${\displaystyle T(a\,dx\wedge dy+b\,dy\wedge dz+c\,dx\wedge dz)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}b(x,y,0)\,dx\,dy.}$

Смотрите также

• Жорж де Рам
• Герберт Федерер
• Дифференциальная геометрия
• Варифолд

Рекомендации

• де Рам, Г. (1973), Variétés Différentiables, Actualites Scientifiques et Industrielles (на французском), 1222 (3-е изд.), Париж: Герман, стр. X + 198, Zbl  0284.58001.
• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 153, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xiv + 676, ISBN  978-3-540-60656-7, МИСТЕР  0257325, Zbl  0176.00801.
• Уитни, Х. (1957), Теория геометрической интеграции, Принстонская математическая серия, 21, Принстон, Нью-Джерси и Лондон: Princeton University Press и Oxford University Press, стр. XV + 387, МИСТЕР  0087148, Zbl  0083.28204.
• Линь, Фанхуа; Ян, Сяопин (2003), Геометрическая теория меры: введение, Высшая математика (Пекин / Бостон), 1, Пекин / Бостон: Science Press / International Press, стр. X + 237, ISBN  978-1-57146-125-4, МИСТЕР  2030862, Zbl  1074.49011

Эта статья включает материалы из Current on PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.