Аксиомы Эйленберга – Стинрода - Eilenberg–Steenrod axioms

В математика особенно в алгебраическая топология, то Аксиомы Эйленберга – Стинрода это свойства, которые теории гомологии из топологические пространства есть общее. Типичный пример теории гомологий, удовлетворяющей аксиомам, - это особые гомологии, разработан Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод.

Теорию гомологий можно определить как последовательность из функторы удовлетворяющие аксиомам Эйленберга – Стинрода. Аксиоматический подход, разработанный в 1945 г., позволяет доказывать такие результаты, как Последовательность Майера – Виеториса, которые являются общими для всех теорий гомологий, удовлетворяющих аксиомам.^[1]

Если опустить аксиому размерности (описанную ниже), то оставшиеся аксиомы определяют то, что называется экстраординарная теория гомологии. Необычные теории когомологий впервые возникли в K-теория и кобордизм.

Формальное определение

Аксиомы Эйленберга – Стинрода применяются к последовательности функторов ${ displaystyle H_ {n}}$ от категория из пары ${ Displaystyle (Х, А)}$ топологических пространств в категорию абелевых группы вместе с естественная трансформация ${ displaystyle partial двоеточие H_ {i} (X, A) to H_ {i-1} (A)}$ называется карта границ (здесь ${ Displaystyle H_ {я-1} (А)}$ это сокращение для ${ Displaystyle Н_ {я-1} (А, emptyset)}$ . Аксиомы следующие:

Гомотопия: Гомотопические отображения индуцируют такое же отображение в гомологиях. То есть, если ${ Displaystyle г двоеточие (X, A) rightarrow (Y, B)}$ является гомотопный к ${ Displaystyle ч двоеточие (X, A) rightarrow (Y, B)}$ , то их индуцированные гомоморфизмы одинаковые.
Иссечение: Если ${ Displaystyle (Х, А)}$ пара и U это подмножество А так что закрытие U содержится в интерьере А, то отображение включения ${ Displaystyle я двоеточие (Икс setminus U, A setminus U) to (X, A)}$ вызывает изоморфизм в гомологии.
Измерение: Позволять п быть одноточечным пространством; тогда ${ displaystyle H_ {n} (P) = 0}$ для всех ${ Displaystyle п neq 0}$ .
Аддитивность: Если ${ Displaystyle X = coprod _ { alpha} {X _ { alpha}}}$ , несвязное объединение семейства топологических пространств ${ displaystyle X _ { alpha}}$ , тогда ${ Displaystyle H_ {n} (X) cong bigoplus _ { alpha} H_ {n} (X _ { alpha}).}$
Точность: Каждая пара (Х, А) вызывает длинная точная последовательность в гомологиях через включения ${ Displaystyle я двоеточие от А до Х}$ и ${ displaystyle j двоеточие X to (X, A)}$ :

{ displaystyle cdots to H_ {n} (A) , { xrightarrow {i _ {*}}} , H_ {n} (X) , { xrightarrow {j _ {*}}} , H_ {n} (X, A) , { xrightarrow { partial}} , H_ {n-1} (A) to cdots.}

Если п это одноточечное пространство, тогда ${ displaystyle H_ {0} (P)}$ называется группа коэффициентов. Например, особые гомологии (взятые с целочисленными коэффициентами, как это часто бывает) имеют в качестве коэффициентов целые числа.

Последствия

Некоторые факты о группах гомологий могут быть получены непосредственно из аксиом, например, тот факт, что гомотопически эквивалентные пространства имеют изоморфные группы гомологий.

Гомологии некоторых относительно простых пространств, таких как п-сферы, можно вычислить непосредственно из аксиом. Отсюда легко показать, что (п - 1) -сфера не является втягивать из п-диск. Это используется в доказательстве Теорема Брауэра о неподвижной точке.

Аксиома размерности

"Гомологическая" теория, удовлетворяющая всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, за исключением аксиомы размерности, называется экстраординарная теория гомологии (дважды, необычная теория когомологий). Важные примеры из них были найдены в 1950-х годах, такие как топологическая K-теория и теория кобордизма, которые необычны coтеории гомологий, и приходят с теориями гомологий, двойственными им.

Смотрите также

Зигзагообразная лемма

Примечания

^ http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0245/survey.pdf