Зигзагообразная лемма - Zig-zag lemma - Wikipedia

В математика, особенно гомологическая алгебра, то лемма о зигзаге утверждает существование определенного длинная точная последовательность в группы гомологии определенных цепные комплексы. Результат действителен в каждом абелева категория.

Заявление

В абелевой категории (например, категории абелевы группы или категория векторные пространства над данным поле ), позволять ${\displaystyle ({\mathcal {A}},\partial _{\bullet }),({\mathcal {B}},\partial _{\bullet }')}$ и ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\partial _{\bullet }'')}$ быть цепными комплексами, которые вписываются в следующие короткая точная последовательность:

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {A}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\mathcal {C}}\longrightarrow 0}$

Такая последовательность является сокращением для следующих коммутативная диаграмма:

где строки точные последовательности и каждый столбец представляет собой цепной комплекс.

Лемма о зигзаге утверждает, что существует набор граничных отображений

${\displaystyle \delta _{n}:H_{n}({\mathcal {C}})\longrightarrow H_{n-1}({\mathcal {A}}),}$

что делает следующую последовательность точной:

Карты ${\displaystyle \alpha _{*}^{}}$ и ${\displaystyle \beta _{*}^{}}$ - обычные отображения, индуцированные гомологиями. Граничные карты ${\displaystyle \delta _{n}^{}}$ объяснены ниже. Название леммы происходит от зигзагообразного поведения отображений в последовательности. Вариант леммы о зигзаге широко известен как "лемма о змеях "(извлекает суть доказательства леммы о зигзаге, приведенной ниже).

Построение граничных карт

Карты ${\displaystyle \delta _{n}^{}}$ определяются с использованием стандартного аргумента поиска диаграммы. Позволять ${\displaystyle c\in C_{n}}$ представляют класс в ${\displaystyle H_{n}({\mathcal {C}})}$, так ${\displaystyle \partial _{n}''(c)=0}$. Из точности строки следует, что ${\displaystyle \beta _{n}^{}}$ сюръективно, поэтому должны быть некоторые ${\displaystyle b\in B_{n}}$ с ${\displaystyle \beta _{n}^{}(b)=c}$. По коммутативности диаграммы

${\displaystyle \beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0.}$

По точности,

${\displaystyle \partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \alpha _{n-1}.}$

Таким образом, поскольку ${\displaystyle \alpha _{n-1}^{}}$ инъективен, есть единственный элемент ${\displaystyle a\in A_{n-1}}$ такой, что ${\displaystyle \alpha _{n-1}(a)=\partial _{n}'(b)}$. Это цикл, поскольку ${\displaystyle \alpha _{n-2}^{}}$ инъективен и

${\displaystyle \alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0,}$

поскольку ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$. То есть, ${\displaystyle \partial _{n-1}(a)\in \ker \alpha _{n-2}=\{0\}}$. Это означает ${\displaystyle a}$ это цикл, поэтому он представляет класс в ${\displaystyle H_{n-1}({\mathcal {A}})}$. Теперь мы можем определить

${\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a].}$

Определив граничные карты, можно показать, что они четко определены (т. Е. Не зависят от выбора c и б). В доказательстве используются аргументы для поиска диаграмм, аналогичные приведенным выше. Такие аргументы также используются, чтобы показать, что последовательность в гомологии точна в каждой группе.

Смотрите также

• Последовательность Майера – Виеториса

Рекомендации

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-79540-0.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556
• Мункрес, Джеймс Р. (1993). Элементы алгебраической топологии. Нью-Йорк: Westview Press. ISBN  0-201-62728-0.