Частота среза - Cutoff frequency

Передаточная функция величины полосовой фильтр с более низкой частотой среза 3 дБ ж₁ и верхняя частота среза 3 дБ ж₂

А Сюжет Боде из Фильтр Баттерворта с частотный отклик, с обозначенной угловой частотой. (Наклон −20 дБ на десятилетие также равно −6 дБ на октава.)

В физика и электротехника, а частота среза, угловая частота, или же частота перерывов является границей в системе частотный отклик при котором энергия, протекающая через систему, начинает уменьшаться (ослабленный или отражены), а не проходят.

Обычно в электронных системах, таких как фильтры и каналы связи, частота среза применяется к краю в НЧ, высокая частота, Bandpass, или же остановка характеристика - частота, характеризующая границу между полоса пропускания и полоса задерживания. Иногда считается, что это точка в ответе фильтра, где переходная полоса и полосы пропускания соответствуют, например, как определено точка половинной мощности (частота, для которой выходной сигнал схемы равен −3дБ номинального значения полосы пропускания). В качестве альтернативы, граничная частота полосы задерживания может быть указана как точка, где встречаются переходная полоса и полоса задерживания: частота, для которой затухание больше, чем требуемое затухание полосы задерживания, которое, например, может составлять 30 дБ или 100 дБ.

В случае волновод или антенна частоты среза соответствуют нижнему и верхнему длина волны отсечки.

Электроника

В электроника, частота среза или граничная частота - это частота выше или ниже которого выходная мощность схема, например линия, усилитель или электронный фильтр упала до определенной доли власти в полоса пропускания. Чаще всего эта пропорция составляет половину мощности полосы пропускания, также называемой 3дБ точка, так как падение на 3 дБ примерно соответствует половине мощности. По отношению напряжений это падение до ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {1/2}}\ \approx \ 0.707}$ напряжения полосы пропускания.^[1] Другие отношения, кроме точки 3 дБ, также могут иметь значение, например, см. Фильтры Чебышева ниже.

Пример однополюсной передаточной функции

В функция передачи для простейшего фильтр нижних частот,

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\alpha s}},}$

есть один столб в s = -1 / α. Величина этой функции в jω самолет

${\displaystyle \left|H(j\omega )\right|=\left|{\frac {1}{1+\alpha j\omega }}\right|={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega ^{2}}}}.}$

На отсечке

${\displaystyle \left|H(j\omega _{\mathrm {c} })\right|={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}}.}$

Следовательно, частота среза определяется выражением

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\alpha }}.}$

Где s это s-plane Переменная, ω является угловая частота и j это мнимая единица.

Фильтры Чебышева

Иногда другие соотношения более удобны, чем точка 3 дБ. Например, в случае Фильтр Чебышева обычно определяют частоту среза как точку после последнего пика в частотной характеристике, на которой уровень упал до расчетного значения пульсации полосы пропускания. Величина пульсации в фильтрах этого класса может быть установлена ​​разработчиком на любое желаемое значение, поэтому используемое соотношение может быть любым.^[2]

Радиосвязь

В радиосвязь, небесная волна общение - это техника, в которой радиоволны передаются под углом в небо и отражаются обратно на Землю слоями заряженных частиц в ионосфера. В этом контексте термин частота среза относится к максимальная полезная частота означает частоту, выше которой радиоволна не может отражаться от ионосферы под углом падения, необходимым для коробка передач между двумя указанными точками отражение из слоя.

Волноводы

Частота среза электромагнитный волновод - это самая низкая частота, на которой в нем будет распространяться мода. В волоконная оптика, чаще рассматривают длина волны отсечки, максимум длина волны который будет распространяться в оптоволокно или же волновод. Частота среза находится с помощью характеристическое уравнение из Уравнение Гельмгольца для электромагнитных волн, который получается из уравнение электромагнитной волны путем установки продольного волновое число равным нулю и решающим для частоты. Таким образом, любая частота возбуждения ниже частоты среза будет ослабляться, а не распространяться. Следующий вывод предполагает стены без потерь. Значение c, скорость света, следует рассматривать как групповая скорость света в любом материале, заполняющем волновод.

Для прямоугольного волновода частота отсечки равна

${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},}$

где целые числа ${\displaystyle n,m\geq 0}$ - номера режима, а а и б длины сторон прямоугольника. Для режимов TE, ${\displaystyle n,m\geq 0}$ (но ${\displaystyle n=m=0}$ не допускается), а для режимов TM ${\displaystyle n,m\geq 1}$.

Частота среза TM₀₁ режим (следующий выше доминирующего режима TE₁₁) в волноводе круглого сечения (поперечно-магнитная мода без угловой зависимости и наименьшая радиальная зависимость) имеет вид

${\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{01}}{r}}=c{\frac {2.4048}{r}},}$

куда ${\displaystyle r}$ - радиус волновода, а ${\displaystyle \chi _{01}}$ это первый корень ${\displaystyle J_{0}(r)}$, то Функция Бесселя первого вида порядка 1.

Доминирующая мода TE₁₁ частота среза определяется выражением

${\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{11}}{r}}=c{\frac {1.8412}{r}}}$^[3]

Однако частота отсечки доминирующей моды может быть уменьшена путем введения перегородки внутри волновода круглого поперечного сечения.^[4] Для одномодовое оптическое волокно, длина волны отсечки - это длина волны, на которой нормализованная частота примерно равно 2,405.

Математический анализ

Отправной точкой является волновое уравнение (которое выводится из Уравнения Максвелла ),

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0,}$

который становится Уравнение Гельмгольца рассматривая только функции вида

${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)e^{i\omega t}.}$

Подстановка и оценка производной по времени дает

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0.}$

Функция ${\displaystyle \psi }$ здесь относится к тому полю (электрическое поле или магнитное поле), которое не имеет векторной составляющей в продольном направлении - «поперечное» поле. Свойством всех собственных мод электромагнитного волновода является то, что по крайней мере одно из двух полей является поперечным. В z ось определена вдоль оси волновода.

«Продольная» производная в Лапласиан можно далее уменьшить, рассматривая только функции вида

${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z\right)},}$

куда ${\displaystyle k_{z}}$ продольный волновое число, в результате чего

${\displaystyle (\nabla _{T}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}})\psi (x,y,z)=0,}$

где индекс T указывает на двумерный поперечный лапласиан. Последний шаг зависит от геометрии волновода. Проще всего решить геометрию прямоугольного волновода. В этом случае остаток лапласиана можно вычислить до его характеристического уравнения, рассматривая решения вида

${\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi _{0}e^{i\left(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}y\right)}.}$

Таким образом, для прямоугольной направляющей вычисляется лапласиан, и мы приходим к

${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}$

Поперечные волновые числа можно задать из граничных условий стоячей волны для поперечного сечения прямоугольной геометрии с размерами а и б:

${\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{a}},}$

${\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{b}},}$

куда п и м - два целых числа, представляющих конкретную собственную моду. Совершая финальную замену, получаем

${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}+k_{z}^{2},}$

какой соотношение дисперсии в прямоугольном волноводе. Частота среза ${\displaystyle \omega _{c}}$ - критическая частота между распространением и затуханием, которая соответствует частоте, на которой продольное волновое число ${\displaystyle k_{z}}$ равно нулю. Это дается

${\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}}}$

Волновые уравнения справедливы и ниже частоты отсечки, где продольное волновое число является мнимым. В этом случае поле экспоненциально затухает вдоль оси волновода и, таким образом, волна мимолетный.

Смотрите также

• Полная ширина на половине максимальной
• Фильтр высоких частот
• Эффект Миллера
• Частота пространственной отсечки (в оптических системах)
• Постоянная времени

Рекомендации

1. Ван Валкенбург, М.Э. Сетевой анализ (3-е изд.). стр.383–384. ISBN  0-13-611095-9. Получено 2008-06-22.
2. Матаи, Янг, Джонс Микроволновые фильтры, сети согласования импеданса и структуры связи, стр 85-86, McGraw-Hill 1964.
3. И. К. Хантер, Теория и конструкция микроволновых фильтров, с.214 ИЭПП, 2001 г. ISBN  0-85296-777-2.
4. A. Y. Modi и C. A. Balanis, "Перегородка PEC-PMC внутри волновода с круглым поперечным сечением для уменьшения частоты отсечки", в IEEE Microwave and Wireless Component Letters, vol. 26, вып. 3, стр. 171-173, март 2016 г. Дои:10.1109 / LMWC.2016.2524529

• Эта статья включаетматериалы общественного достояния от Администрация общих служб документ: «Федеральный стандарт 1037С». (в поддержку MIL-STD-188 )

внешняя ссылка

• Расчет центральной частоты с помощью среднего геометрического и сравнение с решением среднего арифметического
• Преобразование частоты среза f_c и постоянная времени τ
• Математическое определение и информация о функциях Бесселя