Метод согласованных асимптотических разложений - Method of matched asymptotic expansions

В математика, то метод согласованных асимптотических разложений является распространенным подходом к поиску точного приближения к решению уравнение, или же система уравнений. Он особенно используется при решении необычно возмущенный дифференциальные уравнения. Он включает в себя поиск нескольких различных приближенных решений, каждое из которых является действительным (то есть точным) для части диапазона независимой переменной, а затем объединение этих различных решений вместе для получения единого приближенного решения, действительного для всего диапазона значений независимая переменная. В отечественной литературе эти методы были известны под названием «промежуточная асимптотика» и были введены в работе Яков Зельдович и Григорий Баренблатт.

Обзор метода

В большом классе сингулярно возмущенных задач домен могут быть разделены на два и более субдомена. В одном из них, часто самом большом, решение точно аппроксимируется асимптотический ряд^[1] найдено, рассматривая проблему как обычную возмущение (т.е. путем установки относительно небольшого параметра на ноль). Другие подобласти состоят из одной или нескольких небольших областей, в которых это приближение является неточным, как правило, потому, что здесь нельзя пренебречь составляющими возмущения в задаче. Эти области называются переходными слоями, а также граничными или внутренними слоями в зависимости от того, находятся ли они на границе домена (как это обычно бывает в приложениях) или внутри домена.

Приближение в виде асимптотического ряда получается в переходном слое (ах), рассматривая эту часть области как отдельную проблему возмущения. Это приближение называется «внутренним решением», а другое - «внешним решением», названным в честь их отношения к переходному слою (ям). Затем внешнее и внутреннее решения объединяются посредством процесса, называемого «согласование», таким образом, что получается приблизительное решение для всей области.^[2][3][4][5]

Простой пример

Рассмотрим краевая задача

${displaystyle varepsilon y''+(1+varepsilon )y'+y=0,}$

куда ${displaystyle y}$ является функцией независимой временной переменной ${displaystyle t}$, который изменяется от 0 до 1, граничные условия: ${displaystyle y(0)=0}$ и ${displaystyle y(1)=1}$, и ${displaystyle varepsilon }$ - небольшой параметр, такой что ${displaystyle 0<varepsilon ll 1}$.

Внешнее решение, действительно для т = О(1)

С ${displaystyle varepsilon }$ очень мала, наш первый подход состоит в том, чтобы рассматривать уравнение как регулярную задачу о возмущении, т.е. делать приближение ${displaystyle varepsilon =0}$, а значит найти решение проблемы

${displaystyle y'+y=0.,}$

В качестве альтернативы рассмотрим, что когда ${displaystyle y}$ и ${displaystyle t}$ оба размера О(1) четыре термины в левой части исходного уравнения соответственно имеют размеры О(${displaystyle varepsilon }$), О(1), О(${displaystyle varepsilon }$) и О(1). В начальник баланс в этой шкале времени, действительный в выдающийся предел ${displaystyle varepsilon o 0}$, поэтому задается вторым и четвертым членами, т. е. ${displaystyle y'+y=0.,}$

У этого есть решение

${displaystyle y=Ae^{-t},}$

для некоторой постоянной ${displaystyle A}$. Применение граничного условия ${displaystyle y(0)=0}$, мы бы хотели иметь ${displaystyle A=0}$; применение граничного условия ${displaystyle y(1)=1}$, мы бы хотели иметь ${displaystyle A=e}$. Следовательно, невозможно удовлетворить оба граничных условия, поэтому ${displaystyle varepsilon =0}$ не является допустимым приближением для всей области (т. е. это сингулярное возмущение проблема). Из этого мы заключаем, что должен быть пограничный слой на одной из конечных точек области, где ${displaystyle varepsilon }$ необходимо включить. Этот регион будет где ${displaystyle varepsilon }$ больше нельзя пренебречь по сравнению с независимой переменной ${displaystyle t}$, т.е. ${displaystyle t}$ и ${displaystyle varepsilon }$ имеют сравнимые размеры, т.е. пограничный слой примыкает к ${displaystyle t=0}$. Следовательно, другое граничное условие ${displaystyle y(1)=1}$ применяется в этой внешней области, поэтому ${displaystyle A=e}$, т.е. ${displaystyle y_{mathrm {O} }=e^{1-t},}$ является точным приближенным решением исходной краевой задачи в этой внешней области. Это первоклассное решение.

Внутреннее решение, действительно для т = О(ε)

Во внутренней области ${displaystyle t}$ и ${displaystyle varepsilon }$ оба крошечные, но сопоставимого размера, поэтому определите новый О(1) временная переменная ${displaystyle au =t/varepsilon }$. Измените масштаб исходной краевой задачи, заменив ${displaystyle t}$ с ${displaystyle au varepsilon }$, и проблема становится

${displaystyle {frac {1}{varepsilon }}y''( au )+left({1+varepsilon }ight){frac {1}{varepsilon }}y'( au )+y( au )=0,,}$

который после умножения на ${displaystyle varepsilon }$ и принимая ${displaystyle varepsilon =0}$, является

${displaystyle y''+y'=0.,}$

В качестве альтернативы рассмотрим, что когда ${displaystyle t}$ уменьшился до размера О(${displaystyle varepsilon }$), тогда ${displaystyle y}$ все еще имеет размер О(1) (используя выражение для ${displaystyle y_{mathrm {O} }}$), поэтому четыре члена в левой части исходного уравнения соответственно имеют размер О(${displaystyle varepsilon }$⁻¹), О(${displaystyle varepsilon }$⁻¹), О(1) и О(1). В начальник баланс в этой шкале времени, действительный в выделенном лимите ${displaystyle varepsilon o 0}$, поэтому задается первым и вторым членами, т. е. ${displaystyle y''+y'=0.,}$

У этого есть решение

${displaystyle y=B-Ce^{- au },}$

для некоторых констант ${displaystyle B}$ и ${displaystyle C}$. С ${displaystyle y(0)=0}$ применяется в этой внутренней области, это дает ${displaystyle B=C}$, поэтому точное приближенное решение исходной краевой задачи в этой внутренней области (это решение первого порядка) имеет вид

${displaystyle y_{mathrm {I} }=Bleft({1-e^{- au }}ight)=Bleft({1-e^{-t/varepsilon }}ight).,}$

Соответствие

Мы используем сопоставление, чтобы найти значение константы ${displaystyle B}$. Идея согласования заключается в том, что внутреннее и внешнее решения должны согласовываться для значений ${displaystyle t}$ в промежуточной (или перекрывающейся) области, т.е. ${displaystyle varepsilon ll tll 1}$. Нам нужно, чтобы внешний предел внутреннего решения соответствовал внутреннему пределу внешнего решения, т.е.${displaystyle lim _{ au ightarrow infty }y_{mathrm {I} }=lim _{t o 0}y_{mathrm {O} },,}$который дает ${displaystyle B=e}$.

Композитное решение

Для получения нашего окончательного согласованного составного решения, действительного для всей области, одним из популярных методов является единообразный метод. В этом методе мы складываем внутреннее и внешнее приближения и вычитаем их перекрывающееся значение, ${displaystyle ,y_{mathrm {overlap} }}$, которые в противном случае учитывались бы дважды. Значение перекрытия - это внешний предел решения внутреннего пограничного слоя и внутренний предел внешнего решения; эти пределы были найдены выше равными ${displaystyle e}$. Следовательно, окончательное приближенное решение этой краевой задачи:

${displaystyle y(t)=y_{mathrm {I} }+y_{mathrm {O} }-y_{mathrm {overlap} }=eleft({1-e^{-t/varepsilon }}ight)+e^{1-t}-e=eleft({e^{-t}-e^{-t/varepsilon }}ight).,}$

Обратите внимание, что это выражение правильно сводится к выражениям для ${displaystyle y_{mathrm {I} }}$ и ${displaystyle y_{mathrm {O} }}$ когда ${displaystyle t}$ является О(${displaystyle varepsilon }$) и О(1) соответственно.

Точность

Сходимость приближений. Приближения и точные решения, неразличимые в этом масштабе, показаны для различных ${displaystyle varepsilon }$. Также показано внешнее решение. Обратите внимание, что, поскольку пограничный слой становится более узким с уменьшением ${displaystyle varepsilon }$, приближения сходиться к внешнему решению точечно, но нет равномерно, почти всюду.

Это окончательное решение удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению задачи (показано его подстановкой и его производными в исходное уравнение). Кроме того, граничные условия, созданные этим окончательным решением, совпадают со значениями, указанными в задаче, с точностью до постоянного кратного. Это означает, из-за уникальности решения, что согласованное асимптотическое решение идентично точному решению с точностью до постоянного множителя. Это не всегда так, любые оставшиеся члены должны равномерно стремиться к нулю, поскольку ${displaystyle varepsilon ightarrow 0}$.

Наше решение не только успешно решает поставленную задачу, но и полностью приближает ее к точному решению. Бывает, что у этой конкретной проблемы легко найти точное решение.

${displaystyle y(t)={frac {e^{-t}-e^{-t/varepsilon }}{e^{-1}-e^{-1/varepsilon }}},,}$

которое имеет тот же вид, что и приближенное решение, на постоянную умножения. Приближенное решение - это первое слагаемое в биномиальном разложении точного решения по степеням ${displaystyle e^{1-1/varepsilon }}$.

Расположение пограничного слоя

Удобно видеть, что пограничный слой, где ${displaystyle y'}$ и ${displaystyle y''}$ большие, рядом ${displaystyle t=0}$, как мы и предполагали ранее. Если бы мы предполагали, что он находится на другой конечной точке, и продолжили бы изменение масштаба ${displaystyle au =(1-t)/varepsilon }$, мы сочли бы невозможным удовлетворить полученное условие согласования. Для многих проблем такой метод проб и ошибок - единственный способ определить истинное местоположение пограничного слоя.^[2]

Более серьезные проблемы

Вышеупомянутая проблема является простым примером, потому что это одно уравнение только с одной зависимой переменной, и в решении есть один пограничный слой. Более сложные задачи могут содержать несколько взаимозависимых переменных в системе нескольких уравнений и / или с несколькими граничными и / или внутренними слоями в решении.

Часто желательно найти больше членов в асимптотических разложениях как внешнего, так и внутреннего решений. Соответствующая форма этих разложений не всегда ясна: в то время как разложение в степенной ряд в ${displaystyle varepsilon }$ может работать, иногда соответствующая форма включает дробные степени ${displaystyle varepsilon }$, такие функции как ${displaystyle varepsilon log varepsilon }$и так далее. Как и в приведенном выше примере, мы получим внешнее и внутреннее разложения с некоторыми коэффициентами, которые должны быть определены путем сопоставления.^[6]

Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка типа Шредингера

Метод согласованных асимптотических разложений - с согласованием решений в общей области применимости - был разработан и широко использовался Динглом и Мюллер-Кирстен для вывода асимптотических разложений решений и характеристических чисел (границ зон) типа Шредингера. дифференциальные уравнения второго порядка с периодическими потенциалами - в частности, для уравнения Матье^[7] (лучший пример), Ламе и уравнения эллипсоидальных волн,^[8] сплюснутый^[9] и вытянутый^[10] уравнения сфероидальных волн и уравнения с ангармоническими потенциалами.^[11]

Уравнения конвекции-диффузии

Были разработаны методы согласованных асимптотических разложений для поиска приближенных решений Смолуховский уравнение конвекции-диффузии, которое является сингулярно возмущенным дифференциальным уравнением второго порядка. Проблема изучалась, в частности, в контексте коллоид частиц в линейных полях течения, где переменная задается функция распределения пар вокруг тестовой частицы. В пределе низкой Пекле число, уравнение конвекции-диффузии также имеет сингулярность на бесконечном расстоянии (где обычно дальнее поле граничное условие следует разместить) из-за того, что поле течения линейно при межчастичном расстоянии. Эту проблему можно обойти с помощью пространственного преобразования Фурье, как показано Яном Доном.^[12]Другой подход к решению этой проблемы был разработан Алессио Дзакконе и его коллегами и состоит в том, что граничное условие ставится прямо на расстоянии от пограничного слоя при условии (в приближении первого порядка) постоянное значение функция распределения пар во внешнем слое из-за преобладающей конвекции. Это приводит к приближенной теории частоты встречи двух взаимодействующих коллоид частиц в поле линейного течения хорошо согласуется с полным численным решением.^[13]Когда Пекле число значительно больше единицы, особенность при бесконечном разделении больше не возникает, и метод согласованной асимптотики может быть применен для построения полного решения для функция распределения пар по всему домену.^[14][15]

Смотрите также

• Асимптотический анализ
• Многомасштабный анализ
• Асимптотика энергии активации

Рекомендации

1. Р. Б. Дингл (1973), Асимптотические разложения: их вывод и интерпретация, Академическая пресса.
2. Ферхульст, Ф. (2005). Методы и приложения сингулярных возмущений: граничные слои и многомерная динамика. Springer. ISBN  0-387-22966-3.
3. Найфех, А. Х. (2000). Методы возмущений. Библиотека Wiley Classics. Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-39917-9.
4. Kevorkian, J .; Коул, Дж. Д. (1996). Методы множественных масштабов и сингулярных возмущений. Springer. ISBN  0-387-94202-5.
5. Bender, C.M .; Орзаг, С. А. (1999). Расширенные математические методы для ученых и инженеров. Springer. ISBN  978-0-387-98931-0.
6. Хинч, Джон (1991). Методы возмущений. Издательство Кембриджского университета.
7. Р. Б. Дингл и Х. Дж. В. Мюллер, J. Reine Angew. Математика. 211 (1962) 11-32 и 216 (1964) 123-133; H.J.W. Мюллер, J. Reine Angew. Математика. 211 (1962) 179-190.
8. H.J.W. Мюллер, Mathematische Nachrichten 31 (1966) 89-101, 32 (1966) 49-62, 32 (1966) 157-172.
9. H.J.W. Мюллер, J. Reine Angew. Математика. 211 (1962) 33-47.
10. H.J.W. Мюллер, J. Reine Angew. Математика. 212 (1963) 26-48.
11. H.J.W. Мюллер-Кирстен (2012), Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., Всемирный научный, ISBN  978-9814397742. Глава 18 об ангармонических потенциалах.
12. Введение в динамику коллоидов Дж. К. Г. Донт, ссылка на книги Google
13. Zaccone, A .; Gentili, D .; Wu, H .; Морбиделли, М. (2009). «Теория процессов активированной скорости при сдвиге с приложением к агрегации коллоидов, вызванной сдвигом». Физический обзор E. 80: 051404. Дои:10.1103 / PhysRevE.80.051404. HDL:2434/653702.
14. Banetta, L .; Закконе, А. (2019). «Радиальная функция распределения леннард-джонсовских жидкостей в сдвиговых потоках от промежуточных асимптотик». Физический обзор E. 99: 052606. arXiv:1901.05175. Дои:10.1103 / PhysRevE.99.052606.
15. Banetta, L .; Закконе, А. (2020). «Парная корреляционная функция коллоидных систем со стабилизированным зарядом в условиях сдвига». Коллоидная и полимерная наука. 298 (7): 761–771. Дои:10.1007 / s00396-020-04609-4.