Гипотеза Бейтмана – Хорна - Bateman–Horn conjecture

В теория чисел, то Гипотеза Бейтмана – Хорна это утверждение о частоте простые числа среди ценностей системы многочлены, названный в честь математиков Пол Т. Бейтман и Роджер А. Хорн кто предложил его в 1962 году. Это дает обширное обобщение таких предположений, как Гипотеза Харди и Литтлвуда по плотности простые числа-близнецы или их гипотеза о простых числах вида п² + 1; это также усиление Гипотеза Шинцеля H.

Определение

Гипотеза Бейтмана – Хорна обеспечивает предполагаемую плотность положительных целых чисел, при которой все заданные полиномы имеют простые значения. Для набора м отчетливый неприводимые многочлены ƒ₁, ..., ƒ_м с целыми коэффициентами очевидным необходимым условием для того, чтобы многочлены одновременно генерировали простые значения бесконечно часто, является то, что они удовлетворяют Собственность Буняковского, что не существует простого числа п что делит их продукт ж(п) для каждого положительного целого числа п. Ибо, если бы был такой простой п, имеющий все значения многочленов одновременно простыми для данного п означало бы, что хотя бы один из них должен быть равен п, что может произойти только для конечного числа значений п либо существовал бы многочлен с бесконечным числом корней, тогда как гипотеза состоит в том, чтобы дать условия, при которых значения одновременно просты для бесконечного числа п.

Целое число п является порождающим для данной системы многочленов, если каждый многочлен ƒ_я(п) дает простое число, когда задано п в качестве аргумента. Если п(Икс) - количество простых порождающих целых чисел среди положительных целых чисел, меньших, чем Икс, то гипотеза Бейтмана – Хорна утверждает, что

${\displaystyle P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,}$

куда D является произведением степеней многочленов и где C произведение на простые числа п

${\displaystyle C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m}}}\ }$

с ${\displaystyle N(p)}$ количество решений

${\displaystyle f(n)\equiv 0{\pmod {p}}.\ }$

Собственность Буняковского подразумевает ${\displaystyle N(p)<p}$ для всех простых чисел п, поэтому каждый множитель в бесконечном произведении C положительна. Тогда интуитивно естественно ожидать, что константа C само по себе положительно, и это можно доказать (работа необходима, поскольку некоторые бесконечные произведения положительных чисел равны нулю).

Отрицательные числа

Как указано выше, гипотеза неверна: единственный многочлен ƒ₁(Икс) = −Икс производит только отрицательные числа, когда задан положительный аргумент, поэтому доля простых чисел среди его значений всегда равна нулю. Есть два равнозначных способа уточнить гипотезу, чтобы избежать этой трудности:

• Можно потребовать, чтобы все полиномы имели положительные ведущие коэффициенты, так что только постоянное количество их значений может быть отрицательным.
• В качестве альтернативы можно разрешить отрицательные ведущие коэффициенты, но считать отрицательное число простым, если его абсолютное значение является простым.

Разумно позволить отрицательным числам считаться простыми числами в качестве шага к формулированию более общих гипотез, применимых к другим системам чисел, чем целые числа, но в то же время легко просто отрицать многочлены, если необходимо свести их к случаю, когда ведущие коэффициенты положительны.

Примеры

Если система многочленов состоит из одного многочлена ƒ₁(Икс) = Икс, то значения п для которого ƒ₁(п) простое число сами являются простыми числами, и гипотеза становится переформулировкой теорема о простых числах.

Если система многочленов состоит из двух многочленов ƒ₁(Икс) = Икс и ƒ₂(Икс) = Икс + 2, то значения п для чего оба ƒ₁(п) и ƒ₂(п) простые - это всего лишь меньшее из двух простых чисел в каждой паре простые числа-близнецы. В этом случае гипотеза Бейтмана – Хорна сводится к Гипотеза Харди – Литтлвуда от плотности простых чисел-близнецов, согласно которой число пар простых чисел-близнецов меньше Икс является

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\approx 1.32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

Аналог для многочленов над конечным полем

Когда целые числа заменяются кольцом многочленов F[ты] для конечного поля F, можно спросить, как часто конечный набор многочленов ж_я(Икс) в F[ты][Икс] одновременно принимает неприводимые значения в F[ты] когда мы заменяем Икс элементы F[ты]. Известные аналогии между целыми числами и F[ты] предлагают аналог гипотезы Бейтмана – Хорна над F[ты], но аналог неверен. Например, данные показывают, что многочлен

${\displaystyle x^{3}+u\,}$

в F₃[ты][Икс] принимает (асимптотически) ожидаемое количество неприводимых значений, когда Икс пробегает многочлены от F₃[ты] нечетной степени, но, кажется, принимает (асимптотически) вдвое больше неприводимых значений, чем ожидалось, когда Икс пробегает многочлены степени 2 по модулю 4, в то время как (доказуемо) принимает нет неприводимые значения, когда Икс пробегает непостоянные многочлены со степенью, кратной 4. Аналог гипотезы Бейтмана – Хорна над F[ты], который соответствует числовым данным, использует дополнительный множитель в асимптотике, который зависит от значения d mod 4, где d степень многочленов от F[ты] в течение которого Икс отбирается.

Рекомендации

• Bateman, Paul T .; Хорн, Роджер А. (1962), "Эвристическая асимптотическая формула, касающаяся распределения простых чисел", Математика вычислений, 16 (79): 363–367, Дои:10.2307/2004056, JSTOR  2004056, МИСТЕР  0148632, Zbl  0105.03302
• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-20860-2, Zbl  1058.11001
• Фридлендер, Джон; Грэнвилл, Эндрю (1991), "Ограничения равномерного распределения простых чисел. IV.", Труды Королевского общества А, 435 (1893): 197–204, Bibcode:1991RSPSA.435..197F, Дои:10.1098 / rspa.1991.0138.
• Сорен Лэйнг Алетия-Зомлефер; Ленни Фукшский; Стефан Рамон Гарсия (25 июля 2018 г.), ЕДИНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ, ЧТОБЫ УПРАВИТЬ ИХ ВСЕМИ: БЕЙТМЭН – Хорн, стр. 1–45, arXiv:1807.08899