Таблица сравнений - Table of congruences

В математике соответствие является отношение эквивалентности на целые числа. В следующих разделах перечислены важные или интересные сравнения, связанные с простыми числами.

Таблица сравнений, характеризующих специальные простые числа

${\displaystyle 2^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}$	особый случай Маленькая теорема Ферма, устраивает все лишнее простые числа
${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$	решения называются Простые числа Вифериха (самый маленький пример: 1093)
${\displaystyle F_{n-\left({\frac {n}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {n}}}$	доволен всеми простые числа
${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$	решения называются Простые числа Стена – Солнце – Солнце (примеры не известны)
${\displaystyle {2n-1 \choose n-1}\equiv 1{\pmod {n^{3}}}}$	к Теорема Вольстенхольма доволен всеми простые числа больше 3
${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}},}$	решения называются Простые числа Вольстенхолма (наименьший пример: 16843)
${\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {n}}}$	к Теорема Вильсона натуральное число п премьер если и только если это удовлетворяет этому соответствию
${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p^{2}}}}$	решения называются Простые числа Уилсона (самый маленький пример: 5)
${\displaystyle 4[(p-1)!+1]\ \equiv \ -p{\pmod {p(p+2)}}}$	решения - это простые числа-близнецы

Другие сравнения, связанные с простыми числами

Существуют и другие сравнения, связанные с простыми числами, которые обеспечивают необходимые и достаточные условия простоты некоторых подпоследовательностей натуральных чисел. Многие из этих альтернативных утверждений, характеризующих примитивность, связаны с Теорема Вильсона, или являются переформулировкой этого классического результата в терминах других специальных вариантов обобщенные факториальные функции. Например, новые варианты Теорема Вильсона заявлено с точки зрения гиперфакториалы, субфакториалы, и суперфакториалы даны в.^[1]

Варианты теоремы Вильсона

Для целых чисел ${\displaystyle k\geq 1}$, имеем следующую форму теоремы Вильсона:

${\displaystyle (k-1)!(p-k)!\equiv (-1)^{k}{\pmod {p}}\iff p{\text{ prime. }}}$

Если ${\displaystyle p}$ странно, у нас это

${\displaystyle \left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}\equiv (-1)^{(p+1)/2}{\pmod {p}}\iff p{\text{ an odd prime. }}}$

Теорема Климента о простых числах-близнецах

Теорема Клемента, основанная на сравнении, характеризует простые числа-близнецы пары формы ${\displaystyle (p,p+2)}$ через следующие условия:

${\displaystyle 4[(p-1)!+1]\equiv -p{\pmod {p(p+2)}}\iff p,p+2{\text{ are both prime. }}}$

Оригинальная статья П. А. Клемента 1949 г. ^[2] предоставляет доказательство этого интересного элементарного теоретико-числового критерия простоты близнецов, основанного на теореме Вильсона. Другая характеристика, данная в статье Линя и Чжипэна, гласит, что

${\displaystyle 2\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+(-1)^{\frac {p-1}{2}}(5p+2)\equiv 0\iff p,p+2{\text{ are both prime. }}}$

Характеристики простых кортежей и кластеров

Простые пары вида ${\displaystyle (p,p+2k)}$ для некоторых ${\displaystyle k\geq 1}$ включать частные случаи кузен простые (когда ${\displaystyle k=2}$) и сексуальные простые (когда ${\displaystyle k=3}$). У нас есть элементарные характеристики простоты таких пар на основе сравнения, доказанные, например, в статье.^[3] Примеры сравнений, характеризующих эти простые пары, включают

${\displaystyle 2k(2k)![(p-1)!+1]\equiv [1-(2k)!]p{\pmod {p(p+2k)}}\iff p,p+2k{\text{ are both prime, }}}$

и альтернативная характеристика, когда ${\displaystyle p}$ странно такое, что ${\displaystyle p\not {\mid }(2k-1)!!^{2}}$ данный

${\displaystyle 2k(2k-1)!!^{2}\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}+(-1)^{\frac {p-1}{2}}\left[(2k-1)!!^{2}(p+2k)-(-4)^{k}\cdot p\right]\equiv 0\iff p,p+2k{\text{ are both prime. }}}$

Еще другие основанные на конгруэнтности характеристики простоты троек и более общие основные кластеры (или же простые кортежи ) существуют и обычно доказываются, исходя из теоремы Вильсона (см., например, раздел 3.3 в ^[4]).

Рекомендации

1. Эби, Кристиан; Кэрнс, Грант (май 2015 г.). «Обобщения теоремы Вильсона для двойных, гипер-, суб- и суперфакториалов». Американский математический ежемесячник. 122 (5): 433–443. Дои:10.4169 / amer.math.monthly.122.5.433. JSTOR  10.4169 / amer.math.monthly.122.5.433.
2. Клемент, П. А. (1949). «Сравнения для множеств простых чисел». Амер. Математика. Ежемесячно. 56 (1): 23–25. Дои:10.2307/2305816. JSTOR  2305816.
3. Ч. Линь и Л. Чжипэн (2005). «О теореме Вильсона и гипотезе Полиньяка». Математика. Medley. 6. arXiv:математика / 0408018. Bibcode:2004математика ...... 8018C.
4. Шмидт, М. Д. (2017). «Новые сравнения и конечно-разностные уравнения для обобщенных факторных функций». arXiv:1701.04741. Bibcode:2017arXiv170104741S.