Лемниската - Lemniscate

Эта статья о кривых в форме восьмерки в алгебраической геометрии. Для использования в других целях см. Лемниската (значения).

Лемниската Бернулли и два ее очага

В алгебраическая геометрия, а лемниската любая из нескольких восьмерок или ∞-образный кривые.^[1][2] Слово происходит от латинский «lēmniscātus» означает «украшенный лентами», от греческого λημνίσκος, что означает «ленты»,^[2] или который в качестве альтернативы может относиться к шерсть откуда ленты был сделан.^[1]

Кривые, получившие название лемнискаты, включают три плоские кривые четвертой степени: the гиппопед или же лемниската Бута, то лемниската Бернулли, а лемниската Героно. Изучение лемнискат (и, в частности, гиппопеда) датируется древнегреческая математика, но термин «лемниската» для кривых этого типа происходит от работы Джейкоб Бернулли в конце 17 века.

История и примеры

Лемниската Бут

Лемниската Бут

Основная статья: Бегемот

Рассмотрение кривых в форме восьмерки восходит к Прокл, грек Неоплатоник философ и математик, живший в V веке нашей эры. Прокл считал поперечные сечения из тор плоскостью, параллельной оси тора. Как он заметил, для большинства таких сечений поперечное сечение состоит либо из одного, либо из двух овалов; однако, когда самолет касательная к внутренней поверхности тора поперечное сечение принимает форму восьмерки, которую Прокл назвал кандалы (приспособление для удержания двух ног лошади вместе), или «бегемот» по-гречески. Название «лемниската Бута» для этой кривой восходит к ее исследованию математиком 19 века. Джеймс Бут.^[1]

Лемнискату можно определить как алгебраическая кривая, нулевое множество полином четвертой степени ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}$ когда параметр d отрицательна (или равна нулю в частном случае, когда лемниската превращается в пару касательных снаружи окружностей). Для положительных значений d вместо этого получается овал будки.

Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли

Основная статья: Лемниската Бернулли

В 1680 г. Кассини изучили семейство кривых, которое теперь называется Кассини овал, определяемый следующим образом: локус всех точек, произведение расстояний которых от двух фиксированных точек, кривые ' фокусы, является константой. В очень особых обстоятельствах (когда половинное расстояние между точками равно квадратному корню из константы) это приводит к лемнискате.

В 1694 г. Иоганн Бернулли изучал случай лемнискаты овала Кассини, ныне известного как лемниската Бернулли (показано выше) в связи с проблемой "изохроны "что было поставлено ранее Лейбниц. Как и гиппопед, это алгебраическая кривая, нулевое множество многочлена ${displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})}$. Брат Бернулли Джейкоб Бернулли также изучили ту же кривую в том же году и дали ей название лемниската.^[3] Его также можно определить геометрически как геометрическое место точек, произведение расстояний от двух фокусов которых равно квадрату половины межфокального расстояния.^[4] Это особый случай гиппопеда (лемнискаты Бута), с ${displaystyle d=-c}$, и может быть образован как поперечное сечение тора, внутреннее отверстие и круглые поперечные сечения которого имеют одинаковый диаметр.^[1] В лемнискатические эллиптические функции являются аналогами тригонометрических функций лемнискаты Бернулли, а константы лемнискаты возникают при оценке длина дуги этой лемнискаты.

Лемниската Джероно

Основная статья: Лемниската Джероно

Лемниската Героно: набор раствора Икс⁴ − Икс² + у² = 0^[5]

Еще одна лемниската, лемниската Героно или лемниската Гюйгенса, является нулевым множеством полинома четвертой степени ${displaystyle y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})}$.^[6][7] Кривая Вивиани, трехмерная кривая, образованная пересечением сферы с цилиндром, также имеет форму восьмерки и имеет лемнискату Героно в качестве плоской проекции.^[8]

Другие

К другим алгебраическим кривым в форме восьмерки относятся:

• В Кривая дьявола, кривая, определяемая уравнением четвертой степени ${displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})}$ в котором один связанный компонент имеет форму восьмерки,^[9]
• Кривая Ватта, кривая в форме восьмерки, образованная механической связью. Кривая Ватта - это нулевой набор полиномиального уравнения шестой степени ${displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}$ и имеет лемнискату Бернулли как частный случай.

Смотрите также

• Аналемма, кривая в форме восьмерки, отслеживаемая полуденным положением солнца на небе в течение года.
• Символ бесконечности
• Лемнискаты как обобщенные коники
• Аттрактор Лоренца, трехмерная динамическая система, имеющая форму лемнискаты
• Полиномиальная лемниската, набор уровня модуля комплексного многочлена

Рекомендации

1. Шаппахер, Норберт (1997), «Некоторые вехи лемнискатомии», Алгебраическая геометрия (Анкара, 1995), Конспект лекций по чистой и прикладной математике, 193, Нью-Йорк: Деккер, стр. 257–290, МИСТЕР  1483331.
2. Эриксон, Мартин Дж. (2011), «1.1 Лемниската», Красивая математика, МАА Спектр, Математическая ассоциация Америки, стр. 1–3, ISBN  9780883855768.
3. Бос, Х. Дж. М. (1974), "Лемниската Бернулли", Для Дирка Струика, Бостонский стад. Филос. Sci., XV, Dordrecht: Reidel, стр. 3–14, ISBN  9789027703934, МИСТЕР  0774250.
4. Langer, Joel C .; Сингер, Дэвид А. (2010), «Размышления о лемнискате Бернулли: сорок восемь граней математического камня», Миланский математический журнал, 78 (2): 643–682, Дои:10.1007 / s00032-010-0124-5, МИСТЕР  2781856.
5. Кёллер, Юрген. «Ахт-Курве». www.mathemische-basteleien.de. Получено 2017-11-26.
6. Бассет, Альфред Барнард (1901), «Лемниската Героно», Элементарный трактат о кубических и квартических кривых, Дейтон, Белл, стр. 171–172..
7. Чандрасекхар, S (2003), Начала Ньютона для обычного читателя, Oxford University Press, стр. 133, ISBN  9780198526759.
8. Коста, Луиза Росси; Маркетти, Елена (2005), «Математические и исторические исследования куполов и сводов», Вебер, Ральф; Аманн, Маттиас Альбрехт (ред.), Эстетика и архитектурная композиция: материалы Дрезденского международного архитектурного симпозиума 2004 г., Маммендорф: Pro Literatur, стр. 73–80..
9. Дорогой, Дэвид (2004), «кривая дьявола», Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона, John Wiley & Sons, стр. 91–92, ISBN  9780471667001.

внешняя ссылка

• «Лемнискаты», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]