Гировекторное пространство - Gyrovector space

А гировекторное пространство это математический концепция, предложенная Авраамом А. Унгаром для изучения гиперболическая геометрия по аналогии с способом векторные пространства используются в Евклидова геометрия.^[1] Ангар ввел понятие гировекторов, которые имеют сложение на основе гирогрупп вместо векторов, которые имеют сложение на основе группы. Унгар разработал свою концепцию как инструмент для формулирования специальная теория относительности как альтернатива использованию Преобразования Лоренца для представления композиций скоростей (также называемых повышает - "бусты" - это аспекты относительные скорости, и его не следует объединять с "переводы Это достигается введением «гироскопических операторов»: два вектора трехмерной скорости используются для построения оператора, который воздействует на другую трехмерную скорость.

Имя

Гирогруппы - это слабо ассоциативные группоподобные структуры. Ангар предложил термин гирогруппа для того, что он назвал гирокоммутативно-гирогруппой, при этом термин гирогруппа был зарезервирован для негирокоммутативного случая, по аналогии с группами против абелевых групп. Гирогруппы - это разновидность Петля Бола. Гирокоммутативные гирогруппы эквивалентны K-петли^[2] хотя определяется иначе. Условия Петля Брука^[3] и диадический симсет^[4] также используются.

Математика гировекторных пространств

Гирогруппы

Аксиомы

А магма (грамм, ${displaystyle oplus }$) это гирогруппа если это бинарная операция удовлетворяет следующим аксиомам:

1. В грамм есть хотя бы один элемент 0, называемый левой единицей с 0${displaystyle oplus }$а = а для всех а ∈ грамм.
2. Для каждого а ∈ грамм есть элемент ${displaystyle ominus }$а в грамм называется левым обратным к с ${displaystyle ominus }$а${displaystyle oplus }$а = 0.
3. Для любого а, б, c в грамм существует единственный элемент gyr [а, б]c в грамм так что бинарная операция подчиняется левому гироассоциативному закону: а${displaystyle oplus }$(б${displaystyle oplus }$c) = (а${displaystyle oplus }$б)${displaystyle oplus }$gyr [а, б]c
4. Карта gyr [а, б]:грамм → грамм данный c → gyr [а, б]c является автоморфизм магмы (грамм, ${displaystyle oplus }$). Это гир [а, б] является участником Aut (грамм, ${displaystyle oplus }$) и автоморфизм gyr [а, б] из грамм называется гироавтоморфизмом грамм создано а, б в грамм. Операция gyr:грамм × грамм → Aut (грамм, ${displaystyle oplus }$) называется гиратором грамм.
5. Гироавтоморфизм gyr [а, б] имеет левую петля свойство gyr [а, б] = гир [а${displaystyle oplus }$б, б]

Первая пара аксиом похожа на группа аксиомы. Последняя пара представляет аксиомы гиратора, а средняя аксиома связывает две пары.

Поскольку гирогруппа имеет инверсии и тождество, она квалифицируется как квазигруппа и петля.

Гирогруппы являются обобщением группы. Каждая группа является примером гирогруппы с gyr, определяемой как карта идентичности.

Пример конечной гирогруппы приведен в.^[5]

Идентичности

Некоторые тождества, верные в любой гирогруппе (G,${displaystyle oplus }$):

1. ${displaystyle mathrm {gyr} [mathbf {u} ,mathbf {v} ]mathbf {w} =ominus (mathbf {u} oplus mathbf {v} )oplus (mathbf {u} oplus (mathbf {v} oplus mathbf {w} ))}$ (вращение)
2. ${displaystyle mathbf {u} oplus (mathbf {v} oplus mathbf {w} )=(mathbf {u} oplus mathbf {v} )oplus mathrm {gyr} [mathbf {u} ,mathbf {v} ]mathbf {w} }$ (левая ассоциативность)
3. ${displaystyle (mathbf {u} oplus mathbf {v} )oplus mathbf {w} =mathbf {u} oplus (mathbf {v} oplus mathrm {gyr} [mathbf {v} ,mathbf {u} ]mathbf {w} )}$ (правая ассоциативность)

Дополнительные сведения приведены на стр. 50 оф.^[6]

Гирокоммутативность

Гирогруппа (G,${displaystyle oplus }$) является гирокоммутативным, если его бинарная операция подчиняется гирокоммутативному закону: a ${displaystyle oplus }$ b = gyr [a, b] (b ${displaystyle oplus }$ а). Для релятивистского сложения скоростей эта формула, показывающая роль вращения, связывающего a + b и b + a, была опубликована в 1914 г. Людвик Зильберштейн^[7][8]

Дополнение

В каждой гирогруппе можно определить вторую операцию, называемую дополнение: а${displaystyle oxplus }$ б = а${displaystyle oplus }$ gyr [а,${displaystyle ominus }$b] b для всех a, b ∈ G. Коприсоединение коммутативно, если сложение гирогрупп гирокоммутативно.

Модель диска / шара Бельтрами – Клейна и добавление Эйнштейна

Релятивистские скорости можно рассматривать как точки на Модель Бельтрами – Клейна гиперболической геометрии и, следовательно, векторное сложение в модели Бельтрами – Клейна может быть задано формулой сложение скорости формула. Чтобы формула могла быть обобщена для сложения векторов в гиперболическом пространстве размерностей больше 3, формула должна быть записана в форме, исключающей использование перекрестное произведение в пользу скалярное произведение.

В общем случае Эйнштейн сложение скорости двух скоростей ${displaystyle mathbf {u} }$ и ${displaystyle mathbf {v} }$ задается в координатно-независимой форме как:

${displaystyle mathbf {u} oplus _{E}mathbf {v} ={frac {1}{1+{frac {mathbf {u} cdot mathbf {v} }{c^{2}}}}}left{mathbf {u} +{frac {1}{gamma _{mathbf {u} }}}mathbf {v} +{frac {1}{c^{2}}}{frac {gamma _{mathbf {u} }}{1+gamma _{mathbf {u} }}}(mathbf {u} cdot mathbf {v} )mathbf {u} ight}}$

куда ${displaystyle gamma _{mathbf {u} }}$ - гамма-фактор, определяемый уравнением ${displaystyle gamma _{mathbf {u} }={frac {1}{sqrt {1-{frac {|mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$.

Используя координаты, это становится:

${displaystyle {egin{pmatrix}w_{1}w_{2}w_{3}end{pmatrix}}={frac {1}{1+{frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}left{left[1+{frac {1}{c^{2}}}{frac {gamma _{mathbf {u} }}{1+gamma _{mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})ight]{egin{pmatrix}u_{1}u_{2}u_{3}end{pmatrix}}+{frac {1}{gamma _{mathbf {u} }}}{egin{pmatrix}v_{1}v_{2}v_{3}end{pmatrix}}ight}}$

куда ${displaystyle gamma _{mathbf {u} }={frac {1}{sqrt {1-{frac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}}$.

Сложение скорости Эйнштейна равно коммутативный и ассоциативный Только когда ${displaystyle mathbf {u} }$ и ${displaystyle mathbf {v} }$ находятся параллельно. Фактически

${displaystyle mathbf {u} oplus mathbf {v} =mathrm {gyr} [mathbf {u} ,mathbf {v} ](mathbf {v} oplus mathbf {u} )}$

и

${displaystyle mathbf {u} oplus (mathbf {v} oplus mathbf {w} )=(mathbf {u} oplus mathbf {v} )oplus mathrm {gyr} [mathbf {u} ,mathbf {v} ]mathbf {w} }$

где «gyr» - математическая абстракция Прецессия Томаса в оператор, называемый вращением Томаса и задаваемый

${displaystyle mathrm {gyr} [mathbf {u} ,mathbf {v} ]mathbf {w} =ominus (mathbf {u} oplus mathbf {v} )oplus (mathbf {u} oplus (mathbf {v} oplus mathbf {w} ))}$

для всех ш. Прецессия Томаса интерпретируется в гиперболической геометрии как отрицательная гиперболический треугольник дефект.

Композиция преобразования Лоренца

Если матричная форма 3 × 3 вращения, примененная к 3-координатам, задается gyr [ты,v], то поворот матрицы 4 × 4, применяемый к 4-координатам, определяется как:

${displaystyle mathrm {Gyr} [mathbf {u} ,mathbf {v} ]={egin{pmatrix}1&0�&mathrm {gyr} [mathbf {u} ,mathbf {v} ]end{pmatrix}}}$.^[9]

Состав двух Лоренц усиливает B (ты) и B (v) скоростей ты и v дан кем-то:^[9][10]

${displaystyle B(mathbf {u} )B(mathbf {v} )=B(mathbf {u} oplus mathbf {v} )mathrm {Gyr} [mathbf {u} ,mathbf {v} ]=mathrm {Gyr} [mathbf {u} ,mathbf {v} ]B(mathbf {v} oplus mathbf {u} )}$

Тот факт, что либо B (ты${displaystyle oplus }$v) или B (v${displaystyle oplus }$ты) можно использовать в зависимости от того, пишете ли вы ротацию до или после объяснения парадокс скоростной композиции.

Композиция двух преобразований Лоренца L (ты, U) и L (v, V), которые включают вращения U и V, определяется как:^[11]

${displaystyle L(mathbf {u} ,U)L(mathbf {v} ,V)=L(mathbf {u} oplus Umathbf {v} ,mathrm {gyr} [mathbf {u} ,Umathbf {v} ]UV)}$

В приведенном выше примере повышение может быть представлено как матрица 4 × 4. Матрица усиления B (v) означает усиление B, в котором используются компоненты v, т.е. v₁, v₂, v₃ в элементах матрицы, а точнее в компонентах v/c в представлении, которое используется в разделе Преобразование Лоренца # Матричные формы. Элементы матрицы зависят от компонентов 3-скоростной v, и это то, что обозначает B (v) средства. Можно было бы возразить, что записи зависят от компонентов 4-скорости, потому что 3 записи 4-скорости такие же, как записи 3-скорости, но полезность параметризации усиления 3-скоростью что в результирующем усилении, которое вы получаете от композиции из двух повышений, используются компоненты трехскоростной композиции ты${displaystyle oplus }$v в матрице 4 × 4 B (ты${displaystyle oplus }$v). Но результирующее усиление также необходимо умножить на матрицу вращения, потому что композиция повышения (то есть умножение двух матриц 4 × 4) приводит не к чистому усилению, а к усилению и повороту, то есть к матрице 4 × 4, которая соответствует вращение Gyr [ты,v], чтобы получить B (ты) B (v) = B (ты${displaystyle oplus }$v) Гыр [ты,v] = Млрд лет [ты,v] B (v${displaystyle oplus }$ты).

Гировекторные пространства Эйнштейна

Пусть s - любая положительная константа, пусть (V, + ,.) - любая действительная внутреннее пространство продукта и пусть V_s={v ∈ V: |v| V_s, ${displaystyle oplus }$, ${displaystyle otimes }$) - гирогруппа Эйнштейна (V_s, ${displaystyle oplus }$) со скалярным умножением, задаваемым р${displaystyle otimes }$v = s танх (р танх⁻¹(|v|/s))v/|v| куда р любое действительное число, v  ∈ V_s, v ≠ 0 и р ${displaystyle otimes }$ 0 = 0 с обозначением v ${displaystyle otimes }$ р = р ${displaystyle otimes }$ v.

Скалярное умножение Эйнштейна не распределяется по сложению Эйнштейна, за исключением случаев, когда гировекторы коллинеарны (монодистрибутивность), но оно имеет другие свойства векторных пространств: для любого положительного целого числа п и для всех действительных чисел р,р₁,р₂ и v  ∈ V_{s '}:

п ${displaystyle otimes }$ v = v ${displaystyle oplus }$ ... ${displaystyle oplus }$ v	п термины
(р1 + р2) ${displaystyle otimes }$ v = р1 ${displaystyle otimes }$ v ${displaystyle oplus }$ р2 ${displaystyle otimes }$ v	Скалярный закон распределения
(р1р2) ${displaystyle otimes }$ v = р1 ${displaystyle otimes }$ (р2 ${displaystyle otimes }$ v)	Скалярный ассоциативный закон
р ${displaystyle otimes }$(р1 ${displaystyle otimes }$ а ${displaystyle oplus }$ р2 ${displaystyle otimes }$ а) = р ${displaystyle otimes }$(р1 ${displaystyle otimes }$ а) ${displaystyle oplus }$ р ${displaystyle otimes }$(р2 ${displaystyle otimes }$ а)	Монодистрибутивный закон

Модель диска Пуанкаре / шара и добавление Мёбиуса

В Преобразование Мёбиуса открытого единичного диска в комплексная плоскость дается полярным разложением

${displaystyle z o {e^{i heta }}{frac {a+z}{1+a{ar {z}}}}}$ который можно записать как ${displaystyle e^{i heta }{(aoplus _{M}{z})}}$ которое определяет сложение Мёбиуса ${displaystyle {aoplus _{M}{z}}={frac {a+z}{1+a{ar {z}}}}}$.

Чтобы обобщить это на более высокие измерения, комплексные числа рассматриваются как векторы на плоскости ${displaystyle mathbf {mathrm {R} } ^{2}}$, а сложение Мёбиуса переписывается в векторной форме как:

${displaystyle mathbf {u} oplus _{M}mathbf {v} ={frac {(1+{frac {2}{s^{2}}}mathbf {u} cdot mathbf {v} +{frac {1}{s^{2}}}|mathbf {v} |^{2})mathbf {u} +(1-{frac {1}{s^{2}}}|mathbf {u} |^{2})mathbf {v} }{1+{frac {2}{s^{2}}}mathbf {u} cdot mathbf {v} +{frac {1}{s^{4}}}|mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2}}}}$

Это дает векторное сложение точек в Пуанкаре шар Модель гиперболической геометрии, где s = 1 для сложного единичного круга, теперь становится любым s> 0.

Гировекторные пространства Мебиуса

Пусть s - любая положительная константа, пусть (V, + ,.) - любая действительная внутреннее пространство продукта и пусть V_s={v ∈ V: |v| V_s, ${displaystyle oplus }$, ${displaystyle otimes }$) является гирогруппой Мёбиуса (V_s, ${displaystyle oplus }$) со скалярным умножением, задаваемым р ${displaystyle otimes }$v = s танх (р танх⁻¹(|v|/s))v/|v| куда р любое действительное число, v  ∈ V_s, v ≠ 0 и р ${displaystyle otimes }$ 0 = 0 с обозначением v ${displaystyle otimes }$ р = р ${displaystyle otimes }$ v.

Скалярное умножение Мёбиуса совпадает со скалярным умножением Эйнштейна (см. Раздел выше), и это происходит из-за совпадения сложения Мёбиуса и сложения Эйнштейна для векторов, которые параллельны.

Правильная модель скоростного пространства и правильное сложение скоростей

Модель собственного пространства скоростей гиперболической геометрии дается формулой собственные скорости с векторным сложением, задаваемым формулой сложения собственных скоростей:^[6][12][13]

${displaystyle mathbf {u} oplus _{U}mathbf {v} =mathbf {u} +mathbf {v} +left{{frac {eta _{mathbf {u} }}{1+eta _{mathbf {u} }}}{frac {mathbf {u} cdot mathbf {v} }{c^{2}}}+{frac {1-eta _{mathbf {v} }}{eta _{mathbf {v} }}}ight}mathbf {u} }$

куда ${displaystyle eta _{mathbf {w} }}$ бета-фактор, определяемый ${displaystyle eta _{mathbf {w} }={frac {1}{sqrt {1+{frac {|mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$.

Эта формула предоставляет модель, которая использует все пространство по сравнению с другими моделями гиперболической геометрии, в которых используются диски или полуплоскости.

Пространство гировектора собственной скорости - это реальное внутреннее пространство продукта V с добавлением гирогруппы собственной скорости ${displaystyle oplus _{U}}$ и со скалярным умножением, определяемым р ${displaystyle otimes }$v = s sinh (р грех⁻¹(|v|/s))v/|v| куда р любое действительное число, v  ∈ V, v ≠ 0 и р ${displaystyle otimes }$ 0 = 0 с обозначением v ${displaystyle otimes }$ р = р ${displaystyle otimes }$ v.

Изоморфизмы

Гировекторное пространство изоморфизм сохраняет сложение гирогрупп, скалярное умножение и скалярное произведение.

Три гировекторных пространства Мебиуса, Эйнштейна и Собственная скорость изоморфны.

Если M, E и U являются гировекторами Мебиуса, Эйнштейна и собственной скорости соответственно с элементами v_м, v_е и v_ты тогда изоморфизмы задаются следующим образом:

E${displaystyle ightarrow }$U пользователем ${displaystyle gamma _{mathbf {v} _{e}}mathbf {v} _{e}}$

U${displaystyle ightarrow }$E - пользователем ${displaystyle eta _{mathbf {v} _{u}}mathbf {v} _{u}}$

E${displaystyle ightarrow }$M - пользователем ${displaystyle {frac {1}{2}}otimes _{E}mathbf {v} _{e}}$

M${displaystyle ightarrow }$E - пользователем ${displaystyle 2otimes _{M}mathbf {v} _{m}}$

M${displaystyle ightarrow }$U пользователем ${displaystyle 2{{{gamma }^{2}}_{mathbf {v} _{m}}}mathbf {v} _{m}}$

U${displaystyle ightarrow }$M - пользователем ${displaystyle {frac {eta _{mathbf {v} _{u}}}{1+eta _{mathbf {v} _{u}}}}mathbf {v} _{u}}$

Из этой таблицы соотношение между ${displaystyle oplus _{E}}$ и ${displaystyle oplus _{M}}$ дается уравнениями:

${displaystyle mathbf {u} oplus _{E}mathbf {v} =2otimes left({{frac {1}{2}}otimes mathbf {u} oplus _{M}{frac {1}{2}}otimes mathbf {v} }ight)}$

${displaystyle mathbf {u} oplus _{M}mathbf {v} ={frac {1}{2}}otimes left({2otimes mathbf {u} oplus _{E}2otimes mathbf {v} }ight)}$

Это связано с связь между преобразованиями Мёбиуса и преобразованиями Лоренца.

Гиротригонометрия

Гиротригонометрия - это использование гироконцептов для изучения гиперболические треугольники.

Обычно изучаемая гиперболическая тригонометрия использует гиперболические функции cosh, sinh и т. д., и это контрастирует с сферическая тригонометрия который использует евклидовы тригонометрические функции cos, sin, но с тождества сферических треугольников вместо обычного самолета тождества треугольников. Гиротригонометрия использует обычные тригонометрические функции, но в сочетании с тождествами гиротреугольника.

Центры треугольников

Изучение центры треугольников традиционно занимается евклидовой геометрией, но центры треугольников также можно изучать в гиперболической геометрии. Используя гиротригонометрию, можно вычислить выражения для тригонометрических барицентрических координат, которые имеют одинаковую форму как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии. Чтобы выражения совпадали, выражения должны нет инкапсулируют спецификацию угловой суммы, равной 180 градусам.^[14][15][16]

Сложение гиропараллелограмма

Используя гиротригонометрию, можно найти добавление гирокомпаса, работающее по закону гиропараллелограмма. Это дополнение к работе гирогруппы. Сложение гиропараллелограмма коммутативно.

В закон гиропараллелограмма похож на закон параллелограмма в том, что гиропараллелограмм - это гиперболический четырехугольник, две гиродиагонали которого пересекаются в своих точках гиромид, точно так же, как параллелограмм является евклидовым четырехугольником, две диагонали которого пересекаются в своих серединах.^[17]

Блоховские векторы

Блоховские векторы принадлежащие открытому единичному шару трехмерного евклидова пространства, могут быть изучены с добавлением Эйнштейна^[18] или сложение Мебиуса.^[6]

Отзывы о книге

Обзор одной из ранних книг по гировекторам^[19] говорит следующее:

"За прошедшие годы было предпринято несколько попыток популяризации неевклидова стиля для использования при решении задач в теории относительности и электродинамике, неспособность которых привлечь сколько-нибудь существенных сторонников, усугубленная отсутствием каких-либо положительных результатов, должна заставить задуматься. всем, кто задумывался о подобном начинании. До недавнего времени никто не был в состоянии предложить усовершенствования инструментов, доступных с 1912 года. В своей новой книге Ангар представляет решающий недостающий элемент арсенала неевклидова стиля: элегантный неассоциативный алгебраический формализм, который полностью использует структуру закона Эйнштейна о композиции скоростей ».^[20]

Примечания и ссылки

1. Абрахам А. Унгар (2005), «Аналитическая гиперболическая геометрия: математические основы и приложения», опубликованная World Scientific, ISBN  981-256-457-8, ISBN  978-981-256-457-3
2. Хуберт Кихле (2002), "Теория K-петель", опубликованная Springer,ISBN  3-540-43262-0, ISBN  978-3-540-43262-3
3. Лариса Сбитнева (2001), Неассоциативная геометрия специальной теории относительности, Международный журнал теоретической физики, Springer, Vol.40, No. 1 / Jan 2001 Дои:10.1023 / А: 1003764217705
4. Дж. Лоусон И Лим (2004), Средние на множествах диадической симметрии и полярных разложениях, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Springer, Vol.74, No. 1 / Dec 2004 Дои:10.1007 / BF02941530
5. Унгар, А.А. (2000). «Гиперболическая тригонометрия в релятивистской скоростной модели Эйнштейна гиперболической геометрии». Компьютеры и математика с приложениями. 40 (2–3): 313–332 [317]. Дои:10.1016 / S0898-1221 (00) 00163-2.
6. Аналитическая гиперболическая геометрия и специальная теория относительности Альберта Эйнштейна, Абрахам А. Унгар, World Scientific, 2008 г., ISBN  978-981-277-229-9
7. Людвик Зильберштейн, Теория относительности, Макмиллан, 1914 г.
8. Стр. 214, Глава 5, Симплектические матрицы: системы первого порядка и специальная теория относительности, Марк Каудерер, World Scientific, 1994, ISBN  978-981-02-1984-0
9. Унгар, А. А: Парадокс релятивистского состава скоростей и вращение Томаса. Найденный. Phys. 19, 1385–1396 (1989) Дои:10.1007 / BF00732759
10. Унгар, А. А. (2000). «Релятивистский принцип взаимности составных скоростей». Основы физики. Springer. 30 (2): 331. CiteSeerX  10.1.1.35.1131. Дои:10.1023 / А: 1003653302643.
11. экв. (55), Вращение Томаса и параметризация группы преобразований Лоренца, AA Ungar - Foundations of Physics Letters, 1988
12. Прецессия Томаса: лежащие в основе аксиомы гирогрупп и их использование в гиперболической геометрии и релятивистской физике, Abraham A. Ungar, Foundations of Physics, Vol. 27, No. 6, 1997 г. Дои:10.1007 / BF02550347
13. Унгар, А. А. (2006), "Релятивистская группа преобразований собственных скоростей", Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма, ПИЕР 60, pp. 85–94, уравнение (12)
14. Гиперболические барицентрические координаты, Абрахам А. Унгар, Австралийский журнал математического анализа и приложений, AJMAA, том 6, выпуск 1, статья 18, стр. 1–35, 2009 г.
15. Центры гиперболического треугольника: специальный релятивистский подход, Авраам Ангар, Springer, 2010 г.
16. Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии: сравнительное введение В архиве 2012-05-19 в Wayback Machine, Абрахам Ангар, World Scientific, 2010 г.
17. Абрахам А. Унгар (2009), "Подход с использованием гировекторного пространства к гиперболической геометрии", Morgan & Claypool, ISBN  1-59829-822-4, ISBN  978-1-59829-822-2
18. Геометрическое наблюдение верности Бурера между двумя состояниями кубита, Jing-Ling Chen, Libin Fu, Abraham A. Ungar, Xian-Geng Zhao, Physical Review A, vol. 65, Выпуск 2
19. Абрахам А. Унгар (2002), «За пределами закона сложения Эйнштейна и его гироскопической прецессии Томаса: теория гирогрупп и гировекторных пространств», Kluwer, ISBN  1-4020-0353-6, ISBN  978-1-4020-0353-0
20. Скотт Вальтер, Основы физики 32: 327–330 (2002). Обзор книги,

• Доменико Джулини, Алгебраические и геометрические структуры специальной теории относительности, Глава в «Специальной теории относительности: переживет ли она следующие 100 лет?», Под редакцией Клауса Леммерцала, Юргена Элерса, Springer, 2006.

дальнейшее чтение

• А. А. Унгар (2009). Гировекторы: подход к гиперболической геометрии. Синтез лекций по математике и статистике. Издатели Morgan & Claypool. ISBN  159-829-822-4.
• Т. М. Рассиас (2000). Математический анализ и приложения. Сборник статей по математике. Hadronic Press. С. 307, 326, 336. ISBN  157-485-045-8.
• Макс А. Акивис и Владислав В. Гольдберг (2006), Локальные алгебры дифференциальной квазигруппы, Вестник АПП, Том 43, Номер 2
• Огужан Демирель, Эмине Сойтюрк (2008), Гиперболическая теорема Карно в модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии, Нови-Сад J. Math. Vol. 38, № 2, 2008, 33–39
• М. Феррейра (2008), Сферические непрерывные вейвлет-преобразования, возникающие из разделов группы Лоренца, Прикладной и вычислительный гармонический анализ, Elsevier arXiv:0706.1956
• Т. Фогель (2000), Комментарий. Математика. Univ. Каролины, Группы, трансверсали и петли
• Яаков Фридман (1994), "Ограниченные симметричные области и JB * -тройная структура в физике", Йордановы алгебры: Материалы конференции, состоявшейся в Обервольфахе, Германия, 9–15 августа 1992 г., Вильгельм Кауп, Кевин МакКриммон, Хольгер П. Петерссон, опубликованный Вальтером де Грюйтером, ISBN  3-11-014251-1, ISBN  978-3-11-014251-8
• Флориан Джирелли, Этера Р. Ливин (2004), Специальная теория относительности как некоммутативная геометрия: уроки деформированной специальной теории относительности, Phys. Ред. D 81, 085041 (2010)
• Седжонг Ким, Джимми Лоусон (2011), Гладкие петли Брука, симметричные пространства и неассоциативные векторные пространства, Demonstratio Mathematica, Vol. XLIV, № 4
• Питер Левай (2003), Геометрическая фаза в смешанном состоянии из вращений Томаса
• Азнив Каспарян, Абрахам А. Унгар, (2004) Гировекторные пространства Ли, J. Geom. Symm. Phys
• Р Олах-Гал, Дж. Сандор (2009), О тригонометрических доказательствах теоремы Штейнера – Лемуса, Форум Геометрикорум, 2009 - forumgeom.fau.edu
• Гонсало Э. Рейес (2003), О законе движения в специальной теории относительности arXiv:физика / 0302065
• Кшиштоф Розга (2000), Тихоокеанский математический журнал, Vol. 193, № 1,О центральных расширениях гирокоммутативных гирогрупп
• Л.В. Сабинин (1995), "О гирогруппах Венгрии", RUSS MATH SURV, 1995, 50 (5), 1095–1096.
• Л.В. Сабинин, Л.Л. Сабинина, Лариса Сбитнева (1998), Aequationes Mathematicae, О понятии гирогруппы^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Л.В. Сабинин, Лариса Сбитнева, И. Шестаков (2006), "Неассоциативная алгебра и ее приложения", CRC Press,ISBN  0-8247-2669-3, ISBN  978-0-8247-2669-0
• Ф. Смарандаче, К. Барбу (2010), Гиперболическая теорема Менелая в модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии
• Роман Ульрих Сексл, Хельмут Курт Урбантке, (2001), "Относительность, группы, частицы: специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и частиц", страницы 141–142, Springer, ISBN  3-211-83443-5, ISBN  978-3-211-83443-5

внешняя ссылка

• Специальная теория относительности Эйнштейна: гиперболическая геометрическая точка зрения
• "Гиперболическая тригонометрия и ее применение в модели Пуанкаре-Болла гиперболической геометрии". CiteSeerX  10.1.1.17.6107.